高考数学应用题归类解析

高考数学应用题求解必须突破三大关近几年高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，这个趋势有以下两个特点：一是应用问题考查加大力度，连续多年考大题，形成江苏特色；二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化，贴近生活，并且阅读量逐步增加。下面与同学们谈谈临考前复习应用性问题的注意点：一、掌握求解应用题的一般步骤：1、读懂题目，应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。2、建立数学模型，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来。3、求解数学模型，根据建立的数学模型，选择合适的方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解。4、检验，既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。二、注意具体的建模分析法：1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。2、列表分析法：对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。3、图象分析法：通过图象中的数量关系分析建立数学模型的方法。三、求解数学应用题必须突破三关：第一关，事理关。明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。第二关，文理关。阅读理解关，一般数学应用题的文字阅读时事刊物较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义。第三关，数理关。用恰当的数学方法去解数学模型。上述“三关”的突破口在于阅读与转译。建议从三个方面入手：第一、划分题目的层次。鉴于应用题题目篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系；第二、领悟关键词语。题目中难免出现一些专业术语或新名词，有的词语采用即时定义来解释，认真阅读，认真领会即时定义的内涵和外延，是解决问题的关键；第三、弄清题图联系。认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节；第四、重视条件转译。将题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤。 高考数学应用题归类解析类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题例1. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为：（c为常数， 且0c6）. 已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.（1）将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率100%)【解】（1）若，则， 若，则 ， （2）当，则若，则，函数在上为增函数， 若，在上为增函数，在上为减函数，当时，. 综上，若，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 例2. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. （1）试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式；（2）当为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？【解】（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由,得，所以；（2）因为.当且仅当，时取等号，所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元.1.2 以分段函数为载体的函数应用题例3. 在等边中,=6cm，长为1cm的线段两端点都在边上，且由点向点运动（运动前点与点重合），,点在边或边上；,点在边或边上，设. （1）若面积为,由围成的平面图形面积为，分别求出函数的表达式；（2）若四边形为矩形时，求当时, 设，求函数的取值范围 .解：（1） 当时，F在边AC上，；当时，F在边BC上， ,， 当时，F、G都在边AC上，；当时，F在边AC上，G在边BC上, ；当时，F、G都在边BC上, . （2） 当时， 当时，例4. 如图，长方体物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0），雨速沿移动方向的分速度为，移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与S成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，其值为. 记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积S=.（1）写出的表达式；（2）设0v10,0c5，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.1.3 以二次函数为载体的函数应用题例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值）【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为，依题意： 解得，助跑道所在的抛物线方程为 （2）设飞行轨迹所在抛物线为（），依题意：得解得，令得，当时，有最大值为，则运动员的飞行距离， 飞行过程中距离平台最大高度，依题意，得，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间例6. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解】（1）由题意，得10(1000x)(10.2x %)101000，即500x0，又x0，所以0x500即最多调整500名员工从事第三产业（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以ax10002xx，所以ax1000x，即a1恒成立因为4，当且仅当，即x500时等号成立，所以a5，又a0，所以0a5所以a的取值范围为(0，类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题A OZ OZ CZ BZ 1 2 x y 例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为（为常数），小飞轮的半径为，.在大飞轮的边缘上有两个点，满足，在小飞轮的边缘上有点设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点，在水平直线上m（1）求点到达最高点时，间的距离；（2）求点，在传动过程中高度差的最大值. 【解】（1）以为坐标系的原点，所在直线为轴，如图所示建立直角坐标系当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过 此时A（0，2r），C （2）由题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中此时B（2r，2r），C（4r + r，r）记点高度差为，则即设，则 令，得或1则，0或2 列表：02+0-0+0极大值f()极小值f()0当 =时，f()取得极大值为；当 =时，f()取得极小值为答：点B，C在传动中高度差的最大值 2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题例8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻时点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过？（3）求证：不论为何值，是定值.2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例9不含分式结构的解三角形问题；例10和例11含有分式结构的解三角形问题，方法略有不同）例9. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（）. （1）求灯柱的高（用表示）；（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值 例10. 如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0a)得到正方形ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论：AFEa；对任意a (0a)，EAL，EAF，GBF，GBH，ICH，ICJ，KDJ，KDL均是全等三角形（1）设AEx，将x表示为a的函数；（2）试确定a，使正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积【解】（1）在RtEAF中，因为AFEa，AEx，所以EF，AF 由题意AEAEx，BFAF，所以ABAEEFBFx3所以x，a(0，) （2）SAEFAEAFx()2 令tsinacosa，则sinacosa 因为a(0，)，所以a(，)，所以tsin(a)(1， SAEF(1)(1) 正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积 SS正方形ABCD4SAEF99 (1)18(1) 当t，即a时等号成立 例11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则BE 多长时钢丝绳最短？AEDCBFAEDCBF图1图2【解】（1）设钢丝绳长为ym，则（其中，），当时，即时，（2）设钢丝绳长为ym，则（其中，）9分令得，当时，即时12分例12. 海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中（1）若, 求养殖场面积最大值；（2）若、为定点，在折线内选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积；（3）若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.【解】（1）设，所以，面积的最大值为，当且仅当时取到（2）设为定值) (定值) ，由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点 面积的最大值为，因此,四边形ACDB面积的最大值为（3）先确定点B、C，使. 由(2)知为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.确定BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由(1)知AB=AC时四边形ACDB面积最大. ACDABD，CAD=BAD=，且CD=BD=.来S=.由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为.所以，四边形ACDB面积最大值为.2.4 以立体几何为载体的三角应用题例13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的【解】（I）设容器的容积为V，由题意知故由于，因此所以建造费用因此（2）由（1）得由于当令，所以 （1）当时，易得是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时例14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为，半径为R（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托所在圆的圆心都是、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F - A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）已知灯杆、灯脚造价都是每米（元），灯托造价是每米（元），其中都为常数设该灯架的总造价为（元）O AB C DE F A1 DC B1 1 1 （1）求关于的函数关系式；（2）当取何值时，取得最小值？【解】（1）延长与地面交于，由题意：，且， 从而， .， （2） 设 ，令 . 当时，；时，设，其中，. ，时，最小. 答：当时，灯架造价取得最小值. 例15. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为（元）.（1）写出的取值范围；（2）将表示成的函数关系式；（3）当为何值时，总费用最小?【解】设圆锥的高为米，母线长为米,圆柱的高为米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4元. （1） （2）圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为, 则 =, =. （3）设,其中则， 当时，当时，当时，则当时，取得最小值，则当时，费用最小. 2.5 以追击问题为载体的三角应用题例16. 如图，是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿, 为停车场，km某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶， 游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h（1）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达【解】(1) 如图，作,为垂足，在中，(km), =(km)在中，(km) 设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为 km/h，则 (h),（h） 由已知得：，小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达 （2）在中，(km),(km)(km) , 令得：当时，；当时，在上是减函数，当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达例17. 已知岛南偏东方向，距岛海里的处有一缉私艇，一艘走私船正从处以海里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以海里每小时的航速匀速行驶，经过小时截住该走私船. （1）为保证缉私艇在30分钟内（含30分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值；（2）是否存在，使得缉私艇以海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解】（1）最小速度为海里每小时；（2）2.6 以米勒问题为载体的三角应用题 例18. 如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点处离地面.若从离地高的处观赏它，则离墙多远时，视角最大？例19. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？类型三：数列应用题 例20. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（）共有几种不同的方案?（）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于根，从而由且得，当时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；（2）（）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放层,则从上到下每层圆钢根数是以为首项、1为公差的等差数列，从而，即，因与的奇偶性不同，所以与的奇偶性也不同，且，从而由上述等式得：或或或，共有4种方案可供选择.（）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为 cm，而，所以符合条件；若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为 cm，显然大于4m，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.高考 例21. 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）【解】设从2011年起，该车第年啤酒和葡萄酒年生产量分别为吨和吨，经过年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为吨和吨（1）设第年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为吨，根据题意，得=，=，（），则=+=，当且仅当，即时取等号， 故年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为吨（2）依题意，得，答：从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 类型四：线性规划应用题例22. 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得，即，目标函数为，作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域如图，作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立方程解得点的坐标为（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元 类型五：解析几何应用题例23. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为4记，为锐角（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）（1）用表示的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”的面积最小【解】（1）由抛物线的定义知，解得，（2）据（1）同理可得，所以“蝴蝶形图案”的面积， 即， 令，则，所以当，即时，的最小值为8 答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小 例24. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为）【解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程，得因为即且所以当取最小值时，有得此时故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.例25. 如图所示，有两条道路与，现要铺设三条下水管道，（其中，分别在，上），若下水管道的总长度为，设，（1）求关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）已知点处有一个污水总管的接口，点到的距离为，到点的距离为，问下水管道能否经过污水总管的接口点？若能，求出的值，若不能，请说明理由（2014年高考江苏卷 第18题）170 m60 m东北OABMC如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求: 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？【解法探究】（1）解法1：（两角差的正切）连结，由题意知，则由两角差的正切公式可得：，故答：新桥的长度为m.解法2：（解析法）由题意可知；由 可知直线的斜率，则直线所在直线的方程为；又由可知，所在的直线方程为；联立方程组，解得；即点，那么. 答：新桥的长度为m.解法3：（初中解法）延长交所在直线于点，由可得，故，在中，由勾股定理得，故答：新桥的长度为m.（2）解法1：（解析法） 由题意设，圆的方程为，且由题意可知. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得；由函数为区间上的减函数，故当时，半径取到最大值为.综上可知，当时，圆形保护区的面积最大，且最大值为.解法2：（初中解法）设与圆切于点，连接，过点作交于点.设，则，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，那么，解得. 由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圆的半径的最大值为130，当且仅当时取得半径的最大值. 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大. 1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：（1）设每件定价为元，依题意，有， 整理得，解得 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元7（2）依题意，时，不等式有解, 等价于时，有解, , . 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元142、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比，与它的厚度的平方成正比，与它的长度的平方成反比.()将此枕木翻转90（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为且翻转前后的比例系数相同都为）add()现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为多少时，可使安全负荷最大？ 解：（）安全负荷为正常数）翻转，2分 ，当时，安全负荷变大. 4分当 ，安全负荷变小；6分当时，安全负荷不 变. 7分（II）如图，设截取的宽为，厚度为，则. = （9分 令 得： 当时 函数在上为增函数；当时 函数在上为减函数；当 时，安全负荷最大。14分，此时厚度15分来答：当问截取枕木的厚度为时，可使安全负荷最大。16分（说：范围不写扣1分）3、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）第17题图如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1) 求的长度；(2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？作，垂足为，则，设，则，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为6分设，则，8分设，令，因为，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，12分因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值 14分4、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为，该商品的成本价格为3元/件。（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益与实际价格的函数关系式。（2）设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？解：（1）设该商品价格下降后为元/件，销量增加到件，年收益 ，7分（2）当时，有解之得， 12分又所以因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%。5、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考） 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多少万元?解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费由,得 所以 -8分(2)因为 当且仅当,即时取等号 , 所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分)-16分6、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）某个公园有个池塘，其形状为直角ABC，C=90，AB=2百米，BC=1百米(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得 EFAB，EFED，在DEF喂食，求DEF面积SDEF的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，设求DEF边长的最小值7、（江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.求关于的函数关系式，并指出其定义域；要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.解：，其中， ，得， 由，得； -6分得 腰长的范围是 -10分，当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米。 -14分8、（江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件（）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值解: （）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为. 3分（） 6分令，得或 8分.当，即时，时，在上单调递减，故 10分当，即时，时，；时，在上单调递增；在上单调递减，故 14分答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元. 16分9、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）如图，为相距的两个工厂，以的中点为圆心，半径为画圆弧。为圆弧上两点，且 ，在圆弧上一点处建一座学校。学校受工厂 的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为1，学校受工厂的噪音影响度与 的平方成反比，比例系数为。学校受两工厂的噪音影响度之和为 ，且设 。（1）求 ，并求其定义域；（2）当为多少时，总噪音影响度最小？ 解：（）连接OP，设则，在AOP中，由余弦定理得，在BOP中，由余弦定理得，4分，则，.6分，则，。8分（）令，.10分由，得或t=-10（舍去），当，函数在上单调递减；当，函数在上单调递增；当时，即时，函数有最小值，也即当AP为（km）时，“总噪音影响度”最小14分10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上. (1) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；(2) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?11分因为,令,即,从而,当时,;当时, .11、（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解：（1）（2），过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点；令，得，又在递减，所以故切线与OC交于点。地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，面积，等号，。 高考数学140分难点突破训练应用题1.某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件。若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比。已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件。（1）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元其余部分全部在年底还建行贷款（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）（参考数据：lg1.73430.2391，lgl.050.0212，1.4774）3. （理）某城市2004年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食x万吨。（1）记2004年末的粮食储备量为a1万吨，此后各年末的粮食储备量为a2万吨，a3万吨，写出a1，a2，a3和an(nN*)的表示式；（2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？20、（文）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）与月份x的近似关系为：（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场P万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问P至少为多少万件？4. 7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件。（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。5. 如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行速为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，分析救生员的选择是否正确；300米ACDB在AD上找一点C，是救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间。6. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的 优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营 该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件） 与售价p(元/件)的关系如图. (1）写出销量q与售价p的函数关系式； （2）当售价p定为多少时，月利润最多？ （3）企业乙最早可望在经营该专卖店几 个月后还清转让费？7. 随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元） 项 目类 别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30 a 10 200乙产品 50 8 18 120 其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4a8。令外，年销售x件乙产品时需上交0.05x万美元的特别关税。（） 写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y,y与生产相应产品的件数x (x之间的函数关系式；（） 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；（） 如何决定投资可获最大年利润。8. 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。（）求与之间的函数关系； （）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；（）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：.9. 已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救, 救生员尚有直接从A处游向B处, 而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处, 然后游向B处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒.(I) 分析救生员的选择是否正确;(II) 有AD上找一点C, 使救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间. B 300米 A C D10. 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k0，k为常数，且n0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元（1）求k的值，并求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?11. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大现有以下两种设计，如图：图的过水断面为等腰ABC，ABBC，过水湿周图的过水断面为等腰梯形ABCD，ABCD，ADBC，BAD60，过水湿周若ABC与梯形ABCD的面积都为S， 图 图（1）分别求和的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案12. 某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费 用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.1） 该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ 2） 该船捕捞若干年后，处理方案有两种： 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算？并说明理由.13. 一个有140名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品，2000年该企业生产的甲产品创外汇32万元，乙产品创外汇216万元，该企业以后每年所创外汇是甲产品以2.25倍的速度递增，而生产乙产品的机器由于老化的原因，每年创外汇为上年的。这个企业只要年人均创外汇达3万元就可以列入国家重点企业。若以2000为第一年，问：（）从哪一年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇（lg2=0.3010,lg3=0.4771）（）该企业哪一年所创外汇最少？该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元？（）该企业到2003年能否进入国家重点企业？14. 某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量（万件）与月份n的近似关系为 （I）求2005年第n个月的需求量g(n)（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。 （II）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少万件？15. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤浇开水每吨开水费为S元，用电炉烧开水每吨开水费为P元，其中x为每吨煤的价格，y为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?16. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船问哪种方案合算17. 如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A到P的距离为x km，用x表示B ，C到P的距离，并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）。18. 如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜. （）（本问6分）求S关于m的函数关系式S（m）； （）（本问6分）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？19. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速千米/时自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4