概率论公式总结

-1 - / 10 第 1 章随机事件及其概率 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Q 时，P( B)=1- P(B) 乘法公式 乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A) 更一般地，对事件 A, A,A,若 P(AAAn-1) 0,则有 P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2). P(An| A1A2 An 1) 独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A) 0，则有 P(B|A) P(AB) P(A)P(B) P(B) P(A) P(A) 多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C ) 全概公式 P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2) P(Bn)P(A| Bn)。 贝叶斯公 式 、 P(Bi)P(A/ Bi) P(Bi/A) n 八 - - ,i=1 , 2,n。 P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi) , (i 1 , 2，n),通常叫先验概率。P(Bi /A) , (i 1 , 2， n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。 第二章随机变量及其分布 连续型 随机变 量的分 布密度 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f(x)，对任意实数x，有 x F(x) f (x)dx , 则称X为连续型随机变量。f (x)称为X的概率密度 函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面性质：f(x) 0。 () 离散与 连续型 随机变 量的关 系 P(X x) P(x X x dx) f (x)dx。积分元f (x)dx在连续型随机变量理论 中所起的作用与P(X xk) pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 -2 - / 1 0-1 分布 P(X=1)=P，P(X=O)=q 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x) P(X x)称为随机变量 X 的分布函数, 本质上是一个累积函数。P在刃重贝努里试式验中(b)设事件a) A可发生到概率落入区间事件,bA发生 率。分布函数F(x)表示随机变量落入机变量，设为a, %内的概率可能取值为，1,2， ，n。 1. F(x) 1, P(X k) ； pn(k)F(x)是单q调不减的函数，即 xi x其时，有中 (5)八 大分布)I二项分布 3。 F( 1 )P, limPF(1G)k ,1,2,F(,n ,)m F(x) 1 ； 4。 F(x ) F (x)，即F (x则是右连续机变量 5X服从参x数为Fnx, F 的二(项。分于离散记为 X B(n, p)。当 n 1 时，P(X k) xpkq1 k , k .1，这 随机变量，F(x) pk ；对于连续型随机变量， 。F (x) f (x)dx xk x 就是( -1 )分布，所以( -1 )分布是二项分布的特例。 设随机变量X的分布律为 泊松分布 P(X 则称随机变量 者 P()。 k k)亍， I X 服从参数为 , k ,1,2 , 的泊松分布，记为 X ()或 超几何分布 P(X k) C k 乍 c n k k CM ?CN M ,1,2 ,l cN i min(M , n) 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 P(X k) qk1p,k 1,2,3, ，其中 p , q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 设随机变量 X的值只落在a , b内，其密度函数f(X)在a , b 上为常数一 1 1 ，即 b a 均匀分布 当 a X1X2W b 时，X 洛在区间 1 a x b (为，x2)内的概率为 f (x) b J a 其他 x2 x-1 , P(X1 X X2) ： 1 b a -3 - / 10 指数分布 正态分布 函数分 布 离散型 f (x) I o， 其中 0，则称随机变量 X 的分布函数为 F(x)彳 I 0, 设随机变量X的密度函数为 x 0, X 服从参数为 的指数分布。 x0。 记住积分公式 x n e x dx n! 0 1 U f(x) -e 2 0为常数，则称随机变量 X服从参数为 2 其中 正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X N (，)。 f (x)具有如下性质: 1 f(x)的图形是关于X 对称的； 1 为最大值; V2 若X N(,)，则X的分布函数为 2 当x 时，f() 2 F(x)丄 1 X e 2 dt (X)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1 2 (-X)= 1-(x)且(0)= 。如果 XN( , 2)，则 2 X - N(0,1) P (Xi X X2 ) 。 Xi 已知X的分布列为 x1, X2, , xn, ,Pn, P(X xi) p1, p2, Y g(X) Y P(Y yi) 若有某些g(xi 的分布列(y g(Xi)互不相等)如下: g(x1), g(x2), , g(xn), )相等，1则则应将对应的厂Pi相加作为g(Xi)的概率。 -4 - / 10 连续型 先利用 X 的概率密度 f x(x)写出 Y 的分布函数 R(y) = P(g(X) y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 第三章二维随机变量及其分布 对于二维随机向量 (X,Y), 如果存在非负函数 f (x, y)( x , y ) 使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即卩 D=(X,Y)|axb,cy 0; (2) f (x, y)dxdy 1. 离散型 连续型 关系 与 的 P(X x，Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy X 的边缘分布为 边缘分布 离散型 Pi? P(X xi ) Pij j (i, j 1,2, )； Y 的边缘分布为 P?j P(Y yj) Pij i (i, j 1,2, )。 X 的边缘分布密度为 连续型 fx(x) f (x, y)dy; Y 的边缘分布密度为 fY(y) f (x, y)dx. 离散型 Pij Pi?P?j 有零不独立 连续型 f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判断 率密度区间为矩形 ， 充要条件： 可分离变量正概 若 X1,X2,XmXm+1,X 相互独立，h,g 为连续函数，则： 随机变量的 h (X1, X2,Xm)和 g ( Xm+1 Xn)相互独立。 函数 特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。 -5 - / 10 函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z) 态分布的和仍为正态分布( 1 2,2 2 )。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 2 2 2 Ci i ， Ci i Z=max,mi n( Xl,X2,Xn) 若Xi,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为 Fx1 (x), Fx2 (x) Fxn (x)，则 Z=max,min(X i,X2，Xn)的分布 函数为： Fmax (x) Fx1 (x) ? Fx2 (x) Fxn (x) Fmin(x) 1 1 Fxi(X)?1 FX2(X) 1 Fxn(X) 2分布 设 n 个随机变量X1, X2, ,Xn相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和 n W X2我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布记为 i 1 W 2(n) 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。 2分布满足可加性：设 Y 2(nJ,则 k 2 Z Yi (n1 n2 nJ i 1 t 分布 设 X, Y 是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y 2(n),可 X 以证明函数T 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布， UY / n 记为 Tt(n)。t1 (n) t (n) -6 - / 10 F 分布 设X 2(nJ,Y 2(门2)，且 X 与 Y 独立，可以证明 X /n F - 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 第二个 丫/亚 自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n 1, n 2). 1 Fi (n 1,n2)厂 / 、 F (n2, nJ 第四章 随机变量的数字特征 离散型 连续型 设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变 1 (1) 期望 律为 P( X Xk ) = p2) n 2 n E(X) xi Pi? i 1 E(X) xfX (x)dx 期望 n 二维 E(Y) yjP?j E(Y) yfv(y)dy 随机 j 1 变量 EG(X,Y)= EG(X,Y)= 函数的期望 i j G(Xi,yj)Pj G(x, y)f (x, y)dxdy -8 - / 10 数字 特征 方差 D(X) Xi E(X)2pi? i D(Y) Xj E(Y)2p?j j D(X) X E(X)2 fx(X)dx 2 D(Y) y E(Y) fY(y)dy 协方差 对于随机变量 X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩 11为 X 与 Y 的协方差 或相关矩，记为 XY或 cov(X,Y)，即 XY 11 E(X E(X)(Y E(Y). 与记号 XY相对应，X 与 Y 的方差 D(X)与 D( Y)也可分别记为 XX与 YY。 相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D (X)0, D(Y)0，则称 XY 为 X 与 Y 的相关系数，记作 、，丫(有时可简记为 )。 JD(X)JD(Y) | | 1,当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：P(X aY b) 1完全 相关正相关，当 1 时(a 0), 负相关，当 1 时(a 0), 而当 0时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); 协方 差的 性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 独立 和不 相关 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 XY 0 ；反之不真。 -9 - / 10 设随机变量 X1, X2, 相互独立，服从同一分布，且具有 列维 林德伯 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差： E(Xk) ,D(Xk) 2 0(k 1,2, )，则随机变量 格定理 n Xk n Yn k1 r (2) 中心极限定 理 的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有 X 2 N( n Xk n 1 x : e 2dt. n lim (x) lim P - 1 - - x n n J n 72 此定理也称为独立同分布 的中心极限定理。 棣莫弗 拉普 设随机变量 X n为具有参数 n, p(0p1) 的二项分布，则对于 拉斯定 任意实数 x,有 理 Xn 叩 t2 lim P n 1 x - x e 5/2 2 dt. Jn p(1 p) 第六章样本及抽样分布 样本均值 样本 k 阶中心矩 2 E(S ) E(X) ，D(X) 2 E(S* )其中 S*2 1 (Xi n i i 2 X)，为二阶中心矩样本方差 S2 1 n 71ii(Xi x)2- 常见统计量 及其性质 样本 k 阶原点矩 x)2 Xi . 样本标准差 S -10 - / 10