元素与集合、集合与集合的关系

淘出优秀的你 第一周元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次；无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的2元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，a不属于集合A，记作aA.3集合间的基本关系(1)子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB.(2)真子集：如果AB且AB，那就说集合A是集合B的真子集，记作AB.(3)相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即AB.(4)常用结论任何一个集合是它本身的子集，即AA；空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；如果AB，BC，那么AC；如果AB，同时BA，那么AB.典型例题剖析例1已知集合Ax|ax22x10，xR，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围【方法指导】集合A中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a的取值范围即可【解析】(1)当a0时，方程只有一个根，则a0符合题意；(2)当a0时，关于x的方程ax22x10是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以44a0，解得a1，所以实数a的取值范围是a|a1综上所述，实数a的取值范围是a|a0或a1【提示】以下解法是错误的：由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax22x10有两个相等的实数根或没有实数根，所以44a0，解得a1，所以实数a的取值范围是a|a1错误原因方程ax22x10不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式判断其实根的个数【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x的方程ax22x10的实数根的个数问题，这样就容易解决了同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论变式训练已知集合AxR|ax23x20(1)若A是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a的值及集合A；(2)求集合PaR|a使得A至少含有一个元素【解析】(1)当a0时，A，符合题意；当a0时，要使方程有两个相等的实根，则98a0，即a，此时A综上所述，当a0时，A；当a时，A(2)由(1)知，当a0时，A含有一个元素，符合题意由a0时，要使方程有实根，则98a0，即a.综上所述，PaR|a使得A至少含有一个元素a|a例2已知3A，A中含有的元素有a3,2a1，a21，求a的值【解析】由3A且a211，可知a33或2a13，当a33时，a0；当2a13时，a1.经检验，0与1都符合要求a0或a1.变式训练已知互异的两数a，b满足ab0，集合a，ba2，b2，则ab等于()A2 B1 C0 D1【答案】D【解析】由a，ba2，b2，则或，由得，ab0，a0且b0，即a1，b1，此时集合1,1不满足条件由两式相减得a2b2ba，两数a，b互异，ba0，即ab1，故选D.例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围【解析】Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA.若B，则m12m1，解得m2，此时有BA；若B，则m12m1，即m2，由BA，得，解得2m3.由得m3.实数m的取值范围是m|m3【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B为空集的情形变式训练已知集合Px|x2x60，集合Qx|ax10，且QP，求实数a的取值构成的集合A.【解析】x2x60，(x3)(x2)0，即x3或x2.P3,2又Qx|ax10，当a0时，Q，满足QP；当a0时，有3或2，a或a，故a0或a或a.A，0，跟踪训练1若集合AxR|ax2ax10其中只有一个元素，则a等于()A4 B2 C0 D0或42集合中含有的元素个数为()A4 B6 C8 D123若集合Ax|ax2(a6)x20是单元素集合，则实数a等于()A2或18 B0或2C0或18 D0或2或184已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，那么a为()A2 B2或4 C4 D05集合A满足关系式(a，b)Aa，b，c，d，e，则集合A的个数是()A5 B6 C7 D86若非空数集Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，则能使AB成立的所有a的集合是()Aa|1a9 Ba|6a9Ca|a9 D7若集合Ax|x25x60，集合Bx|ax20，aZ，且BA，则实数a_.8若集合M，集合N2,4，MN1,2,4，则实数m的值的个数是_9如果有一集合含有三个元素1，x，x2x，则实数x的取值范围是_10已知M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，则有序实数对(a，b)的值为_11设集合A3,3m2，B3m,3，且AB，则实数m的值是_12已知集合Ax|2a2xa2，Bx|2x3且AB，求实数a的取值范围13已知由实数构成的集合A满足条件：若aA，则A(a0且a1)，则集合A中至少有几个元素？证明你的结论参考答案1A当a0时，方程为10不成立，不满足条件；当a0时，a24a0，解得a4.故选A.2B由题意，集合中的元素满足x是正整数，且是整数，由此列出下表x12346121264321根据表格，可得符合条件的x共有6个，即集合中有6个元素，故选B.3Da0时，6x20，x，只有一个解，集合A，满足题意a0时，方程ax2(a6)x20有两个相等实根判别式0，(a6)28a0，a220a360，解得a2或a18，实数a为0或2或18.故选D.4B集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，a2A,6a4A，a2，或者a4A,6a2A，a4，综上所述，a2,4.故选B.5D由题意知集合A中的元素a，b必取，另外可从c，d，e中取，满足题意的集合A的个数等于集合c，d，e的子集个数，因为c，d，e的子集个数为238，则集合A的个数是8.故选D.6B70或1849x0,1,2，解析由集合元素的互异性可得x1，x2x1，x2xx，解得x0,1,2，.10(0,1)或(，)解析M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，或，即或或，当a0，b0时，集合M2,0,0不成立，有序实数对(a，b)的值为(0,1)或(，)故答案为(0,1)或(，)110解析依题意，3m3m2，所以m0或m1.当m1时，违反元素互异性(舍去)12解析由已知AB可得，(1)当A时，有2a2a2a4.(2)当A时，由AB得.综合(1)(2)，实数a的取值范围是a|a4或0a113解析aA，则A，A，进而有A，又有aA.aR，a.假设a，则a21，矛盾，a.类似方法可得a、和四个数互不相等，故集合A中至少有四个元素7