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具切换效应的单种群动力学行为研究摘要：本文构建了一种基于单种群的动力学模型，同时包含了瞬时与非瞬时脉冲出生两种状况。为了获得系统种群灭绝和系统维持存活的控制值而采用了离散动力系统频闪映射理论。得到结论为瞬时脉冲出生量与非瞬时脉冲出生区间决定了系统种群的持续生存能力。可以作为对生物的监管与保护的理论基础。关键词：瞬时脉冲出生；非瞬时脉冲出生；控制阈值；灭绝；持久Study on single population dynamic behavior with switching effectAbstract:Establishing a single population dynamics model with instantaneous and non instantaneous pulse birth,the theory of strobe mapping in discrete dynamical systems,the control threshold of system population extinction and system persistence is obtained.The results show that the instantaneous pulse birth rate and the non instantaneous birth interval play an important role in the persistence of the system population,Thus, it provides reliable strategic basis for realistic biological resource management and biodiversity conservation.Key word:Instantaneous pulse birth;non instantaneous pulse birth;control threshold;extermination;lasting目 录1 引 言32 模型的建立33 模型的动力学分析54 讨论7参考文献8II1 引 言种群一搬用来描述某一种生物的密度。在自然环境里，真正单一生存的种群是非常少的，每个种群生活在生物圈的某一个层次里，他们不仅受到同层次本省其它种群的影响，也有来自其它生物圈层次种群的影响以及自然环境的影响。通过建立有关的单种群动力学模型，从瞬时脉冲与非瞬时脉冲出生出发，利用离散动力学等理论分析和讨论，结果显示瞬时脉冲出生量与非瞬时出生区间对于系统种群持久起着2 模型的建立根据文献得知可以构建通过脉冲微分方程来对种群的脉冲出生、收获。以及对算法的改进问题进行研究，可以作为生物监管的理论基础。瞬时脉冲出生的单种群动力学模型 (2.1) 公式里面代表刻的种群密度，则是种群的出生系数；是种群内部竞争程度数值；则是种群脉冲出生周期。根据焦建军等的探索，可以得出具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型： (2.2) 式子里我们用和来代表种群中的的幼成体的密度；和则是分别代表种群里面的幼体的出生与死亡的数据，是幼体长成的概率数值；则是成年个体的死亡数；时计算种群里面成年个体的数量；的时候计算群脉冲出生；则是成年个体的获得数据，且;是种群脉冲出生周期，同时也是成年个体收获周期，由于现实中生物在幼年的死亡率通过高于整体死亡率。因此可以假定。现实中的生物种群的动力模型应该同时包括瞬时与非瞬时脉冲。出生很少有人研究刻画种群具瞬时脉冲出生与非瞬时脉冲出生的种群动力学模型行为。考虑种群是脉冲出生且种群的脉冲出生将在接下来的某个短的时间段上持续，构建一种同时兼具瞬时与非瞬时脉冲出生的生物群动力学模型。 (2.3) 是时种群密集程度，表示了时候的死亡量，则是时种群的出生量，种群在非瞬时脉冲区间上是logistic增长（其中1-0，且是种群瞬时脉冲出生后在接下来的时间段上连续出生的某个短的时间段），a0表示种群在非瞬时脉冲出生区间上的内禀增长率，表示种群在非瞬时脉冲出生区间上的种内竞争系数。表示种群在时刻的收获系数，是种群的非脉冲出生区间长度，是种群非瞬时脉冲出生区间长度（），表示种群脉冲出生周期。考虑到种群的非瞬间脉冲出生，我们一直假设且。3 模型的动力学分析如果(2.3)的结果为，这是一个没有间断点的分段函数,在范围与上函数无断点，同时与是可得到的，可以发现（2.3）的解具有唯一性并且确定存在。通过系统（2.3）中的一三式，我们可以求出系统（2.3）在不同点中的解析解为：(3.1) 由系统（2.3）的第二个与第四个方程，得到系统（3.1）的频闪映射为： . (3.2)计算（3.2），得到系统（3.2）的两个不动点和,而(3.3)定理3.1 当时，系统（3.2）的唯一不动点是全局渐近稳定的。 当时，系统（3.2）的不动点是不稳定的，系统（3.2）的正不动点是全局渐近稳定的，其中如（3.2） 证明.为了方便，引入记号，那么差分方程（3.2）可以写成 . （3.4）其中，。当时，系统（3.4）有唯一不动点,于是 (3.5) 所以系统（3.4）的唯一不动点是局部渐近稳定的，进而是全局渐近稳定的。当时，对于系统（3.4）的不动点，于是 所以系统（3.4）的不动点是不稳定的。当时，对于系统（3.4）的不动点，于是 .因此系统（3.4）的不动点在部分区域趋向平稳，而后在全局中也趋向平稳。通过定理3.1，可以发现定理3.2当时，系统（2.3）的平凡周期是全局渐近稳定的。当时，系统（2.3）的正周期解是全局渐近稳定的，其中 （3.6）其中且如（3.3）所定义。4 讨论本文基于现实中对生物资源的监管，对单种群中兼具了瞬时与非瞬时脉冲出生的方案进行了探究，并以此获得了对生物资源监控的控制值。通过3.2式子我们可以发现种群获取的阈值。的情况下，2.3所展示的种群则会消失，的情况下，2.3所展示的种群则会存活下来，所以我们可以得出结论：瞬时脉冲出生量决定了种群是否能够存活下来。此外，也发现了非瞬时脉冲出生区间的系数的取值为。的情况下，种群则会消失。的情况下，种群则会存活下来。所以我们也可以发现：非瞬时脉冲出生区间的大小也可以决定了种群是否能够存活下来。因此，通过以上的研究发现，我们可以在实际中通过提高瞬时脉冲出生量抑或是对非瞬时脉冲出生区间进行人为的加长，来避免某些生物种群的灭亡。为现实的生物监管和保护打下了良好的理论基础。参考文献Lakshmikantham V, Bainov D D, Simeonov P. Theory of Implussive Differential Equations . Singapor: World Scientific, 1989.焦建军，鲍磊，陈兰荪。具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型研究。吉林大学学报（理学版），49（2011）：610.JIAO Jianjun, CHEN Lansun. Global Attractivity of a Stage-Structure Variable Coefficients Predator-Prey System with Time Delay and Impulsive Perturbations on Predators. International Journal of Biomathematics, 1(2008):197208.JIAO JIANjun, YANG Xiaosong, CHEN Lansun. Effect of Delayed Response in Growth on the Dynamics of a Chemostat Model with Implusive Input . CHaos, Solitons and fractals, 42 (2009) :502513.JIAO Jianjun, et al . A Delayed StageStructured PredatorPrey Model with Implusive Stocking on Prey and Continuous Harvesting on Predator , Applied Mathematics and Computation, 195(2008) :316325.JIAO Jianjun, CHEN Lansun, LONG Wen. Pulse Fishing Policy for a StageStructured Model with StateDependent Harvesting . Journal of Biological System 15(2007):409416.焦建军，蔡绍洪，脉冲收获捕食者与食饵具阶段结构的捕食食饵模型.生物数学学报，26（2011）：695702.周玉梅，焦建军。具脉冲收获与脉冲单边扩散的单种群动力学模型研究。生物数学学报，27（2012）：494498.陈兰荪，孟新柱，焦建军，生物动力学，科学出版社，2009. - 6
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