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知源学校2016届高三第一次月考文科 数学试卷制卷:杨文 审卷:刘六华满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合, 则( )A. B. C. D.【答案】B2. 设复数(是虚数单位), 则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】.3. 已知变量之间具有线性相关关系, 其散点图如图所示, 回归直线的方程为, 则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B4. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个圆锥的, 其中圆锥的底面圆的半径为, 高为, 所以该几何体的体积. 故选A.5. 已知为第二象限角, 且, 则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】为第二象限角, , 故选D.6. 执行如图所示的程序框图, 若输入, 则输出的结果为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C7. 命题 “”; 命题 “函数的图象经过点”. 则( )A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假 【答案】B8若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由双曲线的离心率为2得, ,则其渐近线方程为.9. 设变量满足约束条件则的最大值为( )A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y2xz过点B(3，0)时，z取得最大值6.10. 已知在中, 角A, B, C所对的边分别为, 若, 则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由及正弦定理得, , 故11. 已知函数的图象如图所示, 则的解析式可以是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数图象可知, 函数为奇函数, 则可以排除B、C, 若函数为, 则时, , 排除A, 故选D.12. 若存在实数, 使得的解集恰为, 则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】, 当时, 不等式, 即, 令, 则, 令得, 则当时, 单调递增, 当时, 单调递减, 所以当时, 取得极大值也是最大值, 且, 又在上恒成立, 所以当时, 的解集可能是闭区间; 当时, 不等式, 即,令, 则, 从而可知在上单调递增, 所以的解集不可能是闭区间. 综上可知.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13. 已知向量, 且与共线, 则实数的值为 .【答案】.【解析】, .14. 设是定义在R上的周期为3的函数, 当时, , 则= .【答案】2【解析】.15. 圆与直线没有公共点的充要条件是 .【答案】【解析】解法一: 将直线方程代入圆方程, 得, 直线与圆没有公共点的充要条件是, 解得.解法二: 圆心到直线的距离, 直线与圆没有公共点的充要条件是, 即,解得.16. 在半径为4的球面上有不同的四点A, B, C, D, 若, 则平面BCD被球所截得图形的面积为 .【答案】【解析】过点A向平面BCD作垂线, 垂足为M, 则M是的外心, 而外接球球心O位于直线AM上, 设所在截面圆半径为r, , 在Rt中, .三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在五次月考中, 甲、乙两名同学的数学成绩(单位:分)如表所示: 第一次第二次第三次第四次第五次甲5855769288乙6582878595(I)请画出甲、乙两人数学成绩的茎叶图, 你认为谁的成绩好一些?请说明理由(不用计算);(II)若从甲、乙两人五次考试成绩中各随机抽取1次进行分析, 求抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率.【解析】(I)茎叶图如图所示, 由图可知, 乙的平均成绩大于甲的平均成绩, 且乙的方差小于甲的方差, 因此乙的成绩好一些. 5分(II)设事件A: 抽到的2次成绩中至少有1次高于90分.从甲、乙两人五次考试成绩中各随机抽取1次, 所有的基本事件如下55, 65, 55,82, 55,85,55,87,55,95,58,65, 58,82, 58, 85,58, 87,58,95,76,65,76, 82,76,85, 76,87,76,95,88,65,88,82,88,85,88, 87,88,95, 92,65,92, 82,92,85,92,87,92, 95, 共25个. 7分事件A包含的基本事件如下: 55,95,58,95,76,95,88,85,92, 95,92,65,92, 82,92,85,92,87, 共9个. 9分所以, 即抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率为. 10分18.(本小题满分12分)函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位, 再将纵坐标保持不变, 横坐标缩短为原来的而得到.(I)写出函数的解析式并求出的周期;(II)若, 求函数的最大值及当取得最大值时的值.【解析】(I), 周期为. 6分(II) , 所以当即时, 取得最大值2.12分19.(本小题满分12分)如图, 在直角梯形中, , , , 平面平面, 是正三角形, 、分别为、的中点, 是上靠近点的四等分点.(I)证明: 平面;(II)若, 求四棱锥的体积.【解析】(I)取AP的中点N, 连接EN,ND, 因为AN=NP, BE=EP, 所以NE/AB且NE=AB, 2分因为AB/CD,且AB=CD, DF=CD, 所以DF/AB, 且DF=AB,所以DFNE, 所以四边形EFDN是平行四边形, 所以DN/EF, 4分又DN平面ADP, EF平面ADP,所以EF/平面ADP. 6分(II)依题意, 在直角梯形ABCD中, AB/CD, , AB=CD, 所以CD=4, 则直角梯形ABCD的面积S=(AB+CD)BC=12. 8分因为是正三角形, M为BC的中点, 所以PMBC.又平面平面,平面平面=BC, PM平面PBC, 所以PM平面ABCD, 所以PM是四棱锥的底面ABCD上的高. 10分因为是正三角形, BC=4, 所以PM=2, 故四棱锥的体积V=.12分20.(本小题满分12分)已知在各项均为正数的等比数列中, .(I)求数列的通项公式;(II)设, 求数列的前项和.【解析】(I)设等比数列的公比为, 由已知得, 又, 故, . 6分(II)由(I)知 7分则, 两式相减得,. 12分21.(本小题满分12分)已知椭圆C: , 焦距为, 长轴长为4.(I)求椭圆C的标准方程;(II)过点O作两条互相垂直的射线, 与椭圆C交于A,B两点. 证明: 点O到直线AB的距离为定值, 并求出这个定值.【解析】(I)由题意知, , 1分所以, . 3分所以椭圆C的标准方程为. 4分(II)设.i)当直线AB的斜率不存在时, 为等腰直角三角形, 不妨设直线OA:.将代入, 解得,所以点O到直线AB的距离. 6分ii)当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为,代入, 消去, 得, 所以.8分因为OAOB, 所以,即, 所以. 整理得,所以点O到直线AB的距离, 综上, 点O到直线AB的距离为定值.12分22.(本小题满分12分)已知函数为自然对数的底数).(I)讨论函数的单调性;(II)若, 函数在上为增函数, 求实数的取值范围.【解析】(I)函数的定义域为R, .当时, 在R上为增函数;当时, 由得, 则当时, , 在上为减函数,当时, , 在上为增函数. 5分(II)当时, ,在上为增函数, 在上恒成立,即在上恒成立, 令, ,令在上恒成立,即在上为增函数,即即在上为增函数, 12分第8页 共8页
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