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第 34 讲 置换问题一、专题简析： 置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们 找到解题方法的一类典型的应用题。“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置 换问题。解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。二、精讲精练例 1 20 千克苹果与 30 千克梨共计 132 元， 2 千克苹果的价钱与 2.5 千克梨的 价钱相等。求苹果和梨的单价。练习一1、6只鸡和 8只小羊共重 78千克，已知 5 只鸡的重量等于 2 只小羊的重量，求 每只鸡和每只小羊的重量。12、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知 2 支钢笔的价钱与 15 支圆珠笔的价 钱相等。老师买了 4 支钢笔和 6 支圆珠笔，共付 72元，每支钢笔和每支圆珠笔 各多少元？例 2 用 2 台水泵抽水，小水泵抽 6 小时，大水泵抽 8 小时，一共抽水 312 立方 米。小水泵 5 小时的抽水量等于大水泵 2 小时的抽水量，两种水泵每小时各抽 水多少立方米？练习二1、学校买回 6 张桌子和 6张椅子共用去 192元。已知 3张桌子的价钱和 5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？22、快慢两车先后从相距 864千米的甲、乙两地出发，快车行 12 小时，慢车行 4 小时后，两车在途中相遇。已知快车 6 小时行的路程与慢车 7 小时行的路程相 等，求快、慢两车的速度。例 3 一件工作，甲做 5 小时以后由乙来做， 3 小时可以完成；乙做 9 小时以后 由甲来做，也是 3 小时可以完成。那么甲做 1 小时以后由乙来做几小时可以完 成？练习三1、王老师去买笔奖给三好学生。他所带的钱正好买 4 支圆珠笔和 5 支钢笔，或 者买 3 支钢笔和 10 支圆珠笔。如果王老师买 1支钢笔，剩下的钱可以买多少支 圆珠笔？2、一辆卡车最多能载 40 袋大米和 40袋面粉，或者载 10袋大米和 100袋面粉 现在卡车上已载有 20 袋大米，最多还能载多少袋面粉？例 4 5 辆玩具汽车与 3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵 8 元。这两种玩具的单价各是多少元？练习四1、2 支钢笔的价钱和 3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6 元钱。两种笔的单价各是多少元？2、师徒二人加工同样多的零件，师傅用了 3小时，徒弟用了 5 小时。已知师傅 每小时比徒弟多做 6 个零件。二人各做了多少个零件？例 5 一段布料可做 18件同样的上衣和 9 条同样的裤子，或者做 14 件同样的上 衣和 15 条同样的裤子。那么，全做上衣能做多少件？4练习五1、一个笼子能容纳 18只同样在的兔子和 9 只同样大的鸡，或者容纳 14只同样大的兔子和 15 只同样大的鸡。如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？2、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买 8 支笔和 4 块橡皮，或买 6 支笔和 12 块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？三、课后作业1、用两种汽车运货，如果 2 辆大汽车的载重正好等于 3 辆小汽车的载重，且 5 辆大汽车和 6 辆小汽车一次共运 54 吨货。求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨 货？2、师徒二人加工一批零件，师傅加工 10 小时，徒弟加工 4 小时，二人共加工 了 198 个零件。如果师傅 4 小时的工作量与徒弟 5 小时的工作量相等，那么， 他们二人平均每小时各加工多少个零件？3、买 2 条床单和 3 条毛巾共用 210元，买同样的 3 条床单和 2 条毛巾共用 280 元。买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少钱？4、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了 3小时，返回时用了 4 小时。已知这辆 汽车去时比返回时每小时快 12 千米，甲、乙两地相距多少千米？5、一辆卡车正好装满了 12 箱苹果和 25 箱桔子，搬下 3 箱苹果后，空下的地方 正好能放 5 箱桔子。这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？第 34 周 置 换 问 题专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的 应用题。“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思 维方法。解答置换问题应注意下面两点：1根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2,把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与 2.5千克梨的价钱相等。 求苹果和梨的单 价。分析2千克苹果的价钱与 2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与 25千克梨的价钱相等。132+( 25+ 30) =2.4元，即每千克梨 2.4元。知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。苹果的单价是：(132 2.4 X 30)+ 20=3元。练习一1, 6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于 2只小羊的重量， 求每只鸡和每只小羊的重量。 答案设鸡羊分别是x,y则 6x+8y=785x=2y解方程组得x=3,y=7.5所以鸡羊分别重3,7.5kg2, 商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？答案解:每支圆珠笔的价格:72 v (15 v 2x4+ 6)2(元)每支钢笔的价格(2x15) v 2答:每支钢笔15元海支圆珠笔2元解析首先根据2支钢笔和15支圆珠笔的价钱一样多，可得4支钢笔和30支圆珠笔的价钱一样多，所以30 + 6 = 36（支）圆珠笔的价格是72元;然后根据单价二总价数量,用72除以36,求出每支圆珠笔的价格，进而求出每支钢笔的价格是多少即可3,用两种汽车运货，如果 2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且 5辆大汽车和6辆小汽车次共运54吨货。求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？答案两辆大汽车二三辆小汽车所以一辆大汽车=1.5辆小汽车五辆大汽车=沂门 = 7辆小汽车54 r - h = 4每辆小汽车的载重为吨每辆大汽车的载重为吨每辆大汽车比每辆小汽车多装2吨货例2用2台水泵抽水，小水泵抽 6小时，大水泵抽8小时，一共抽水 312立方米。小水泵 5小时的抽水 量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？分析 因为大水泵2小时的抽水量等小水泵 5小时的抽水量，所以，大水泵 8小时的抽水量应该等于小水 泵8十2X 5=20小时的抽水量。因此， 312立方米的水就相当于小水泵（6+ 20）小时的抽水量了。小水泵每小时抽水是 312-（ 6+ 20） =12立方米，大水泵每小时抽水12X 5- 2=30立方米。1, 学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子 和每把椅子各多少元？答案解:因为6张桌子+6把椅子ru元,所以3张桌子+3把椅子=元,， 又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等， 所以8把椅子的价钱二汪I；元所以1把椅子12元,i张桌子的价钱(192-12x6)4-6m匸20元、12元.（元）.答:桌子和每把椅子各是解析根据题意6张桌子和6把椅子共用去192元得出,3张桌子和3把椅子共用去96元, 又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，把3张桌子的价钱换成5把椅子,得出5 把椅子和3把椅子共用去96元，得出1把椅子的价钱，然后求出1张桌子的价钱. 此题考查简单的等量代换，解决此题的关键是有 6张桌子和6把椅子共用去192元得 出,3张桌子和3把椅子共用去96元，把3张桌子的价钱换算成5把椅子的价钱.2,快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两 车在途中相遇。已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。 解：设设慢车速度为 4x，快车速度为5x .5x X12+4x 7=140888x=1 408x=164x=64， 5x=80答：快车的速度是每小时行 80千米，慢车的速度是每小时行 64千米.故答案为：80; 64本题考查相遇问题基本的数量关系以及按比例分配的运用.根据已知条件得出快慢车的速度比， 然后设未知数列方程解答 .这里相等的数量关系是快慢车的路程和等于总路 程.解析从题中可知快车与慢车的速度比是 5: 4,可以设慢车速度为4x，快车速度为5x,根 据题意列方程解答 .3，师徒二人加工一批零件，师傅加工 10 小时，徒弟加工 4 小时，二人共加工了 198 个零件。如果师傅 4 小时的工作量与徒弟 5 小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？答案解：设师傅每小时的工作量为 X,则徒弟每小时的工作量是 4/5 x.所以4x+ 10X 4/5 x= 180,解得x = 15, 4/5 x = 12, 15 + 12= 27,所以两人每小时一共加工零件 27个. 本题关键是找出师傅与徒弟每小时工作量的数量关系 .解析师傅和徒弟每小时的工作量都是未知数，师傅4 个小时的工作量与徒弟 5 小时的工作量相等，所以徒弟的工作量是师傅的 4/5 .根据已知条件列方程 .例 3 一件工作，甲做 5 小时以后由乙来做， 3 小时可以完成；乙做 9 小时以后由甲来做，也是 3 小时可 以完成。那么甲做 1 小时以后由乙来做几小时可以完成？分析 把题中两组已知条件进行对比，甲少做（ 53）小时，乙就要多做（ 93）小时，也就是甲 2 小时 的工作量和乙 6 小时的工作量相等，甲 1小时的工作量和乙 3 小时的工作量相等。这件工作全部由甲做需 要用5 + 3- 3=6小时，现在甲先做1小时，剩下5小时的工作量由乙来做，乙必须用 5X 3=15小时才能完 成。练习三1 ,王老师去买笔奖给三好学生。他所带的钱正好买4 支圆珠笔和 5 支钢笔,或者买 3 支钢笔和 10 支圆珠笔。如果王老师买 1 支钢笔,剩下的钱可以买多少支圆珠笔？ 解：王老师买带的钱正好买 4 支圆珠笔和 5 支钢笔,或者买 3支钢笔和 10 支圆珠笔 所以 4 支圆珠笔和 5 支钢笔的价钱与 3支钢笔和 10 支圆珠笔相等 得到 2 支钢笔与 6 支圆珠笔的价格相等所以1支钢笔价钱3支圆珠笔的价钱相等4支钢笔的价钱可以买12支圆珠笔若王老师买1支钢笔，它还可以买(12+4)支圆珠笔王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买16支圆珠笔答：剩下的钱可以买16支圆珠笔.故答案为：16支本题考查我们同学关于加减乘除的简单运算，本题中，要求出答案，必须计算出1支钢笔的价钱与多少支圆珠笔的价钱相当，做题要细心，看清楚本题描述的钢笔与圆珠 笔的个数.解析王老师买带的钱正好买 4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔，所以4支圆珠笔和5支钢笔的价钱与3支钢笔和10支圆珠笔相等，求出1支钢笔与几支圆 珠笔的价格相等2, 一辆卡车最多能载 40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有 20袋 大米，最多还能载多少袋面粉？答案设卡车载重量为y,大米重a,面粉重bH = 40a + 4仙=1 帥 + UH)b右边的等式得，代入上式现有20袋大米,即20a设还需要x袋面粉，y = 2( )a + b 工120b = 40& + hr3, 买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少钱？ 答案解：一条毛巾和一条床单的价钱（210+280）少=490 吒=98（元）一条毛巾的价钱210-98 邀=210 - 196=14（元 ）一条床单的价钱280-98 邀=280-196=84（元）答：买一条床单用 84 元，买一条毛巾用 14元.解析根据题意可知，5条床单和5条毛巾共490元，则1条床单和1条毛巾为490話=98元, 2条床单和2条毛巾为98=196（元），所以一条毛巾的价等于 2条床单和3条毛巾的 价钱210元减去196元.同理求得床单价钱即280-98邀=84（兀）.此题主要考查了物品单价问题，解答此题的关键是求出一条毛巾和一条床单的价钱， 再用给出的已知条件分别求出每条毛巾的价钱和每条床单的价钱 .例4 5 辆玩具汽车与 3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵 8元。这两种玩具的单 价各是多少元？分析 因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元，所以，3架玩具飞机就比 3辆玩具汽车贵8X 3=24元。由于 5 辆玩具汽车与 3 架玩具飞机的价钱相等，因此，这 24 相当于（ 53）辆玩具汽车的价钱，每辆玩具汽车是24十2=12元，每架玩具飞机的价钱就是 12+ 8=20元。练习四1，2 支钢笔的价钱和 3 支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜 6 元钱。两种笔的单价各是多少元？ 答案解：设钢笔的单价是 X那么圆珠笔的单价是（X-6）元，依题意可列方程：2x=（X- 5）*32x= 3X- 18X=18X 6 = 18-6 = 12（元）.答：钢笔的单价是18元，圆珠笔的单价是12元.故答案为：18元；12元.列方程解决求两个未知数的应用题时，一般的我们设一个未知数为X根据两者之间的关系，用含X的式子表示另一个未知数，然后根据等量关系列方程求解解析根据2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，可以找出题中的等量关系，即：钢笔的单价& =圆珠笔的单价X3假设钢笔的单价是 x那么圆珠笔的单价是（-6）元，列方程求解.2, 师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了 5小时。已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。二人各做了多少个零件？答案解：3 6 讯5 3） = 9（个）9+ 6= 15（个）徒弟9个，师傅15个解析先算出师傅3小时比徒弟3小时多做多少个，即为徒弟2小时做的数量.寻找置换中等量关系.3, 汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了 4小时。已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？答案设甲乙两地相距 X千米这辆汽车去时比返回时每小时快12千米答:甲乙两地相距144千米例5 一段布料可做18件同样的上衣和 9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。那 么，全做上衣能做多少件？分析 把两组条件进行比较，做（18- 14）件上衣的布料可以做（15- 9）条裤子，也就是 2件上衣的布 料和3条裤子的布料同样多。9条裤子的布料可以做 9- 3 X 2=6件上衣，所以，一共能做18+ 6=24件上衣。 练习五1, 一个笼子能容纳18只同样在的兔子和 9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？答案（18+9+14+15 ） /2=16 兔+12 鸡 18 兔 +9 鸡=16 兔 +12 鸡 2 兔=3 鸡 9 鸡=6 兔18+6=242, 小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买 8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？答案解屯丸社耳U =钳专區=尬II= 8+1答结果他用这些钱全部买了笔，他能买9支.因此，本题正确答案是9解析所带的钱能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮,由此可以知道:买. 支 笔的钱可以买块橡皮,由此可以得出买1支笔的钱可以买4块橡皮，然后根据所带的钱能买8支笔和4块橡皮”即可得出所带的钱全部买了笔，他能买支；由此即可得出答案.3, 一辆卡车正好装满了 12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放 5箱桔子。这辆卡 车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？答案吃箱苹果_3箱苹果_ /亠倍 9（4倍 箱橘子-箱橘子总共能装:20药=G箱橘子25箱橘了 _ .匚箱橘r 计倍5倍箱苹果 箱苹果写财吃箱苹果多装箱15
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