矩阵特征值稻谷书苑

矩阵的特征值及特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法1教学运用说明说明., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AEAxEAAn 一、特征值与特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 2教学运用0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 EA . 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其. 的的为方阵为方阵A特征多项式特征多项式3教学运用 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 4教学运用解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值为的特征值为所以所以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 5教学运用 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11 ,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得6教学运用例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA 7教学运用,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA8教学运用,1212 p 得基础解系得基础解系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk9教学运用例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A10教学运用 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk11教学运用 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 12教学运用例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 13教学运用可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时可逆时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA14教学运用.,., 121212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk二、特征值和特征向量的性质15教学运用把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp16教学运用注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值17教学运用 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾18教学运用例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为n 0111aaaAEfnnnA .的特征多项式的特征多项式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 三、特征值与特征向量的求法19教学运用求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;det . 1EAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn .,0 , . 3 的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值iiixEA 四、小结20教学运用 ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAEAAAT思考题21教学运用思考题解答知知由由可逆可逆故故因为因为0)3det( ., 0det EAAA解解,3的一个特征值的一个特征值是是A .31 1值值的一个特征的一个特征是是从而从而A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有一个特征值为有一个特征值为故故A 22教学运用5、3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化23教学运用一、相似矩阵与相似变换的概念.,., , 111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 24教学运用1. 等价关系等价关系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3为正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(25教学运用证明证明相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常数数其其中中kkBAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn26教学运用推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn 27教学运用利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的多项式的多项式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个28教学运用,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A 29教学运用.)(,)(OAfAf 则则的特征多项式的特征多项式是矩阵是矩阵设设 定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对角矩阵相似的情形只证明只证明A使使则有可逆矩阵则有可逆矩阵与对角矩阵相似与对角矩阵相似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的特征值的特征值为为其中其中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( 30教学运用., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示为为把把三、利用相似变换将方阵对角化.)( 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn31教学运用 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由32教学运用., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之33教学运用说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA34教学运用例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得35教学运用 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 36教学运用 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理37教学运用 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A38教学运用 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A39教学运用 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 40教学运用 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A41教学运用注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P42教学运用);det()det(,)1(BABA 则则相似相似与与;,)2( 11相似相似与与且且也可逆也可逆则则可逆可逆且且相似相似与与若若 BABABA;,)3( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似与与则则是一多项式是一多项式而而相似相似与与若若BfAfxfBA四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：43教学运用相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P44教学运用,111111111 A.00100100 nB思考题.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA45教学运用思考题解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )()det( 1 nnEB还可求得还可求得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB46教学运用,1, 02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn 使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 从而从而, 121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA47教学运用