大连理工大学考研数学分析笔记

全国考研专业课高分资料大连理工大学数学分析笔记笔 记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲 义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真 题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！ 目录第二模块 笔记3第一部分 实数集与函数3第二部分 数列极限8第三部分 函数极限10第四部分 函数连续性15第五部分 导数与微分32第六部分微分中值定理及其应用38第八部分 不定积分53第九部分 定积分56第十部分定积分的应用62第十一部分 反常积分70第十二部分 数项级数74第十三部分 函数列与函数项级数92第十四部分 幂级数103第十五部分 傅里叶级数118第十六部分 多元函数的极限与连续133第十七部分 多元函数微分学138第十八部分 隐函数定理及其应用150第十九部分 含参量积分154第二十部分 曲线积分165第二十一部分 重积分168第二十二部分 曲面积分177第二模块 笔记第一部分 实数集与函数 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一 实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数： 若规定： 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如： 记为 ；0 记为 ； 记为 实数大小的比较定义1 给定两个非负实数其中 为非负整数，。若由1） 则称 与 相等，记为 2） 若存在非负整数 ，使得 ，而，则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或）。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有 ，则称 实数的有理数近似表示定义2 设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如 ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。命题 设 为两个实数，则 实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性:2 三歧性( 即有序性 ):3 实数大小由传递性，即 4 Achimedes性: 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示 数轴:例 二. 绝对值与不等式绝对值定义： 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值的一些主要性质 性质4（三角不等式）的证明： 三. 几个重要不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 由二项展开式 有: 上式右端任何一项.2 数集。确界2 二 数集 . 确界原理:一 区间与邻域:邻域二 有界数集 . 确界原理:1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界)闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 对任意，存在 ，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例 证明集合 是无界数集.证明：对任意, 存在 由无界集定义，E为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2 设S是R中的一个数集，若数 满足一下两条：（1） 对一切 有 ，即 是数集S 的上界；（2） 对任何 存在 使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界。记作 定义3 设S是R中的一个数集，若数 满足一下两条：（3） 对一切 有 ，即 是数集S 的下界；（4） 对任何 存在 使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作 3 函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一 函数的定义 1. 函数的几点说明. 函数的两要素: 定义域和对应法则约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法.分段函数 狄里克雷函数 黎曼函数 三 函数的四则运算（见课本） 四. 函数的复合: 六 初等函数: 基本初等函数:1 常函数2 幂函数 幂函数 4 具有某些特性的函数1.有界函数 若函数在定义域上既有上界又有下界，则称为上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切，恒有 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例 是无界函数。证明 对任意的 ，存在 ，取，则 2. 单调函数 奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称周期函数 1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分 数列极限1 数列极限概念 对于数列 ，设 A 是一个常数，若任给 ，都存在相应的自然数 时， ，则称 A为数列的极限。下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：（1）的任意性 （2）的相应性三、用极限定义证明 的例题2. 数列极限的等价定义: 对 对任正整数 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：（ 证 ）2. 收敛数列有界性 收敛的必要条件：（ 证 ）3. 收敛数列保号性：定理2.4 设 或. 则对(或(或例1 设 证明：若 则（ 证 ）定理2.5 设若，（注意“ = ” ；并注意和 的情况 ）.推论 若 则对 4. 定理（ 迫敛性 ） ( 证 )5. 绝对值收敛性: ( 注意反之不确 ). ( 证 )推论 设数列和收敛, 则6.四则运算性质:7. 子列收敛性: 子列概念.定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 的任何子列收敛于同一极限.定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列和收敛于同一极限.定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列、和都收敛. ( 简证 )一、利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1. 利用四则运算性质求极限：数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明, 而且 利用单调有界定理, 设其极限为 , 则有 , A=2定理 2.10 数列收敛，（ 或数列收敛，第三部分 函 数 极 限1 函数极限概念一 趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1 设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时, 有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 。说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。(2)、定义1的几何意义如下图所示，对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线 与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。定义1的否定叙述: 定义1 设定义在上的函数，为定数。若存在某个，对任意充分大的正数，总存在某个,使得:，则称函数当趋于时不以为极限.(3)、现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作: 或 ; 或 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或 “”即可。问题: (4)、显然,若为定义在上的函数，则（1）(返回)二 趋于时函数的极限设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。这类函数极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或 。下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：1.定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。如在例3中可取或等等。2.定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。如在定理3.9设函数在点的某空心右邻域 有定义。的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。证 不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理，存在，记为。下证 。事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。取 ，则由的递增性，对一切=，有另一方面，由，更有。从而对一切有这就证得 。最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。定理3.11（柯西准则）设在 内有定义。存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，有证 必要性 设，则对任给的，存在正数，使得对任何有。于是对任何 ，有。充分性 设数列 且 。按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有。由于（），对上述的，存在，使得当 时有 ，, 从而有 .于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即.设另一数列且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.为此,考虑数列:,易见且 故仍如上所证, 也收敛.于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。所以由归结原则推得按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限 不存在的充要条件：存在 ，对任何 （无论多么小），总可找到，使得 如在例中我们可取，对任何设正整数 ，令 ，则有 ，而于是，按柯西准则极限 不存在解 当时有 。故所求极限等于 。第四部分 函数连续性1 连续性的概念一 函数在一点的连续的定义 设函数在的某个空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对，当时，都有 ，则称 在 时，以 为极限。这里可以有三种情况：1） 无定义，比如上部分讲过的特殊极限 2），比如 ， 2）的情形1）的情形3）3）的情形对1）、2）两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第3）种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断，我们称这种情况即：时， 在 处连续。为此给出函数在点 连续的定义定义1 设函数在的某邻域内有定义，若： 则称函数 在 点连续。2、函数在一点的左、右连续的定义相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义2 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义，若：（ ）则称 在 点左（右）连续。由极限与单侧极限的关系不难得出：3、函数在点连续与函数在该点左、右连续的关系：定理4.1 函数在点连续的充分必要条件为： 在 点既左连续又右连续。（事实上： ）定理4.1的等价的否定叙述：函数在点不连续的充分必要条件为： 在 点或不左连续或不右连续。前面我们学习函数在一点上连续的有关定义，下面我们来学习二 函数的间断点（不连续点）及其分类1、函数不连续点的定义定义3 设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下3种情形:1） ，而在点无定义，或有定义但2） 左、右极限都存在，但不相等, 称： 为跳跃度或跃度。3） 左、右极限至少一个不存在据此，函数的间断点可作如下分类：2、间断点及其分类1）、可去间断点 对于情况1），即若：（存在），而在点无定义，或有定义但，则称： 为可去间断点（或可去不连续点）； 三 区间上的连续函数定义 若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在区间 上按段连续。例如 是按段连续函数。小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；4）区间上连续函数的定义。2 连续函数的性质内容：1 连续函数的局部性质 2 区间上的连续函数的基本性质 3 反函数的连续性 4 一致连续性重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质难点：连续函数的保号性；一致连续性. 一 连续函数的局部性质根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。定理4.3 （局部保号性） 若函数 在 点连续，且 ，则对任意 存在 某邻域 时，定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则（）在 点连续。例 因连续，可推出多项式函数和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。同样,由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，则复合函数在 点连续。证明 由于在 连续，对任给的，存在 ，使 时有 （1）又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有. 联系（1）得: 对任给的，存在 ，当 时有.这就证明了 在点 连续.注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为 (2)二 闭区间上连续函数的基本性质前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有 ，则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，又如 (4)在闭区间上也无最大、最小值。定理4.6 (最大最小值定理) 若函数 在闭区间 上连续，则 在闭区间 上有最大值与最小值。该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七部分2给出证明.推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间内至少存在一点，使得:推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得 .即 在内至少有一个实根. 应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间a,b上连续且不是常量函数,则值域 也是一个区间；特别若为区间 a,b, 在 a,b上的最大值为,最小值为，则；又若 为 a,b上的增（减）连续函数且不为常数，则例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得.证明 先证存在性。由于当 时有 ，故存在正数 ，使得 .因在上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得.再证唯一性。设正数 使得 由于第二个括号内的数为正所以只能 ，即 .例4 设 在 a,b 连续，满足 （5）证明：存在，使得 （6）证 条件（5）意味着：对任何有，特别有以及 .若或，则取，从而（6）式成立。现设与。令 ，则 ，. 由根的存在性定理，存在，使得 即 .三 反函数的连续性定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域 （）上递增（递减）且连续。证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。 设 ，且 则 ，对任给的可在的两侧各取异于的两点（），使它们与的距离小于（参见上图）.设，由函数的严格递增性， 必分别落在的两侧，即当 时，令 ，则当 时，对应的 的值必落在之间，从而 .应用单侧极限的定义，同样可证在区间端点也是连续的。四 一致连续性前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 不仅与 有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的只与有关，而与无关。定义2（一致连续性）设函数 在区间I上有定义，若 只要 ，都有 ，则称 在区间I上一致连续。这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说 在区间I一致连续意味着：不论两点在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使 . 显然I必然在I上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。定理4.9 （一致连续性）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。3 初等函数连续性从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连续性。一 指数函数的连续性在第一部分中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在上是严格单调的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数函数的连续性。定理4.10 设 为任意实数,则有.证明 不妨设，则由第一部分3（6）式所定义，即.任给，设为两个有理数，且，使得.由 的严格增递性，得 .又有 ，故得.由任意性推出 .为证相反的不等式, 设 为有理数，且 ，使得 .再取有理数 使 , 则有故得到 .由任意性推出,所以有.(后一等式的证明留给读者.)定理4.11 指数函数在R上是连续的.证明 先设.有第三部分2例4知这表明在连续.现任取.由定理4.10得 .令则当时有,从而有.这证明了在任一点处连续.当时,令,则有,而可看作函数与的复合，所以此时亦在上连续。利用指数函数的连续性，以及第三部分5例4中已证明的可知的值域为（）( 时也是如此).于是 的反函数对数函数 在其定义域() 内也连续.二 初等函数的连续性由于幂函数（为实数）可表为，它是函数与的复合，故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数在其定义域（）上连续。前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定理：定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有：定理4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数.第五部分 导数与微分1 导数概念速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 （3）定义1、设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数，等.若上述极限不存在，则称在点不可导。注：令，则（3）式可改写为 （4）所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为 在0处关于的变化率，它能够近似描绘函数 在点附近的变化性态。注：此公式对= 0仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论： 定理1 若函数 在 处可导，则函数 在 处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数在 处连续，但不可导。（二）函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。定义2 设函数 在点的某右邻域 上有定义，若右极限 (0或 (存在，则称该极限值为 在点 0 的右导数，记作，类似地，可定义左导数右导数和左导数统称为单侧导数。如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是：定理5.2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充分必要条件是：都存在，且 = 。说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。由定理2，连续函数不存在导数举例函数 ，处是焦点，不可导。 在 处振荡，左右导数都不存在。（三）导函数若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为I上的可导函数。此时对每一个I，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为在I上的导函数，也简称为导数，记作等. 即 .说明：1区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。 2在物理学中导数y也常用牛顿记号y 表示，而记号 是莱布尼茨首先引用的。目前我们把 看作为一个整体，也可把它理解为 施加于y的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种表示导数的形式，三、导数的几何意义我们已经知道由导数的定义，所以曲线 在点的切线方程是 （7）这就是说：函数在点x0 的导数 是曲线 在点 （x0，y0）处的切线斜率，若 表示这条切线与x 轴正向的夹角，则 =tan 从而0 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；= 0表示切线与x 轴平行。四、小结（可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下）本节课重点在于“导数”的定义，而函数 在一点 的导数 =是一个构造性的定义，是利用继用极限为工具，研究函数连续性以后，又一次用极限为工具研究函数性质的典型范例，为此 1深刻理解导数，左（右）导数的概念（三个阶段） 取差 对整个运动作分割（第一次否定）求平均 以“匀代不匀”； 再回到时刻（第二次否定）2明确导数与单侧导数，可导与连续的关系，导数与导函数的相互联系与区别。3能够从定义出发求某些函数的导数。4能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题。导数概念的建立是高等数学常用的方法，下面我们总结一下这个过程，这对我们认识、掌握高等数学的思维方法，提高数学素质是很有帮助的。为了考察运动物体在某时刻的瞬时速度，我们不能只停留在这个时刻，因为那样我们除了知道物体的位置外，就什么也得不到。我们必须用运动的观点看待这个问题，使 t 动起来，让 t 变到 ，产生对位置的第一次否定，得到差和。这就把一点的运动状态和周围的运动状态联系了起来，就能在运动中把握运动；取差其实就是对整个运动作了分割，一分割就使匀”和“不匀”这对矛盾的两个方面发生了转化：整体上的“不匀”，转化为局部的“匀”，然后“以匀代替不匀”求出平均速度。为得到瞬时速度，就必须使 再回到，即令，对状态第一次否定的否定。当 回到 时，和都消失了，结果变成，仿佛什么也的不到，其实不然，因为的消失依赖于的消失，虽然两个相互制约的差都消失了，但他们的“比”却保持着，这个比就是瞬时速度，或对导数，它反映了两个量之间的“质”的联系。正是这第二次否定，我们又回到了整体上的“不匀”。求瞬时速度或函数的导数经历了一个否定之否定的过程，但第二次否定我们不是又回到出发点，而是解决了初等数学解决不了的课题。 4 高阶导数高阶导数的概念：加速度 高阶导数定义: 注意区分符号 和 以函数 为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法: 函数在 处的 阶导数记为 相应的阶导数记为 二. 几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数.例1 求 和 .2. 正弦和余弦函数: 计算、的公式.3 和的高阶导数：4 的高阶导数：5 的高阶导数：6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 为例，求 .三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则1 2 3 乘积高阶导数的Leibniz公式： 第六部分微分中值定理及其应用 1拉格朗日定理和函数的单调性一极值概念：1 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有 1、罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间a，b上连续； （ii）在开区间（a，b）内可导；（iii），则在（a，b）内至少存在一点，使得 （）=0（分析）由条件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。证明：因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m M，则因 (a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点处取得，从而是的极值点，由条件(ii) 在点处可导，故由费马定理推知=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：中值定理：（a）=(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 ，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且 ，从而推得 证明：作辅助函数 显然，F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(a，b)，使得即注1罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线 与直线AB 之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新轴（F（a）=F（b）。注3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：注5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。中值定理的简单应用: ( 讲1时 )3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 证明： 任取两点 （设），在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在（）I，使得推论2 函数和在区间I上可导且 推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取，在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得由于，因此当时随之有，对上式两边取极限，使得 （2）同理可得因为=存在，所以=，从而即注1由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且 ( 证 )定理( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则 这就证得在区间I上任何两点之值相等。可微函数单调性判别法：1单调性判法：定理 1设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内( 或).证明：必要性 充分性 在I 上递增。定理2 设函数在区间内可导. 则在内严格( 或严格) ） 对有( 或; ） 在内任子区间上例 证明不等式 证明： 设 时 2柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足(i) 在区间 上连续，(ii) 在 内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线 由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。 注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，而弦 的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即 由此得注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是罗尔定理.注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题： 3、作为函数的变形要点：若在a，b上连续，（a，b）内可微，则在a，b上 （介于与之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3 设在上可导，并设有实数A0，使得在上成立，试证证明 ：在0，上连续，故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0，在0， 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切（ i=1,2,）上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得.证 在Cauchy中值定理中取 .2.证明恒等式: 四 、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。1 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。二 不定式的极限 一. 型:定理 6.6 (Hospital法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 ( 证 ) 注意: 若将定理中的x 换成 ，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。二.型不定式 极限:定理 6.7 (Hospital法则 ) 若函数 和满足：(i) (ii) 在点的某右邻域内二这可导，且；(iii) 可为实数，也可为 ）则 注意1 不存在，并不能说明 不存在（为什么？）注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件例 求极限 . ( Hospital法则失效的例 )三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. 3 泰勒公式 一. 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想 容易验证多项式函数 一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似，对函数的计算、性质的研究就会大大简化。用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.三 Taylor( 16851731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 Taylor 多项式 及Maclaurin多项式四 Taylor公式和误差估计:称 为余项. 称给出 的定量或定性描述的式为函数 的Taylor公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理:定理 6.9 设函数 满足条件:) 在闭区间上有直到阶连续导数;) 在开区间内有阶导数.则对 使 .证称这种形式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange 型余项的Taylor公式. Lagrange 型余项还可写为 .时, 称上述Taylor公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 .关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅:Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano型余项:定理2 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则证 设 , . 应用Hospital法则 次, 并注意到 存在, 就有 .称 为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:例 验证下列函数的Maclaurin公式4 函数的极值与最大(小)值一 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.1.可微极值点的必要条件: Fermat定理.函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点, 稳定点的求法.2.极值点的充分条件: 对每个稳定点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.定理 4 (充分条件) 设函数在点 连续, 在邻域 和 内可导. 则 ） 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点; ） 在内 在内时, 为 的一个极大值点; ） 若在上述两个区间内同号, 则 不是极值点.定理 5 (充分条件) 设点 为函数 的驻点且存在，则 ） 当时, 为的一个极大值点; ） 当时, 为的一个极小值点.证法一 当 时, 在点的某空心邻域内与 异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.二 最大值最小值先看三个函数的图象 (c61) 由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为:第一步 求出稳定点, 不可导点和端点第二步 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值 5函数的凸性与拐点 一 凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数在区间I上连续. 若对I 和恒有则称曲线 在区间I的凸函数, 反之, 如果总有则称曲线 在区间I的凹函数. 若在上式中, 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸(或严格凹)的. 凸性的几何意义: 倘有切线，考虑与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.引理 为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: , 总有证明: 必要性充分性定理6.13 设函数在区间I上可导, 则下面条件等价:(i) 为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点有证明2 利用二阶导数判断曲线的凸向:定理 6.14 设函数在区间内存在二阶导数, 则在 内 在 内严格上凸;在 内严格下凸.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就有 , 于是, 若有上式中,即 严格上凸. 若有上式中,即 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若则有.不妨设 , 并设 , 分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有.有 又由 ， , ， 即 ， 严格下凸.可类证 的情况.3 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点: 拐点的定义.6 函数图象的讨论我们要认识一个函数，搞清它的性质，往往要从研究它的图象入手，借助对函数图象的观察、分析，发现其隐含的规律性东西。比如我们在第二部分研究特殊极限 时，首先用中学时讲过的从中学求点描迹作图知道，作图象的一般步骤应是1确定函数定义域 ，以安排合适大小的坐标系；2确定函数的奇偶性、周期性，以减少作图工作量 ；3给出反映函数特性的某些关键点，比如与轴的交点；4函数的单调区间和极值，凸凹性、拐点。例 1 作函数 图象 1 函数定义域 2 该函数不是奇偶函数，也不是周期函数 3 与轴的交点 与 4 单调区间和极值y=1/4*(x-3)2/(x-1);y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)2 时，导数不存在，导数的符号由决定：时, 函数严格递增, 时, 递减， 为极大点， 为极小点。x 13y 极大极小凸凹性d2ydx2=simplify(diff(y1) d2ydx2 = 2/(x-1)3 x1下凸x-1x =-11x1x=11x3增 极大减 减 极小增 渐近线垂直渐近线:显然 x=1为垂直渐近线斜渐近线: = k再计算 s=1/4*x;s1=symsub(y,s);simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜渐近线 我们把找到的特殊点, 渐近线先画出来 第八部分 不定积分1不定积分概念与基本积分公式一 原函数与不定积分前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数反过来就能求出，比如知道了物体的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？定义（原函数）如果在区间 I 上 ，则称 为 在区间I上的原函数。例如例1中的是 的原函数；是 的原函数，等等因为常数导数为零，所以如果的原函数存在，则对任意常数C，都是的原函数。这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明，的任意两个原函数之间相差一个常数。换句话说的原函数的全体为 ，C为任意常数。定义（不定积分）在区间I上原函数的全体称为 在I上的不定积分。记作 。其中为积分号， 为积分函数， 为积分变量。不定积分的几何意义一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位置不一样, 相差一个上下平移关系。二 基本积分公式怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分：