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第二课时比、比例和比例尺知识要点梳理1. 比的意义和性质比的意义和性质(1)比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“ ”是比号，读作是比号，读作“比比”。比号前面的数叫做比的。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。后项相当于分母，比值相当于分数值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。可能是整数。注意：比的后项不能是零。注意：比的后项不能是零。(2)比的性质比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。比值不变，这叫做比的基本性质。(3)求比值和化简比求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数。分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。数。(4)比例尺比例尺图上距离图上距离 实际距离比例尺，或实际距离比例尺，或线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。来表示和地面上相对应的实际距离。(5)按比例分配按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后分别方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后分别求出总数的几分之几是多少。求出总数的几分之几是多少。=图上距离比例尺。实际距离2. 比例的意义和性质比例的意义和性质(1)比例的意义比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。叫做内项。(2)比例的基本性质比例的基本性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。比例的基本性质。(3)解比例解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。中的未知项，叫做解比例。3. 正比例和反比例正比例和反比例(1)成正比例的量成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商也就是商)一一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表示做正比例关系。用字母表示 (2)成反比例的量成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示关系。用字母表示xyk(一定一定)。(3)判断正反比例的方法判断正反比例的方法一找、二看、三判断。一找、二看、三判断。找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。看定量：分析这两种相关联的量，它们之间是商一定看定量：分析这两种相关联的量，它们之间是商一定还是积一定。还是积一定。判断：如果商一定就成正比例；如果积一定就成反比判断：如果商一定就成正比例；如果积一定就成反比例；如果商和积都不一定，就不成比例。例；如果商和积都不一定，就不成比例。典例精析及训练题型一题型一【例【例1】填空。(1)2.25 5() 3(2)0.1253 ()()16(3)0.5 = ()(4)8.8折()%()2511 ()1（ ）1513精析：精析：(1)运用比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。2.2535()，括号里应填1.35。(2)3()0.125，所以第一个括号应填24。同理可得第二个括号里应填2。216写成分数形式是 ，约分得 。(3)根据比例的基本性质，0.5() ，所以括号里应填 。(4)8.8折化成小数是0.88,0.8888%，利用比例的基本性质可得( 22 )250.88,11( 12.5 )0.88。115318216215解：解：(1)2.255(1)2.255( 1.35 )3( 1.35 )3(2)0.125(2)0.1253( 24 )3( 24 )( 2 )( 2 )1616(3)0.5 (3)0.5 ( )( )(4)8.8(4)8.8折折( 88 )%( 88 )%( 22 )( 22 )252511( 12.5 )11( 12.5 )1（ 8 ）1513215举一反三举一反三1. 填一填。(1)4 524( )( ) 15(2)2.7 ( )0.9 0.6(3) 45 ( )1.2515( )( )%2. 比例4 920 45写成分数形式是( ),根据比例的基本性质，写成乘法形式是( )。30121.824（ ）3036121254209454459203. 两个比的比值都是1 ，它们组成的比例式的外项分别是 ，这个比例是( ) ( )=( ) ( )。121149和14161619题型二题型二【例【例2】甲数的 ( ) ( )。4354等于乙数的 ，甲、乙两数的比是 精析：精析：根据题意可列出关系式甲根据题意可列出关系式甲 =乙乙 ，联系比例的基本性质可得出：甲联系比例的基本性质可得出：甲 乙乙 。45343 4=15:164 5：答案：答案：15161516举一反三举一反三4. 判断：判断：行同一段路程，甲需要行同一段路程，甲需要 小时，乙需要小时，乙需要 小时。甲小时。甲与乙速度的比是与乙速度的比是8 15。( )5. 把甲班人数的把甲班人数的 调入乙班，则两班人数相等。原来调入乙班，则两班人数相等。原来甲、乙两班人数的比是甲、乙两班人数的比是( )A. 7 9B. 9 8C. 9 7253419C6.某班男生人数是女生人数的某班男生人数是女生人数的 ，女生人数与男生人数，女生人数与男生人数的比是的比是( )，男生人数和女生人数的比是，男生人数和女生人数的比是()。女生人数与总人数的比是女生人数与总人数的比是( )。7.甲数等于乙数的甲数等于乙数的 ，甲数与乙数的比是，甲数与乙数的比是( )。4 3343 44 73 535题型三题型三【例【例3】在一张比例尺是在一张比例尺是1 30000的地图上量得甲、乙两的地图上量得甲、乙两地的图上距离为地的图上距离为6厘米，则甲、乙两地的实地距离是厘米，则甲、乙两地的实地距离是()千米。千米。精析：精析：根据题意我们可以列出比例式：根据题意我们可以列出比例式：6厘米厘米 ()1 30000，解比例式可得括号里应填，解比例式可得括号里应填180000厘米，注意厘米，注意题中是要填多少千米，所以还要将所得的题中是要填多少千米，所以还要将所得的180000厘米化厘米化成千米，应是成千米，应是1.8千米，故题中的括号内应填千米，故题中的括号内应填1.8。答案：答案：1.81.8举一反三举一反三8. 甲地到乙地的实际距离是甲地到乙地的实际距离是120千米，在一幅比例尺是千米，在一幅比例尺是1 6000000的地图上，应画多少厘米？的地图上，应画多少厘米？120千米千米12000000厘米厘米12000000 2(厘米厘米)答：应画答：应画2厘米。厘米。160000009. 在一幅比例尺是在一幅比例尺是1 30000的地图上，量得东、西两的地图上，量得东、西两村的距离是村的距离是12.3厘米，东、西两村的实际距离是多少厘米，东、西两村的实际距离是多少米？米？12.3 369000(厘米厘米)3690(米米)答：东、西两村的实际距离是答：东、西两村的实际距离是3690米。米。13000010. 一个长方形足球场，长一个长方形足球场，长180米，宽米，宽90米，把它画在米，把它画在比例尺是比例尺是 的图纸上，画在图上的足球场面积是的图纸上，画在图上的足球场面积是多少？多少？180100 9 (cm)90100 4.5 (cm)94.540.5 (cm2)答：画在图上的足球场面积是答：画在图上的足球场面积是40.5 cm2。120001200012000差错类型及归纳类型类型1 对比的意义理解不透彻。【例1】两个正方体的棱长的比是1 3，这两个正方体的表面积的比是( )；体积比是( )。错解：1 3 1 9分析：这道题目是考查学生根据正方体的棱长比求表面积的比和体积比。正方体的表面积和体积的计算公式是解题的关键。此题出错的原因是对比的意义不理解，认为表面积的比和棱长的比相等，而导致错误。正解：1 9 1 27类型类型2 对公式中综合比与比例知识的运用易出现混乱。【例2】生产相同数目的一种零件，甲、乙两人的工作时间比是4 5，甲、乙两人的工作效率比是()。错解：4 5分析：此题综合体现了比与比例的知识。由于工作效率是工作总量与工作时间的比值，所以可以假设两人的工作总量是单位“1”，那么两人的工作效率分别是 、 。正解：5 44151针对性练习针对性练习一、想一想，填一填。一、想一想，填一填。1.将1克药放入100克水中，药与药水的比是( )。2.大正方体的棱长是3厘米，小正方体的棱长是2厘米，大、小两个正方形表面积的最简比是( )，它们体积的最简比是( )。3.大圆半径与小圆半径的比是3 2，大圆和小圆直径的比是( )；大圆和小圆周长的比是( )；大圆和小圆面积的比是( )。4. 圆的周长和它的半径成( )比例。1 1019 427 83 23 29 4正二、解答题。二、解答题。1.小兰的身高1.5m，她的影长是2.4m。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4m，这棵树有多高？(用比例解)解：设这棵树有x m高。1.5 2.4=x 4 x=2.5答：这棵树有2.5米高。2.小明和小芳各走一段路，小明走的路程比小芳多 ，小芳用的时间比小明多 ，小明和小芳速度的比是多少？5181小考复习训练一、判断题。(正确的在后面画“”，错误的画“”)1. 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。（ ）2. 20克 1千克的比值是20 1。( )3. 把9 3化成最简整数比是3。（ ）4. 长方体的体积一定，它的底面积和高成反比例。( )5. 一个比例的两个外项之积是1，则两个内项一定互为倒数。( )6. 六年级男生与女生的比是5 4，则女生是六年级学生的 。( )7. 45分 小时的比值是1 5。（ ）8. 200米赛跑，运动员的速度和所需时间成反比例。( )9521二、选择题。二、选择题。1. 下面两个比不能组成比例的是（ ）。A. 0.6 0.2和 B. 20 10和60 20C. 10 12和35 42 D. 和12 82.如果 y，那么x和y成( )。A.正比例 B. 反比例 C. 不成比例3.把1.2吨 300千克化成最简整数比是( )。A. 1 250 B. 1200 300 C. 4 1 D. 4BBCx24. 一个人的体重和他的身高（ ）。A. 成反比例 B. 成正比例 C. 不成比例5.(1)班人数的 到(2)班后，(1)班、(2)班的人数就一样多了。原来(1)班、(2)班的人数比是( )。A. 5 4 B. 10 9 C.11 10 D. 8 96.能与 组成比例的比是( )。A. 2 3 B.6 9 C. D. CCA1014161213191617. 小圆半径是4厘米，大圆半径是6厘米，大圆面积与小圆面积的比是（ ）。A. 2 3 B. 9 4 C. 3 2 D. 4 98. 在一定的时间内，做一个零件所用的时间和零件个数( )。A. 成正比例关系 B. 成反比例关系C. 不成比例 D. 不确定BB9.在盐水中，盐占盐水的 ，盐和水的比是( )。A. 1 8 B. 1 9 C. 1 10 D. 1 1110. 在一幅地图上，量得A、B两城市距离是7厘米，而A、B两城市之间的实际距离是350千米，这幅地图的比例尺是( )。A. 1 50 B. 1 5000 C. 1 50000 D. 1 5000000BD101三、填空题。三、填空题。1. 7 8= =（ ）40=（ ） 16=（ ）%。2. 1 2.5化成最简整数比是（ ） （ ），比值是（ ）。如果前后项都除以0.25，比值是（ ）。3. 18的因数有( )，选出其中四个数组成一个比例：( )。4. 在比例尺1 2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离( )千米。2124（ ）351487.541120.50.51、2、3、6、9、181 2=3 6205. 在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是 ，另一个外项是( )。6. 甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是( )。7. 我国国旗法规定，国旗的长和宽的比是3 2，学校的国旗宽是128厘米，长应该是( )厘米。8. 一段路程，甲用20分钟走完，乙用30分钟走完。甲、乙两人的速度比是( )。9. 小明生病住院用去医药费6800元，根据城镇医保规定，个人自负和医院报销的比是3 5，小明可以报销( )元医药费。522.54 11923 2425010. 在比例尺是40 1的图纸上量得一零件长8厘米，零件实际长度是( )厘米。11. 如果y5x，那么x和y成(正)比例；如果7x8y，那么x y( ) ( )。12.一个长方体的棱长之和是200厘米，长、宽、高的比是5 3 2，这个长方体的长、宽、高分别是（ ）。0.28725厘米、15厘米、10厘米四、解比例。 = x =9 45 15 =xx945131.5x=95 x=3045x=9 x= 4525431x=1552x=1825 7=x 35 114 35=57 x 23 x=12 147x=2535 x=125114x=3557 x= 23512x=2314 x= 61615255 . 1 5 0.42 x 2.8 0.80.7 x1.250.251.6x31720.25x1.251.6 x82.8x0.80.7 x0.2五、根据下面的条件列出比例，并且解比例。五、根据下面的条件列出比例，并且解比例。1. 3和24的比等于72和x的比。解：3 24=72 x 3x=2472 x=5762. 14与最小的质数的比等于21与x的比。解：14 2=21 x 14x=212 x=33.两个外项是24和18，两个内项是x和36。解：24 x36 18 36x2418 x12六、先化简再求比值。6 0.84 6 0.84=600 84=50 76 0.84=600 84=507=507 2.4平方米 30平方分米2.4平方米 30平方分米=240 30=8 1 2.4平方米 30平方分米=24030=80.25 75 60%1 30.25 75=25 7500=1 3000.25 75=25 7500=1300=30011 3 60%= =5 9 60%= =59=1 31 31 35353956千米 300米25531 = =2 8=1 4 = =28=255312553125255858416千米 300米=6000 300=20 16千米 300米=6000 300=6000300=20
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