弹性力学第九章 薄板弯问题

第九章薄板弯曲问题NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程第九章第九章 薄板的弯曲问题薄板的弯曲问题9-1 有关概念及计算假定9-2 弹性曲面的微分方程9-3 薄板截面上的内力9-4 边界条件 扭矩的等效剪力NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 91 1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定中面中面：平分板厚度t的平面简称为中面。薄板薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。xyz0/2/2b图91薄板的弹性曲面：薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。挠度：挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。一、基本概念一、基本概念NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 91 1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。0 z 0,www x yz 也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。由几何方程可得 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。计算假定：计算假定：（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即xyz0/2/2b图91NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 91 1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定0, 0yzzx 这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。（2）应力分量 和 远小于其余三个应力分量，因而是次要 的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：,zxzyzNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 91 1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定 结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。 由于不计 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。z112 1xxyyyxxyxyEEE（92）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 91 1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即： 0, 000zzu 0, 0, 0000zxyzyzx所以由几何方程可以得出： 也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在 面上投影的形状却保持不变。xyNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 为基本未知函数。,ww x y用 表示其它未知函数：w（1）纵向位移：, u v（2）主要应变分量：,xyxy（3）主要应力分量：,xyxy （4）次要应力分量：,zxzy（5）更次要应力分量：z怎么表示？利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（1）用挠度 表示纵向位移w, u v由假定（2）知 代入几何方程（78）0,0zxyz0,0uwwvzxyz移项，积分：12,wwvzfx yuzfx yyx 应用假定（3）知，12,0,0fx yfx y纵向位移, u v,wwvzuzyx NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（2）用挠度 表示主要应变分量w,xyxy,wwvzuzyx 把 代入几何方程（78）222222xyxyuxvyvuwzxwzywxyx y （a）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（3）用挠度 表示主要应力分量w,xyxy 由物理方程（92）知22112 1xxyyyxxyxyEEE（92）把（a）代入物理方程22222222222111xyxyEzwwxyEzwwyxEzwx y （94）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（4）用挠度 表示次要应力分量w,xzyz利用平衡微分方程（71）的前两式（不考虑体力）,yxzyyxyzxxzxyzyx 把（94）代入上式332323323222221111zxzyEzwzxEzwEzwwxx yEzwxzyywy NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程将上两式积分22122222,2 1,2 1zxzyEzwF x yxEzwFx yy12,F x yFx y，利用应力边界条件确定函数板上下边界的应力边界条件220,0zxzyzz表达式为：,zxzy2222222242 142 1zxzyEzwxEzwy （95）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（5）用挠度 表示更次要应力分量wz利用平衡微分方程（71）的第三式（不考虑体力）yzxzzzxy （c）将应力分量（95）代入（c）224242 1zEzwz上式对z积分23432,432 1zEzzwFx y（e）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程利用板下板面的边界条件确定待定函数3,Fx y下板面的应力边界条件： 求出 代入（e）20zz3,Fx y233422342142382 11126 1zEzzwEzzw （96）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程下面推导 的微分方程w利用薄板的上板面的应力边界条件2zzq （f）其中， 是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。q将 的表达式（96）代入式（f）z34212 1Ewq（97）4Dwq（98）3212 1ED（99）D：薄板的弯曲刚度，量纲 ，（98）：薄板的弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程22L MTNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程小结：小结：（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和上下板面 的只要应力边界条件。（2）弹性曲面微分方程（98）主要边界的应力边界条件侧面 的位移边界条件w（3）根据（94）（96）求得应力分量。（4）弹性曲面微分方程（98）侧面的位移边界条件，构成了薄 板弯曲问题按位移求解的一般提法。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力图（92）薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（薄板内力） 是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。取图（92）所示的微元xz 面上的应力：,yyxyzyz 面上的应力：,xxyxz 下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（1）应力分量x由公式（94）知， 合成的主矢量为零；x对中面合成的弯矩22xxMzdz把（94）代入上式22222222322222112 1xEwwMz dzxyEwwxy （a）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（2）应力分量xy由公式（94）知， 合成的主矢量为零；xy应力分量 合成横截面内的扭矩xy22xyxyMzdz把（94）代入上式222232112 1xyEwMz dzx yEwx y （b）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（2）应力分量xz应力分量 只可能合成横向剪力，在单位宽度上xz22sxxzFdz将（95）的第一式代入，并对z积分22222232242 112 1sxEFwzdzxEwx （c）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力同理，在xz面上（y为常量） 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。,yyxyz3222222232223222212 112 112 1yyyxyxxysyyzEwwMzdzyxEwMzdzMx yEFdzwy （d）（e）（f）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力将（99）代入（a）（f）3212 1ED（99）22222222222,1,xyxyyxSxSywwwwMDMDxyyxwMMDx yFDwFDwxy （910）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力薄板内力正负方向的规定0zxyxMxxMMdxxyMyyMMdyyxyMxyxyMMdxxyxMyxyxMMdyySyFSySyFFdyySxFSxSxFFdxx图（93）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力 利用（a）（f）消去（94）和（95）中的 ，把（98）代入（96）w33322223321212,1266,441212yxxyxyxyyxSySxxzyzzMMzzMzFFzzzzq （911）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力应力分量 的最大值发生在板面；,xyxy 应力分量 的最大值发生在板的中面；,xzyz应力分量 的最大值发生在板的上面；z22222222200266633,22xxxzzyyyzzxyxyxyzzSySxzxzyzzzzMMMFFq （912）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力图（92）讨论：（1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力， 因此，量纲少一个 。L（2）弯应力： ；扭应力： 横向切应力： 挤压应力：,xy xy,xzyzz（3）弯应力和扭应力在数值上最大主要应力； 横向切应力在数值上较小次要应力； 挤压应力在数值上更小更次要应力。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力课内作业：通过微元的受力分析，给出薄板微元的平衡方程（用内力表示）要求有：微元的受力分析和推导过程NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力xyabCOAB图 94本节讨论的内容：薄板板边的边界条件 与薄板的上、下板面相比，板边是次要边界条件。因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件代替为内力边界条件，即横向剪力和弯矩的条件。同时，板边的位移边界条件也相应替换成中面的挠度及转角的条件。下面分类讨论：（1）固定边；（2）简支边；（3）自由边；（4）特殊角点。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力xyabCOAB图 94（1）固定边（）固定边（OA）挠度为零，转角为零。 000,0 xxwwx（913）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力xyabCOAB图 94（2）简支边（）简支边（OC）挠度 等于零，弯矩 也等于零。wyM 000;0yyywM（a）利用（910），条件（a）可以用 表示w 2222000;0yywwwyx（b）化简，得到简支边OC的边界条件 22000;0yywwy（914）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力 000;xxxwMM 2222000;xxwwwDMxy（3）自由边（）自由边（AB）xyabCOAB图 94弯矩：0yy bM扭矩：0yxy bM横向剪力：00SyyFNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力图95（扭矩等效成剪力的示意图） 齐尔霍夫指出，薄板任一边界上的的扭矩都可以变换成等效的横向剪力，和原来的横向剪力合并。 等效后自由边的边界条件：0,0yxySyy by bMMFx（e）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力把（910）代入（e）得到用挠度表达的自由边AB边界条件22223332020y by bwwyxwwyxy（915）22223332020 x ax awwxywwxyx（917）同理，自由边BC的边界条件NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力角点B点的补充条件22,0Bx a y bwwx yx y （919）如果B点有支座，阻止挠度发生 ,0Bx a y bww（920）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程作业讲评作业讲评注意：内力是单位宽度上的力。注意：内力是单位宽度上的力。