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第8章 数列与无穷级数（一） 数列1 数列极限的定义若0，正整数，使得当时成立0则，当时成立0；，则。(2) 收敛数列是有界数列。4数列极限的存在性准则(1) 夹逼准则（夹逼定理）: （2）单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。5 数列极限与函数极限的联系对于数列，若存在定义域包含的函数，使，且，且。6 数列与数列的关系（1）若，是的一个子数列，则。（2）若，则。（二）无穷级数的基本概念1级数敛散性的定义 称为级数的前项部分和，而称数列为级数的部分和数列。 若级数的部分和数列收敛，即，则称级数收敛，称s为该级数的和，记为，同时称为级数的余和。 若级数的部分和数列发散，则称级数发散。2级数的基本性质（）若，是常数，则。（2）若=s，则。（3）若收敛，则也收敛，其中任一正整数；反之亦成立。（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。（5）级数收敛的必要条件：若收敛，则。（三）数项级数1正项级数（1）正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。（2）正项级数的比较判别法及其极限形式 设，（）若收敛，则收敛；（）若发散，则发散。 设与均是正项级数，若，则与具有相同的敛散性。（3）正项级数的积分判别法 对于正项级数，若存在单调减少的连续函数，使得，则级数与广义积分具有相同的敛散性。（4）正项级数比值判别法的极限形式 设为正项级数，且, 则（a）1（包含）时，级数收敛； （c）当时，本判别法失效。（5）正项级数根值判别法的极限形式 设为正项级数，且,则（a）当1（包含）时，级数发散； ( c) 当时，本判别法失效。2交错级数的莱布尼兹判别法 若正数列单调减少，且, 则交错级数（及）收敛，且余和。3.绝对收敛与条件收敛 若收敛，则称绝对收敛； 若发散，而收敛，则称条件收敛。 绝对收敛级数必收敛。 绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。（四）幂级数 1幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理 若幂级数在某点(0)处收敛，则在区间（）内的任一点处均绝对收敛；若幂级数在某点处发散，则在满足的任一点处均发散。 （2）收敛半径的定义 若幂级数不是仅在点x=0处收敛，也不是在（）内的任一点处均收敛，则存在正数r，使当时，收敛；而当时，发散，称此正数称为幂级数的收敛半径。当仅在点=0处收敛时，定义收敛半径=0; 当在（）上都收敛时，定义收敛半径=+。(3) 收敛半径的计算设幂级数满足,（这里的是某个正整数）,且，则（a）当L0时，=; (b) 当L=0时，= +; (c) 当L= +时，=0。 （）收敛区间与收敛域当幂级数的收敛半径r0时，称（）是它的收敛区间；当判定在=处的敛散性后，可确定其收敛域。2幂级数的运算（1）代数运算设，收敛域为，收敛半径，收敛域，收敛半径，则a) ，收敛域为；b) ，收敛半径 （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。（2）、分析运算设，收敛域，收敛半径，则a) 和函数在上连续；b) 和函数在内可导且可逐项求导： ；）和函数在内可积，且可逐项积分：=，；3 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数 设函数f(x)在点x的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数=+为f(x)在点x的泰勒级数。而称=+为f(x)的麦克劳林级数（=0时的泰勒级数）。（2）函数的幂级数展开（间接展开法）利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。复习指导：第8章 数列与无穷级数（一）、数列计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。假定数列由递推公式定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。如果数列的通项是由n个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。（二）、无穷级数的基本概念1、级数敛散性的定义每个级数涉及到两个数列：一是由其项构成的数列u，二是由其部分和构成的数列s。级数的敛散性是用s的敛散性定义的。一般，即使级数收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数收敛，我们就可以用部分和近似表示它的和，其误差为。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。、级数的基本性质（）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。（）、收敛级数可以逐项相加。而且，若收敛，发散，则必有发散。（）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。（）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数发散。（）、是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由可推得级数发散。若需证明数列 收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数收敛，再利用级数收敛的必要条件得 收敛于零。（三）、数项级数、正项级数（）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。（）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为n时，通项关于无穷小的阶数易观察而得，应优先考虑与p级数比较，（利用比较判别法或其极限形式）。（）、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和p级数，故下列结论应牢记。等比级数当时收敛，当p时发散。、交错级数的莱布尼兹判别法这里需指出，与其他的判别法一样，莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要。对于莱布尼兹型级数，其“截断误差”有估计式、绝对收敛与条件收敛（）、判断变号级数的敛散性，是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散。（）、若发散，且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得，则必有，因而立即可得 发散。（四）、幂级数1、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域（1）、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点。（2）、对于“缺项”的幂级数，不能直接利用公式求收敛半径，我们可以将任意取定为一常数，再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径。2、幂级数的运算利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算，可能会改变其收敛区间端点上的敛散性。3幂级数的展开通常利用间接法展开。这里首先需要注意的是基点，如果是将函数在点处展开为泰勒级数，是指将表达成 的形式。一般，对数函数可利用的麦克劳林级数，指数函数利用的麦克劳林级数等等，又，反三角函数或变限积分函数常常先求导再展开。若在展开过程中，利用了幂级数的乘法，逐项微分和逐项积分的运算，则收敛区间端点上的敛散性需重新判断。求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一，千万不要遗漏。4求幂级数的和函数与收敛数项级数的和 若在幂级数的项中没出现阶乘记号，通常利用幂级数的运算，将其化为等比级数，利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数。若在幂级数的项中出现阶乘记号，则利用 、sinx、cosx的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的运算，求其在收敛域上的和函数。求收敛数项级数的和，可以利用级数敛散性的定义，即计算。也可构造幂级数，使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值，通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。9 / 9文档可自由编辑打印
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