2019-2020年高中数学高考复习《立体几何大题》习题附详细解析

2019-2020年高中数学高考复习立体几何大题习题附详细解析1 .长方体 ABCD A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷则棱 BB1 中点(I)求直线 AA1与平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角 E 3c1 _B的大小(m)求三棱锥 e -AD1 C1的体积2 .如图，在正三棱柱 ABC-ABG中，底面边长是 2, D是BC的中点，点 M在程BB上,1且 BM=-B1M,又 CM_LAG.3(I )求证：A1B平面AC1D ( n )求三棱锥 B1-ADG体积.3 .如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD BC 的中点，CA=CB =CD =BD =2,AB =AD =2(I)求证：AO _L平面BCD(II)求异面直线 AB与CD所成角余弦值的大小AMDOBEC(III)求点E到平面ACD的距离4 .已知四棱锥 PABCD的底面是正方形，P底面ABCD.异面直线 PB与CD所成的角为45 .求：(1)二面角B-PC-D的大小(2)直线PB与平面PCD所成角大小5 .四棱锥P- ABCD中，PAX ABCD,四边形 ABCD是矩形.E、F分别是AB PD的中点.若PA=AD=3, CD=6 . (I)求证：AF平面PCE (II)求点F到平面PCE的距离;(III)求直线FC与平面PCE所成角的大小立体几何大题答案1 .长方体 ABCD A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷则棱 BB1 中点(I)求直线 AA1与平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角E 3c1 _B的大小(m)求三棱锥 e -AD1 C1的体积答案：(D arcsine (II )arccos噂(川)D1 与面AEC1 距离VdAEj2.如图，在正三棱柱 ABC-ABiCi中，底面边长是 2, D是棱BC的中点，点 M在B0上,1且 BM=- B1M,又 CM _LAG.3(I )求证：A1B平面AC1D ( n )求三棱锥 B1-ADG体积.答案：提示：连接AC,交AC1于点E,连接DE,则DE是AABC的中位线，deab, 又 DE U面ADC1 ,AB 0面ADC1,. AB面AC1D .(2)在正三棱锥ABCA1B1cl中，D是BC的中点，则AD _LBCC1B1,从而AD _L MC ,又CM _L AC1，则CM和面ADC 1内的两条相交直线 AD, AC 1都垂直，:MC 1面ADC 1,于是CM _LDC1,则/CDC1与/MCB互余，则tan/CDC 1与tan/MCB互为倒数，易得AA1 =2。2 ,连结 B1D,二三棱锥B1 -ADC1的体积为二 S加C1D =2,2 丁 AD _1面8储1口,方法2：以D为坐标原点，DC,DA为x,y轴，建立空间直角坐标系，设BB1 = h,则D(0,0,0), B(-1,0,0) , C(1,0,0) , A(0,V3,0) , B1(-1,0,h) , C1(1,0,h) ,A1(0,V3,h),设平面AC1D的hM(-1,0,-) , A1B =(-1,-V3,-h) , AD =(Q-J3,0),C1A =(-1,”,-h) 4T法向量n = (x, y, z),则ADn=。= =(h,0,-1),；前，；.C1An=0(2) CM =(-2,0,h), AC1 =(1,-x/3,h)，cm _LaCi ,Cm aci=2+工=0， 44AB 面 AC1D, h =2, 2 .平面 AC1D 的法向量为 nt=(2%2,0,-)， B1A=(1,s|r3,-2V2)点 B1(-1,0,2v2)至U 平面 AC1D 的距离B1An3.如图,四面体ABCD 中，O、E 分别是 BD BC 的中点，CA=CB =CD =BD =2，AB =AD =72(I)求证:AO_L平面BCD(II)求异面直线 AB与CD所成角余弦值的大小(III)求点E到平面ACD的距离.答案：方法一:证明：连结 OC ：BO=DQAB=AD，. AOBD.A；BO=DQBC=CD,j.CO_LBD 在 MOC 中，由已知可得 AO =1,CO =73.而 AC = 2-AO2 -+CO2 吊C 2, J.ZAOC =90,即 AO _LOC.(II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME/ ABBEO:bdPIoc =o, AOLBCD二直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角1.2 八 1_EM = - AB =,OE=-DC=1, 在 AOME 中2220M是直角&A0c斜边AC上的中线，,0M二异面直线AB与CD所成角的大小为2 arccos4(III)解：设点E到平面ACD的距离为h.V Ve JACD 二 Va CDE ,11.h.S acd =一.AO.S cde .33在国CD中,CA=CD=2, AD = . 2,1 -二一AC 二1, 2S ACD12 .22一(、2)2 二-72.22AO而_1 S _13 22 _ .3_1,S CDE - 4 2 _21 _J AO.S CDET-21，点E到平面ACD的距离为 7方法二：(II)解：以(I)同方法一.O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0), D(T,0,0),c(o, 3,o)13T 丁心0,1)%，石MACODCDy, 3,0).T -BA.CD 2cos BA, CDI J =BA CD2 arccos 二异面直线AB与CD所成角的大小为4nAD=(x,y,z).(J,0,)=0, Jx z=0,(III)解：设平面 ACD的法向量为 n =(x, y,z),则 pACHx,yNga/a j3yH.令y =1,得n 473,1,g是平面ACD的一个法向量。二点E到平面ACD的距离1CD贝U FG/ 24.已知四棱锥 PABCD的底面是正方形，PA1底面ABCD.异面直线 PB与CD所成的角为45 .求：(1)二面角B-PC-D的大小(2)直线PB与平面PCD所成角大小 . AB/CD, / ABP=45 ,于是PA=AB彳BEX PC于E,连接ED,在4ECB和4ECD中，BC=CR CE=CE / BEC=Z DEC, . EC主 ECD，/CED=Z CEB=90，/BED 就是二面角 B-PC- D 的平面角.PBMBC _6 a设 AB刊则 BD=PB=2a, PC=4& , BE=DE= PC - 3 ,BE2 -DE2 _BD21cos/ BED=2BEMDEF,/BED=120 即二面角 B-PC-D 的大/、为 120(2)还原棱锥为正方体 ABCD-PB1C1D1,作BF, CB1于F,平面 PB1C1D仕平面 B1BCC1, . BFL平面 PB1CD,连接PF则/BPF就是直线PB与平面PCD所成的角1BF= 2 a,PB= 2a,sinZ BPF=2 ,Z BPF=30 .所以就是直线PB与平面PCD所成的角为305.四棱锥P- ABCD中，PAX ABCD,四边形 ABCD是矩形.E、F分别是AB、PD的-4/ . 中点.右PA=AD=3, CD=x6 . (I)求证：AF平面PCE (II)求点F到平面PCE的距离;(III)求直线FC与平面PCE所成角的大小解法一：(I)取PC的中点G,连结EGFG,又由F为PD中点,1 Q-AE CD,二 FG/AE.又由已知有 2四边形AEGF是平行四边形.二AF / EG. 又AF平面PCE，EG平面PCE.二 AF /平面 PCE(II)丁 PA _L 平面 ABCD,二平面PAD _L平面ABCD.由ABCD是矩形有CD _L AD.CD _L平面PAD.AF _ CD又PA = AD =3,F是PD的中点,AF _ PD.PD CD = D,- AF _L 平面 PCD.由EG AF,- EG _L平面 PCD.一平面PCD内，过F作FH _LPC于H,由于平面PCD门平面PCE =PC,则FH的长就是点F到平面PCE的距离.由已知可得PD =3 2, PF =3 2,PC =2 6.由于CD _面PAD,点F到平面PCE的距离为_3，24 ,CPD =30.1 3FH =_PF =_ 2.2 4(川)由(H)知/FCH为直线FC与平面PCE所成的角.3 -在RtDF 中,CD =、6,FD =-、N, 2,FC = CD2 FD2 =-42. 2FH 21,sin FCH =FC 14二直线FC与平面PCE所成角的大小为.21 arcsin 14解法二:A (0, 0, 0), P (0, 0, 3),D (0, 3,0),6E (为32), C3, 0)(I)取PC的中点(上G,连结EG,则2 ,2-AF =(0,-,-),EG =(0,3,3), 2,211, 2,2 /,.AF / EG.即 AF/ EG.又AF平面PCE, EG鼻平面PCE,. AF /平面 PCE.(II)设平面PCE法向量-6-二6n =(X y, z), EP =(,0,3), EC =(一 ,3,0).32F (0,0, 0),Cn EP =0,n EC =0.取 y = _1,彳tnx 3z = 0, 即2x 3y =0.2二(6, -1,1).33又PF =(0, _,_), 22故点F到平面PCE的距离为|n|3, 2 22. 2FC = ( 6 , (III)2| FC n |3|cos :二 FC,n | = J=|FC| |n|21 2 22.21 arcsin 一二直线FC与平面PCE所成角的大小为149.已知在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形, ，平面 ABCD, E、F、G分别是 PA PR BC的中点. PAD是正三角形，平面 PAD打(I)求证：EF_L平面PAD;(II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；答案：解：方法1: (I)证明：二.平面 PADL平面ABCD, AB_L AD AB_L平面 E、F 为 PA、PB的中点 EF/AB, . EF_L平面 PAD(II)解：过P作AD的垂线，垂足为0二平面PAD_L平面abcd,则po，平面取 AO 中点 M ,连 OG, ,EO,EM EF /AB/OG ，OG即为面 EFG与面ABCD的交线又 EM/OP,则 EM，平面 ABCD 且 OGAO,故 OG_LEO，NE0M 即为所求 RtAEOM 中，EM=M OM=1. tan/EOM =禽,故 ZEOM =60M -CD平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是 60方法2: (I)证明：过P作P O ，AD于O,二平面PAD,平面ABCD,则po _L平面ABCD),连OG,以OG, OD, OP为x、y、z轴建立空间坐标系,.PA= PD =AD=4,OP =2J3,OD HA=2,得 A(0,-2,0)，B(4,-2,0)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，P(0,02月)E(0,-1,3), F(2,-1, V3),G(4,0,0),故 eF =(2,0,0),AD=(0,4,0),PD=(0,2,23),EF AD =0, EF PD =0, EF _L平面 pad；+f(II)解：EFWaSEGT4,1,33),设平面 EFG 的一个法向量为 n =(x,y, z),? E!?即/xRL.则 n EG R,4x+yy3zH, 取z=,得 n g03,1),平面ABCD的一个法向量为ni =(0,0,1),I n n1160| cos n,n 1 *=-平面EFG与平面ABCD所成锐二面角余弦值是：Fn |n1| 2 ,锐二面角大小是20.在数列an中，a1 =1,nan# =2(a +a2 + +an)(nw N ).(i)求a2、a3、a4及通项公式an (口)令bn =2n书an,求数列的前n项和答案：(i)由题意得 a2 =2,a3 = 3,a4 =4,当n之2时，nan+=2(aie2+an),1(n-1)an =2(a 珀21+%。.得门加十 8-1)an =2an,即an 1nan1 =(n 1)an,- an,an =a1a?a3an 2 31 =a1，一a1a2an 11 2nn(n ,2),n1又a1 =1满足上式,an =nn N*).(2)由(1)得 bn 上七、*) , Sn =1 22 +2 23 +3 24 +一+n 2n.345n 22Sn =1 22 23 2 ：；+n 2 .一得Sn =22 (23 24 -25 - - -2n 1) -n 2n 2Sn =(n -1)24.