2019届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议(共21页)

精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 20192019 届高三数学高考备考届高三数学高考备考极坐标与参数方程极坐标与参数方程专题复习建议专题复习建议 极坐标与参数方程为高考选考内容之一，主要考查直线与圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等。 高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。一道解答题，位于 22 题，满分 10 分；考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”，第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中, 的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。 随着新课标的实施，2018 年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。考查运算求解能力，考查数形结合思想、划归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。 近 5 年本部分内容考查情况如下： 年份 题序 考查内容 2014 年 23 参数方程与普通方程的互化 2015 年 23 直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 2016 年 23 直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化 2017 年 22 参数方程与普通方程的互化 2018 年 22 圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系 一、存在的问题及原因分析一、存在的问题及原因分析 （一）（一）对直线参数方程中参数的几何意义认对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位识不到位 【例 1】直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与( , )P a b之间的距离是 A1t B12 t C12 t D122t 【解析】l上的点1P对应的参数是1t，则111(,)P at bt， 22212111()()22PPatabtbtt，故选 C 【评析】 易错选为 A.为什么错？因为所给的直线l的参数方程不是标准式，l上的点1P对应的参数是1t精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 并没有参数的几何意义.化成标准式2222txatyb，也可以看出答案为 C. 【例 2】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2, ()23xttyt 为参数.直线与曲线22:(2)1Cyx交于,A B两点.求|AB的长； 【解析】把直线l的参数方程2()23xttyt 为参数化为标准的参数方程232212tytx（ t为参数） 代 入 曲 线:C2221,yx整 理 得01042 tt， 所 以10, 42121tttt， 所 以1424) (2122121ttttttAB. 【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B对应的参数分别为12,t t错误得到212121 2| |()414ABttttt t. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，| | t才表示距离.一般地，直线btyyatxx00（t表示参数），当122ba时，| | t表示点),(yxp到点00()P x ,y的距离. 【例 3】在直角坐标系xOy，直线l的参数方程是1+ cos ,sin .xtyt（t是参数）在以O为极点，x轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4cos，若直线l与曲线C相交于,A B两点，设(1,0)P，且1PAPB,求直线l的倾斜角 【解析】直线l为经过点(1, 0)P倾斜角为的直线，由1cossinxtyt 代入22(2)4xy，整理得22 cos30tt，2(2cos )120 ，设,A B对应的参数分别为12,tt，则122costt，1230t t ， 所以1t，2t异号， 则12| | |2cos| 1PAPBtt，所以1cos2 ，又), 0所以直线l倾斜角3或32. 【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t的几何意义认识不到位所致，| | t表示距离，t是包含符号的，由于本题中，,A B在P点的两侧，12t ,t异号，故12| | |2cos| 1PAPBtt而不是22121212| |()44cos121PAPBttttt t. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的. （二）（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价忽略参数的取值范围导致“互化”不等价 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【例 4】将曲线1C的参数方程1sin22sincosxy（为参数）化为普通方程. 【解析】把cossiny两边平方得xy212sin1)cos(sin22，所以xy212， R,212sin2121.2121x 所求曲线1C的普通方程为xy212，.2121x 【评析】本题易错点主要在于忽视三角函数sinyx的有界性，即R,212sin2121所以.2121x在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意yx,的取值范围. 【例 5】（2014 年广东省深圳市高考模拟题）若直线bxy与曲线sincosyx(为参数，且)22有两个不同的交点，则实数b的取值范围是_ 【解析】曲线sincosyx(为参数，且)22表示的是以原点为圆心，以 1 为半径的右半圆，如图，直线bxy与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线21,ll之间,则(2, 1b . 【评析】本题易错点主要在于忽视所给的范围，以为sincosyx(为参数，且)22表示的图形是圆。其实本题中参数方程表示的是以原点为圆心 1 为半径的非左半部分的圆的一部分，有了这个认识之后，便不容易出错。 （三）（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题 【例 6】（2017 全国卷 II 22）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为4cos （） M 为曲线1C上的动点,点 P 在线段OM上,且满足6OMOP,求点 P 的轨迹2C的直角坐标方程； （）设点 A 的极坐标为)3, 2(，点 B 在曲线2C上，求OAB面积的最大值 【解析】（）设 P 的极坐标为( , )( 0) ，M 的极坐标为11() (0), ，则由已知得116 即416cos，得2C的极坐标方程为4cos(0) ， 所以2C的直角坐标方程为22(2)4 (0)xyx 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （）设点 B 的极坐标为，0BB,由题设知cos=2，=4BOA,于是OAB面积 3223)32sin(2)3sin(cos4sin21AOBOASB. 因为22，所以323234， 所以当12时，S 取得最大值32，所以OAB面积的最大值为32. 【评析】 本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位， 其一， 不能将极径与OM、OP建立联系，从而无法快速求出 P 的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立OAB的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB面积关于直线OB 斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（）问题目中还隐含着一个条件0，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件. 【例 7】在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为22cos,(2sinxy为参数）. （）将1C的方程化为普通方程； （）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C的极坐标方程是)(3R求曲线1C与2C交点的极坐标. 【解析】（）曲线1C的参数方程为22cos,(2sinxy为参数）的普通方程为22(2)4xy； （）把cossinxy代入22(2)4xy得曲线1C的极坐标方程为4cos，把3代入得4cos23，又因为曲线1C和曲线2C的均过原点，.所以曲线1C与2C交点的极坐标为(0,0),(2,).3 【评析】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以，这时需要考虑等价问题：如果曲线0),(不通过极点， 那么0),(与0),(不等价； 如果曲线0),(通过极点， 那么0),(与0),(等价，这是因为0包含在方程( , )0 的曲线中. 本题由于曲线1C和曲线2C的均过原点，所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解. （四）（四）思维不严谨性，完备性欠缺思维不严谨性，完备性欠缺 【例 8】在直角坐标系xOy中，直线4:1 yxC曲线sincos1:2yxC（为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （）写出直线1C与2C的极坐标方程； （）若射线)0(:l分别交1C与2C于 A，B 两点，求OAOB的取值范围. 【 解 析 】 （ ）在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线4:1 yxC直 线1C的 极 坐 标 方 程 为, 4)sin(cos曲线sincos1:2yxC的普通方程为1) 1(22yx，曲线2C的极坐标方程为cos2. （）设24),(),(21BA则,cos2,sincos421 ,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB 1)42cos(2224，) 12(41 1)42cos(2410 OAOB的取值范围是).12(41, 0( 【评析】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出OAOB,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB后直接得OAOB的取值范围是4221,4221忽略了射线)0(:l分别交1C与2C于相交，隐含着24这一条件. 【例 9】(2018 全国卷 II 22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos ,4sin ,xy（为参数），直线l的参数方程为1cos ,2sin ,xtyt （t为参数） （）求C和l的直角坐标方程； （）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 【解析】（）曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx， 当cos0时，l的直角坐标方程为1x （）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 又由得1224(2cossin)1 3costt ，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 【评析】()根据同角三角函数关系将曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分0cos 与0cos两种情况这也是考生容易忽略之处.( )将直线参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得cos,sin之间关系，求得tan，即得的斜率这里，直线的参数方程的标准形式的应用显得特别重要也是能否顺利求解的关键. 【例 10】(2018 全国卷22)在平面直角坐标系xOy中，圆 O 的参数方程为cossinxy(为参数)，过点0,2且倾斜角为的直线l与圆 O 交于,A B两点. () 求的取值范围； () 求AB中点P的轨迹的参数方程. 【解析】()当2时，直线:0l x ，符合题意； 当2时，设直线:2l ykx，由题意得2211dk，即,11,k ，又tank，3,4224. 综上，3,44 ()可设直线参数方程为cos3,442sinxtyt ，代入圆的方程可得： 22 2 sin10tt ， 122sin2Pttt，2sincos3,4422sinsinxy 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 即点P的轨迹的参数方程为223sin2,2442cosxy (也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【评析】本题易错的地方有三处：一是直接假设直线:2l ykx，没有讨论斜率不存在的情况；二是由,11,k ，把tank中的范围取错；三是对AB中点P的221tttp不会运用，导致无法求解.在本题求解过程中，思维的严谨，三角函数的图像和性质的应用，参数的几何意义的理解，曲线图象的准确定位显得尤为重要. （五五）作图分析不到位作图分析不到位 【例 11】(2018 全国卷22)在直角坐标系xoy中，曲线1C的方程为2xky以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为03cos22 （）求2C的直角坐标方程； （）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程 【解析】（）由sin,cosyx，222yx得2C的直角坐标方程为4)1(22yx. （）由（）知2C是圆心为 A(-1，0)，半径为 2 的圆 由题设知，1C是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为1l，y 轴左边的射线为2l由于 B 在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点 当1l与2C只有一个公共点时，A 到1l所在直线的距离为 2，所以2122kk，故34k或 k=0 经检验，当 k=0 时，1l与2C没有公共点；当34k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 当2l与2C只有一个公共点时，A 到2l所在直线的距离为 ，所以2122kk，故 k=0 或34k 经检验，当 k=0 时，1l与2C没有公共点；当34k时，2l与2C没有公共点 综上，所求1C的方程为234xy 【评析】（）是个简单的问题，（）容易把答案写成234xy或234xy错误原因一是没有发现直线恒过定点（0,2），且此直线关于 y 轴对称；二是不会作图分析.其实画出图像，根据对称性可知，1C与2C有且仅有三个公共点只可能是1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点的情况（1l与2C只有一个公共点时，可保证2l与2C有两个公共点），不可能是2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点（若2l与2C只有一个公共点，则1l与2C没有公共点）本题是考查核心素养之直观想象的创新试题，也是备考的良好素材. 二、解决问题的思考与对策二、解决问题的思考与对策 （一）（一）关注两个“互化”的技能训练关注两个“互化”的技能训练 参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化. 【例 12】（湖北省 2018 届高三 4 月调研考试）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()求曲线的极坐标方程； ()已知射线与曲线分别交于点（异于原点 ），当时，求的取值范围. 【解析】()因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 对于曲线,则曲线的极坐标方程为. ()由()得,， 因为，则 【评析】求曲线的极坐标方程要经过两次转化，问题()转化为三角函数的值域，再转化为3(1, )2t时，求244ytt的值域。而该函数在3(1, )2单调递增，值域便可求出。 （二）（二）强化对直线参数方程中参数强化对直线参数方程中参数t的几何意义的认识的几何意义的认识 利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t表示距离时方程的特征和t所具有的“方向”性. 【例 13】（2017 福建省普通高中毕业班数学单科质量检查题）在极坐标系中，曲线cos2:1C，曲线cos4sin:22C.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy，曲线 C 的参数方程为tytx23,212（t 为参数）. （）求1C,2C的直角坐标方程； （）C 与1C,2C交于不同四点，这四点在 C 上的排列顺序为 P,Q,R,S,求RSPQ 的值. 【解析】法法 1:1: （）因为sin,cosyx， 由cos2得cos22， 所以曲线1C的直角坐标方程为1) 1(22yx. 由cos4sin2得cos4sin22， 所以曲线2C的直角坐标方程为xy42. （）如图 1，不妨设四个交点自下而上依次为 P,Q,R,S,它们对应的参数为4321,tttt. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 则0448)32(34)8(21，3841tt. 把tytx23,212代入1) 1(22yx，得02tt， 则012，132tt. 所以.311381)()()(41323412ttttttttRSPQ 法法 2 2：（）同解法 1. （）把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 如图 2，不妨设四个交点自下而上依次为 P,Q,R,S,点 S,P 对应的参数为21,tt,则 032,382121tttt 又圆1C中，QRCRQC101,60为等边三角形，所以1QR, 2211,ttPRttRS， .311)(2112QRtttQRtRSPQ 法法 3 3：（）同解法 1. （）如图 2，不妨设四个交点自下而上依次为 P,Q,R,S. 依题意直线 C 的方程为233yx，且过 R(2,0)，代入xy42，得 083342yy，设),(),(2211yxPyxS，则 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 083342121yyyy， 因为直线 C 的倾斜角为3，所以2132,32yRPyRS 又QRC1为边长为 1 的等边三角形，1QR, 所以.3111)(32321322112yyyyRSPQ 【评析】注意t表示距离时方程的特征和t所具有的“方向”性. （三）（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用 涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理. 【例 14】（2017 全国卷 I 22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数），直线l的参数方程为41xattyt 为参数. （）若1a ，求C与l的交点坐标； （）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. 【解析】（）当1a 时，直线l的方程为430 xy，曲线C的标准方程为2219xy. 联立方程2243019xyxy，解得30 xy或21252425xy ，则C与l交点坐标是30，和21242525，. （）直线l一般式方程为044ayx，设曲线C上点)sin,cos3(P 则点P到l的距离5sin43cos4sin41717aad，其中3tan4 依题意得max17d，解得16a 或8a . 【评析】注意辅助角公式的运用。 （四）（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用关注极径、极角几何意义的认识与应用 【例 15】（2018 年福建省高三毕业班质量检查测试题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为1cos ,1sinxy （为参数），12, l l为过点O的两条直精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 线，1l交M于,A B两点2l交M于,C D两点，且1l的倾斜角为，6AOC （）求1l和M的极坐标方程； （）当0,6时，求点O到, , ,A B C D四点距离之和的最大值 【解析】 （）依题意，直线1l的极坐标方程为 ()R. 由1cos ,1sinxy 消去，得22(1)(1)1xy 将cos ,sinxy代入上式， 得22 cos2 sin10 ， 故 M 的极坐标方程为22 cos2 sin10 . （）依题意，可设1234(, ), (, ), (， +）， （， +）66ABCD，且1234,，均为正数. 将代入22cos2 sin10 ，得22(cossin)10 ， 所以122 (cossin)， 同理可得，342 cos()sin()66， 所以点 O 到 A,B,C,D 四点的距离之和为 12342 (cossin)2 cos()sin()66 (13)sin(33)cos 2 (13)sin()3 因为0,6，所以当sin()13，即6时，1234取得最大值为2 (13). 所以点O到, , ,A B C D四点距离之和的最大值为22 3. 【评析】极径、极角几何意义的认识与应用给问题的研究带来方便。 （五）（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决 将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 用本领域知识解决问题的算法. 【例 16】 （2018 江苏卷） 在极坐标系中， 直线 l 的方程为sin()26， 曲线 C 的方程为4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos，所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为sin()26，则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB=6 连结OB， 因为OA为直径， 从而OBA=2， 所以4cos2 36AB 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为2 3 【评析】本题的解法多样，比如转化为平面直角坐标系中进行研究，如果通过本领域知识极坐标系进行研究也是一个不错的选择，但对极坐标系中常见方程的类型要很熟悉。 （六）（六）关注作图能力的培养关注作图能力的培养 与解析几何相同，本部分核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，战无不胜. 【例 17】( (2014 浙江卷) ()在极坐标系 Ox 中，设集合 A(，)|04，0cos ，求集合 A 所表示区域的面积； ()在直角坐标系 xOy 中， 直线 l：x4tcos4，ytsin4(t 为参数)，曲线 C：xacos ，y2sin ( 为参数)，其中 a0. 若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 【解析】()在 cos 两边同乘 ，得2cos .化成直角坐标方程，得 x2y2x， 即2)21( xy214. 所以集合 A 所表示的区域为：由射线 yx(x0)，y0(x0)，圆2)21( xy214所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为1618. ()由题意知，直线 l 的直角坐标为 xy40. 因为曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方，故对 R，有 acos 2sin 40 恒成立， 即 a24cos()4（其中a2tan）恒成立，只需442 a， 所以 a244.又 a0，得 0a2 3. 【评析】f(x)A 在区间D上恒成立f(x)min A；f(x)A 在区间D上恒成立f(x)max A. 三、典型问题剖析三、典型问题剖析 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （一）（一）两种“互化”及其应用两种“互化”及其应用 【例 18】 （2013 全国卷 23） 已知曲线 C1的参数方程为45cos ,55sinxtyt(t 为参数)， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . ()把 C1的参数方程化为极坐标方程； ()求 C1与 C2交点的极坐标(0,02) 【解析】()将45cos ,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程25)5()4(22yx， 即016108:221yxyxC. 将cos ,sinxy代入01610822yxyx得016sin10cos82. 所以1C的极坐标方程为016sin10cos82. ()2C的普通方程为0222yyx. 由2222810160,20 xyxyxyy 解得1,1xy或0,2.xy 所以1C与2C交点的极坐标分别为( 2,)4，(2,)2. 【评析】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化， 直角坐标方程与极坐标方程的互化， 以及利用 “互化”解决有关曲线交点的问题.解题的关键在于两种“互化”相关公式的理解与熟练掌握. （二）（二）利用参数方程解决问题利用参数方程解决问题 【例 19】（2014 全国卷 23） 已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数） （）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值. 【解析】（）曲线C的参数方程为：2cos3sinxy （为参数）， 直线 l 的普通方程为：260 xy. （）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos,3sin)到 l 的距离为54cos3sin65d， 则02 5|5sin6sin305dPA，其中为锐角且4tan3. 当sin1 时，PA取得最大值，最大值为22 55； 当sin1时，PA取得最小值，最小值为2 55. 【评析】本题解题的关键之一在于将PA的最值问题，转化为点 P 到直线l的距离的最值问题，其二精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 在于确定 P 点的坐标形式， 通过椭圆的参数方程设点， 进而利用三角函数有界性解决问题， 解题过程轻松、快捷. （三）（三）利用利用, 的几何意义解决问题的几何意义解决问题 【例 20】(2016 全国卷22)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为25)6(22yx （）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）, l与C交于BA,两点，10AB，求l的 斜率 【解析】（）由25)6(22yx，得2212110 xyx， 因为222,cosxyx，所以C的极坐标方程为011cos122. （）设BA,对应的极径分别为12, ，则 212 cos110得212 cos110，121212cos ,11 ， 所以22121212()4144cos44AB ， 由|10AB 得2315cos,tan83 ，所以l的斜率为153或153 （四）（四）极坐标与参数方程的综合应用极坐标与参数方程的综合应用 【例 21】（厦门市 2018 届高三上学期期末质检）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos ,sin ,xy（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B为C上两点，且OAOB，设射线:OA，其中02. （）求曲线C的极坐标方程； （）求OA OB的最小值. 【解析】（）将1C的方程化为直角坐标方程为2212xy，即2212xy. 将cosx，siny代入可得22cossin12 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 化简得2221 sin （）根据题意：射线OB的极坐标方程为2或2. 1221 sinOA，222221 cos1 sin2OB 则1222221 sin1 cosOA OB 2221 sin1 cos 22241 sin1 cos32 ， 当且仅当22sincos，即4时，取得最小值43. 故OA OB的最小值为43. 【评析】 射线OB的极坐标方程有两种情况， 容易忽视2的情形， 另外应用均值不等式求最值，要注意取等号的条件。 【例 22】已知抛物线2:2(0)ypx p的焦点与椭圆224205xy的右焦点重合 (）求抛物线的方程； (）动直线l恒过点(0,1)M与抛物线交于A、B不同两点，与x轴交于C点，请你观察并判断：在线段 MA，MB，MC，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明 【解析】（）椭圆方程为：2215144xy，2251,44ab， 所以21c ，即椭圆的右焦点为（1 , 0）， 因为抛物线的焦点为（2p，0），所以p2，则抛物线的方程为24yx （） 先特殊化： 当直线 MA 过抛物线的焦点 F 时， 此时 F 与 C 重合， 直线 MA 方程为 x+y=1,设点 M,A,C,B是满足条件依次从上到下排列的点. 由,222,222044412122yyyyxyyx 由此可得,223,22321xx 即).222,223(),222,223(BA 可得,2)223(,2)223(, 8,2MBMAABMCMF 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 所以，MBMCMA,成等比数列. 猜想：猜想：MBMCMA,成等比数列，证明如下： 依题意，直线l的斜率必然存在 设直线l：1(0)ykxk，则 C（1k，0），21|1|MCkk 由21,4 ,ykxyx 得222(2)10k xkx ， 因为224(2)40kk，所以k1. 用直线的参数方程容易表达 MA、MB 的长，设直线 MA 的参数方程为 ,sin1,costytx代入抛物线24yx中，整理得. 01)sin4sin2(sin22tt 所以)tan( ,1sin122221kkkttMBMA 所以2MCMBMA,即MBMCMA,成等比数列. 【评析】第(）问中究竟哪三条线段总能构成等比数列，显然讨论的情况不少，但如果能用特殊化计算出线段 MA，MB，MC，AB 的值，便不能得出构成等比数列的三条线段，再给出一般性的证明，问题便解决了。值得注意的是，本题是解析几何的问题，本来不应该出现在这里，想说的是利用参数方程证明能给问题的顺利解答带来了方便。 四、过关练习四、过关练习 1.（荆州中学 2018 届高三 5 月模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线1C的极坐标方程为4sin，M为曲线1C上异于极点的动点， 点P在射线OM上，且, 2 5,OPOM成等比数列 （）求点P的轨迹2C的直角坐标方程； （）已知(0,3)A,B是曲线2C上的一点且横坐标为2，直线AB与1C交于,D E两点，试求ADAE的值 【解析】（）设( , )P ，1(, )M ，则由,2 5,OPOM成等比数列，可得20OPOM， 即1=20 ，120= 又1(, )M 满足14sin，即204sin， sin5，化为直角坐标方程为5y （）依题意可得(2,5)B，故1ABk，即直线AB倾斜角为4， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 直线AB的参数方程为2,223,2xtyt 代入圆的直角坐标方程22(2)4xy，得2230tt，故122tt ，1 230t t ， 122ADAEtt 2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是35cos ,45sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （）求曲线C的极坐标方程； （）设1:6l，2:3l，若12,l l与曲线C分别交于异于原点的,A B两点，求AOB的面积. 【解析】（）将 C 的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25， 即 x2+y2-6x-8y=0 C 的极坐标方程为sin8cos6 （）把6代入sin8cos6，得3341， )6334(，A 把3代入sin8cos6，得3432， )3343(，B SAOBAOBsin2121)63sin()343)(334(21432512 3. （三明市 2018 届高三 5 月质量检查） 在平面直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为13 ,1xtyt (t为参数)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos （）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线C交于,P Q两点，求POQ 【解析】解法一：（）由13 ,1,xtyt 得l的普通方程为313xy ， 又因为cos ,sin ,xy， 所以l的极坐标方程为cos3sin13 （或2 sin()136 ） 由2cos得22 cos，即222xyx， 所以C的直角坐标方程为2220 xyx 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （）设,P Q的极坐标分别为 1122, ，则12POQ， 由cos3sin13,2cos , 消去得2coscos3sin13 ， 化为cos23sin23，即3sin 262， 因为02，即 72 +666，所以263，或2263， 即12,12,4或12,4,12所以12=6POQ 解法二： （）同解法一 （）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆6 6 分分 将l的参数方程化为标准形式31,2112xtyt (其中t为参数)，代入C的直角坐标方程为2220 xyx得，22313112 10222ttt， 整理得，20tt，解得0t 或1t 设,P Q对应的参数分别为12,tt ，则121PQtt所以3PCQ， 又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ。 解法三： （）同解法一 （）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆 又由得l的普通方程为3130 xy，则点C到直线l的距离为32d ， . 所以22 11PQd，所以PCQ是等边三角形，所以3PCQ， 又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ。 4.（宁德市 2018 届高三第二次（5 月）质量检查）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2(4cos )4r ，曲线2C的参数方程为精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 43 cos ,3 sinxryr（为参数） （）求曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的极坐标方程； （）当r变化时，设1,C2C的交点M的轨迹为3C若过原点O，倾斜角为3的直线l 与曲线3C交于点,A B，求OAOB的值 【解析】解法一：（）由1C ：2(4cos )4r ， 得224 cos4r，即222440 xyxr， 曲线2C化为一般方程为：222(4)3xyr，即2228163xyxr， 化为极坐标方程为：228 cos1630r （）由224 cos4r及228 cos1630r，消去2r，得曲线3C的极坐标方程为 22 cos20()R 将代入曲线3C的极坐标方程，可得220， 故121，1220 ， 故121OAOB （或由220得0) 1)(2(得1, 221， 故211 OAOB。 解法二：（）同解法一； （）由22244xyxr及2228163xyxr，消去2r，得曲线3C的直角坐标方程为 2222xyx 设直线l的参数方程为1,232xtyt（t为参数）， 与2222xyx联立得2213244ttt ， 即220tt ，故121tt，1 220t t ， 121OAOBtt 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （或由220tt 得，, 0) 1)(2(tt得1, 221tt， 211 OAOB