炎德英才大联考高三上学期第二次月考数学理试题及答案

炎德英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(二)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)若复数z(1i)，则z的共轭复数的虚部是(D)(A)i (B)i (C) (D)(2)“2成立”是“x(x3)b0)与两条平行直线l1：yxa与l2：yxa分别相交于点A、B与C、D，所得的平行四边形的面积为6b2，则双曲线的离心率为(B)(A) (B) (C) (D)2【解析】如图所示，由，得点D，C(a，0)，于是由SABCD2SACD22a，所以由6b2，得a23b2，即，所以e，故选B.(12)对于正实数，记M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的实数x1，x2R且x1x2，都有(x2x1)f(x2)f(x1)2，则f(x)g(x)M12选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DZxxkComBBADAABBDBC第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2，b3，c4，则_1_(14)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_3_(15)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，P10，记Mi(i1，2，10)，则M1M2M10_180_(16)一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分12分)已知数列an满足：a12，anan14n2(n2)()求数列an的通项公式；()设bn(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【解析】()由anan14n2(n2)，化为：(an2n)(an12n2)0，所以(an2n)(an12n2)，又因为a1210，所以an2n0 ，即an2n(nN*).5分()由()知，bn(nN*)SnSn由得Sn2，Sn21，Sn3.12分(18)(本小题满分12分)今年国庆节长假期间，某旅游景点的门票面值为50元为了吸引更多的游客，管理部门决定在景区内举行如下中奖活动：每位游客凭门票按规则同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子一次，点数之和为12中一等奖，获奖金150元；点数之和为11或10中二等奖，获奖金60元；点数之和为9或8中三等奖，获奖金30元；点数之和小于8不中奖()求某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖的概率；()预计国庆节长假期间共有2万人来该旅游景点观光旅游，假设每位游客都参与中奖活动，求该旅游景点在此期间总收益的期望值【解析】()记抛掷两枚正方体骰子所得的点数为(x，y)，则中一等奖只有(6，6)一种可能，其概率为.2分中三等奖有(6，3)，(3，6)，(5，4)，(4，5)，(6，2)，(2，6)，(5，3)，(3，5)，(4，4)9种可能，其概率为.4分设“某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖”为事件A，则P(A)C31.6分()设每位游客的中奖金额为元，则的可能取值为150，60，30，0.由()知，P(150)，P(30).因为中二等奖有(6，5)，(5，6)，(6，4)，(4，6)，(5，5)5种可能，所以P(60).从而P(0)1.8分所以E1506030020.10分所以每位游客中奖金额的期望值为20元，旅游景点对每位游客收益的期望值为502030元故该旅游景点在此期间总收益的期望值为60万元.12分(19)(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD2，AB4，ADBC.沿EF将梯形AFED折起，使得AFB60，如图()若G为FB的中点，求证：AG平面BCEF；()求二面角CABF的正切值【解析】()因为AFBF，AFB60，AFB为等边三角形又G为FB的中点，所以AGFB.2分在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，所以EFAB.于是EFAF，EFBF，则EF平面ABF，所以AGEF.又EF与FB交于一点F，所以AG平面BCEF.5分()解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，CD2，AB4，E、F分别是CD、AB中点，所以ECFGBG1，从而CGEF.因为EF面ABF，所以CG面ABF.过点G作GHAB于H，连结CH，据三垂线定理有CHAB，所以CHG为二面角CABF的平面角.8分因为在RtBHG中，BG1，GBH60，所以GH.在RtCGB中，CGBG，BG1，BC，所以CG1.在RtCGH中，tanCHG，故二面角CABF的正切值为.12分解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，点B(2，0，0)，A(1，0，)，C(1，1，0)因为EF平面ABF，所以n1(0，1，0)为平面ABF的一个法向量设n2(x，y，z)为平面ABCD的法向量，因为(1，0，)，(1，1，0)，由n2，n2，得，即.令x，则y，z1，所以n2(，1)(9分)所以cosn1，n2.从而tann1n2，故二面角CABF的正切值为.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)过点P，离心率为.()求椭圆C的标准方程；()设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值【解析】()由题意得1，a2b2c2，解得a2，b，c1，椭圆C的标准方程为1.(5分)()设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F2MN的内切圆半径为r，则SF1MN()r4r，所以要使S取最大值，只需SF1MN最大又SF1MN|F1F2|y1y2|y1y2|，设直线l的方程为xty1，将xty1代入1可得(3t24)y26ty90(*)，因为0恒成立，所以方程(*)恒有解，故y1y2，y1y2.SF1MN|y1y2|.记m(m1)，SF1MN在1，)上递减，所以当m1即t0时，(SF1MN)max3，此时直线l的方程为：x1，Smax.12分(21) (本小题满分12分)已知函数f(x)ln xx2(m2)x，mR.()讨论函数f(x)的单调性；()设a，b是函数f(x)的两个极值点，其中a0)x0，x2，当m22即m0时，f(x)x(m2)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增；当m22即m0时，f(x)0有两个不等正根和，在，上f(x)0，在上f(x)0时，函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减.4分()因为a，b是函数f(x)的两个极值点，其中a0且a，b是方程x2(m2)x10的两根，则abm2，ab1，所以f(a)f(b)ln ab(a2b2)(m2)(ab)(ab)22ab(m2)(ab)(m2)213，所以f(a)f(b)的取值范围是(，3).8分假设存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于，由可知方程x2(m2)x10有两个不等正根a，b，且ab1，所以必有0a1，f(x)在xb处取得极小值，由b2(m2)b10，得(m2)bb21，所以函数f(x)的极小值为f(b)ln bb2(m2)bln bb21.设g(x)ln xx21(x1)，则g(x)x，即g(b)g(e)，be，从而极小值点b满足1b0.:.()当a2时，求不等式f(x)2x1的解集；()若x(2，)时，恒有f(2x)7xa23，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)2x1，即|x2|2x1，即，或，解得x|x1(5分):(2)f(2x)7xa23可化为f(2x)7xa23，令F(x)f(2x)7x，因为F(x)f(2x)7x|2xa|x，由于a0，x(2，)，所以当x时，F(x)有最小值F，若使原命题成立，只需a23，解得a(0，2.10分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org