高中数学必修四教案

高中数学必修四教案 在一年的数学教学活动中，作为高中数学教师的你了解怎样写高中数学必修四教案吗？来写一篇高中数学必修四教案吧，它会对你的数学教学工作起到不菲的帮助。下面是我为大家收集有关于高中数学必修四教案，希望你喜欢。 #278106高中数学必修四教案1 一、教材分析 1.教材所处的地位和作用 在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后，进一步体会用频率估计概率思想。它是对古典概型问题的一种模拟，也是对古典概型知识的深化，同时它也是为了更广泛、高效地解决一些实际问题、体现信息技术的优越性而新增的内容。 2.教学的重点和难点 重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数。 难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率，解决一些较简单的现实问题。 二、教学目标分析 1、知识与技能： (1)了解随机数的概念; (2)利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。 2、过程与方法： (1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯 3、情感态度与价值观： 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 三、教学方法与手段分析 1、教学方法：本节课我主要采用启发探究式的教学模式。 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学 四、教学过程分析 创设情境、引入新课 情境1：假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某超市内的80袋小包装饼干中抽取10袋进行卫生达标检验,你打算如何操作? 预设学生回答： 采用简单随机抽样方法(抽签法) 采用简单随机抽样方法(随机数表法) 教师总结得出：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内每一数的机会一样。(引入课题) 设计意图(1)回忆统计知识中利用随机抽样方法如抽签法、随机数表法等进行抽样的步骤和特征;(2)从具体试验中了解随机数的含义。 情境2：在抛硬币和掷骰子的试验中，是用频率估计概率。假如现在要作10000次试验，你打算怎么办?大家可能觉得这样做试验花费时间太多了，有没有其他方法可以代替试验呢? 设计意图当需要随机数的量很大时，用手工试验产生随机数速度太慢，从而说明利用现代信息技术的重要性，体现利用计算器或计算机产生随机数的必要性。 操作实践、了解新知 教师：向学生介绍计算器的操作，让他们了解随机函数的原理。可事先编制几个小问题，在课堂上带着学生用计算器(科学计算器或图形计算器)操作一遍，让学生熟悉如何用计算器产生随机数。 设计意图通过操作熟悉计算器操作流程，在明白原理后,通过让学生自己按照规则操作，熟悉计算器产生随机数的操作流程，了解随机数。 问题1：抛一枚质地均匀的硬币出现正面向上的概率是50，你能设计一种利用计算器模拟掷硬币的试验来验证这个结论吗? 思考：随着模拟次数的不同，结果是否有区别，为什么? 设计意图设计概率模型是解决概率问题的难点，也是能解决概率问题的关键，是数学建模的第一步。抛硬币是最熟悉、最简单的问题，很自然会想到把正面向上、反面向上这两个基本事件用两个随机数来代替。(题目让学生通过熟悉50想到用随机数0，1来模拟，为后面问题4每天下雨的概率为40的概率建模作第一次小铺垫。)熟悉利用计算器模拟试验的操作流程，为解决后面例题模拟下雨作好铺垫。 问题2：(1)刚才我们利用了计算器来产生随机数，我们知道计算机有许多软件有统计功能，你知道哪些软件具有随机函数这个功能? (2)你会利用统计软件Excel来产生随机数0，1吗?你能设计一种利用计算机模拟掷硬币的试验吗? 设计意图了解有许多统计软件都有随机函数这个功能，并与前面第一章所学的用程序语言编写程序相联系;Excel是学生比较熟悉的统计软件，也可让学生回顾初中用Excel画统计图的一些功能和知识，其次让学生掌握多种随机模拟试验方法。 问题3：(1)你能在Excel软件中画试验次数从1到100次的频率分布折线图吗? (2)当试验次数为1000，1500时，你能说说出现正面向上的频率有些什么变化? 设计意图应用随机模拟方法估计古典概型中随机事件的概率值; 体会频率的随机性与相对稳定性，经历用计算机产生数据，整理数据，分析数据，画统计图的全过程，使学生相信统计结果的真实性、随机性及规律性。 讲练结合、巩固新知 问题4：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40，这三天中恰有两天下雨的概率是多少? 问1：能用古典概型的计算公式求解吗? 你能说明一下这为什么不是古典概型吗? 问2：你如何模拟每一天下雨的概率为40? 设计意图问题分层提出，降低本题难度。如何模拟每一天下雨的概率40是解决这道题的关键，是随机模拟方法应用的重点，也是难点之一。 巩固用随机模拟方法估计未知量的基本思想，明确利用随机模拟方法也可解决不是古典概型而比较复杂的概率应用题。 归纳步骤：第一步，设计概率模型; 第二步，进行模拟试验; 方法一：(随机模拟方法-计算器模拟)利用计算器随机函数; 方法二：(随机模拟方法-计算机模拟) 第三步，统计试验的结果。 课堂检测将一枚质地均匀的硬币连掷三次，出现2个正面朝上、1个反面朝上和1个正面朝上、2个反面朝上的概率各是多少?并用随机模拟的方法做100次试验，计算各自的频数。 设计意图通过练习，进一步巩固学生对本节课知识的掌握。 归纳小结 (1)你能归纳利用随机模拟方法估计概率的步骤吗? (2)你能体会到随机模拟的优势吗?请举例说说。 设计意图通过问题的思考和解决，使学生理解模拟方法的优点，并充分利用信息技术的优势;是对知识的进一步理解与思考，又是对本节内容的回顾与总结。 布置练习： 课本练习3、4 设计意图课后作业的布置是为了检验学生对本节课内容的理解和运用程度，并促使学生进一步巩固和掌握所学内容。 内容结束 #278080高中数学必修四教案2 教学目标 (1)使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题; (2)使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系; (3)通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力; (4)通过对排列、组合问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。 教学建议 一、知识结构 二、重点难点分析 本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。 组合与组合数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合(无序集)，相当于一个组合，而这种集合的个数，就是相应的组合数。 解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步.切记：排组分清(有序排列、无序组合)，加乘明确(分类为加、分步为乘). 三、教法设计 1.对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系. 2.学生与老师可以合编一些排列组合问题，如“45人中选出5人当班干部有多少种选法?”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题.这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念. 为了理解排列与组合的概念，建议大家学会画排列与组合的树图.如，从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为： 排列树图 由排列树图得到，从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个，它们分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.dca,dcb. 组合树图 由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们是(abc),(abd),(acd),(bcd). 从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样组合就有了自己的树图. 学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式. 3.排列组合的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在设及排列与组合的综合问题. 对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播.对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择方案，总结解题规律.对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高. 4.两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是 这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是一对应的. 对定理2，可启发学生从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 ， ， 里每次取出m个不同的元素( )，问：(1)可以组成多少个组合;(2)在这些组合里，有多少个是不含有 的;(3)在这些组合里，有多少个是含有 的;(4)从上面的结果，可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2. 对于 ，和 一样，是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚. 教学设计示例 教学目标 (1)使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题; (2)使学生掌握组合数的计算公式; (3)通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力; 教学重点难点 重点是组合的定义、组合数及组合数的公式; 难点是解组合的应用题. 教学过程设计 (-)导入新课 (教师活动)提出下列思考问题，打出字幕. 字幕一条铁路线上有6个火车站，(1)需准备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中，哪一问是排列问题?哪一问是组合问题? (学生活动)讨论并回答. 答案提示：(1)排列;(2)组合. 评述问题(1)是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题.这节课着重研究组合问题. 设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题. (二)新课讲授 提出问题 创设情境 (教师活动)指导学生带着问题阅读课文. 字幕1.排列的定义是什么? 2.举例说明一个组合是什么? 3.一个组合与一个排列有何区别? (学生活动)阅读回答. (教师活动)对照课文，逐一评析. 设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境. 【归纳概括 建立新知】 (教师活动)承接上述问题的回答，展示下面知识. 字幕模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.如前面思考题：6个火车站中甲站乙站和乙站甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合. 组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 . 评述区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题;若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题. (学生活动)倾听、思索、记录. (教师活动)提出思考问题. 投影 与 的关系如何? (师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步： 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ; 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数为 . 根据分步计数原理，得到 字幕公式1： 公式2： (学生活动)验算 ，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票. 设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去. 【例题示范 探求方法】 (教师活动)打出字幕，给出示范，指导训练. 字幕例1 列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合. 例2 计算：(1) ;(2) . (学生活动)板演、示范. (教师活动)讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题. 字幕例3 已知 ，求 的所有值. (学生活动)思考分析. 解 首先，根据组合的定义，有 其次，由原不等式转化为 即 解得 综合、，得 ，即 点评这是组合数公式的应用，关键是公式的选择. 设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力. 【反馈练习 学会应用】 (教师活动)给出练习，学生解答，教师点评. 课堂练习课本P99练习第2，5，6题. 补充练习 字幕1.计算： 2.已知 ，求 . (学生活动)板演、解答. 设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用. 【点评矫正 交流提高】 (教师活动)依照学生的板演，给予指正并总结. 补充练习答案： 1.解：原式： 2.解：由题设得 整理化简得 ， 解之，得 或 (因 ，舍去)， 所以 ，所求 字幕小结： 1.前一个公式主要用于计算具体的组合数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证. 2.在解含组合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件. (学生活动)交流讨论，总结记录. 设计意图：由“实践认识一实践”的认识论，教学时抓住“学习一练习反馈小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实. (三)小结 (师生活动)共同小结. 本节主要内容有 1.组合概念. 2.组合数计算的两个公式. (四)布置作业 1.课本作业：习题10 3第1(1)、(4)，3题. 2.思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人? 3.研究性题： 在 的 边上除顶点 外有 5个点，在 边上有 4个点，由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形? (五)课后点评 在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力. 作业参考答案 2.解;设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或2.即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人. 3.能组成 (注意不能用 点为顶点)个四边形， 个三角形. 探究活动 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种? 解 设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解. 解法一 可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即： 甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法. 甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法. 甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法. 由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种. 解法二 可从利用排列数和组合数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径. 正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有 种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法.根据乘法原理，贺卡的分配方法有 (种). 逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡(此时即为4人均拿自己制作的贺卡).其取法分别为 1.故符合题设要求的取法共有 (种). 说明(1)对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法. (2)设集合 ，如果S中元素的一个排列 满足 #278070高中数学必修四教案3 教学目标 (1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列; (2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列; (3)掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数; (4)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; (5)通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。 教学建议 一、知识结构 二、重点难点分析 本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题.难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题.突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中. 从n个不同元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同.排列数是指从n个不同元素中任取m(mn)个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数.排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数.从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数. 公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解.要重点分析好 的推导. 排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力. 在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用. 在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求. 三、教法建议 在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念.一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事;排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数.例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种： ab，ac，ba，bc，ca，cb， 其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数. 排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”. 从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列. 在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别. 在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列. 要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题. 关于排列数公式的推导的教学.公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解.课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的. 导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错.这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘.”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么?最后一个因数是什么?一共有多少个连续的自然数相乘. 公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式.对这个公式指出两点：(1)在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题;(2)为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释. 建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解. 学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实.随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求. #278077高中数学必修四教案4 教学分析 本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 通过本节课的学习， 让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上 点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识. 三维目标 1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系. 2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围. 3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美. 重点难点 教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围. 教学难点：准确比较两个代数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课. 思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学 生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系? (2)在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗? (3)数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系? (4)任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系? 活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“”“”“”“”“”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“ab”“a 教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容. 实例1：某天的天气预报报道，气温32 ，最低气温26 . 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA 实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零. 实例4：两点之间线段最短. 实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h. 实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 教师进一步点拨：能够发现身 边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7-5，3+41+4,2x6，a+20,34,05等. 教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 t32 .实例3，若用x表示一个非负数，则x0.实例5，|AC|+|BC|AB|，如下图. |AB|+|BC|AC|、|AC|+|BC|AB|、|AB|+|AC|BC|. |AB|-|BC|AC|、|AC|-|BC|AB|、|AB|-|AC|BC|.交换被减数与减数的位置也可以. 实例6，若用v表示速度，则v40 km/h.实例7，f2.5%，p2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f2.5%或p2.3%，这是不对的.但可表示为f2.5%且p2.3%. 对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论. 讨论结果： (1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (4)对于任意两个实数a和b，在a=b，ab，a应用示例 例1(教材本节例1和例2) 活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法. 点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握. 变式训练 1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是() A.f(x)g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) 答案：A 解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+110，f(x)g(x). 2.已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小. 解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2. x0，得x20.从而(x2+1)2x4+x2+1. 例2比较下列各组数的大小(ab). (1)a+b2与21a+1b(a0，b0); (2)a4-b4与4a3(a-b). 活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点. 解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b). a0，b0且ab，a+b0，(a-b)20.(a-b)22(a+b)0，即a+b221a+1b. (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3) =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2. 2a2+(a+b)20(当且仅当a=b=0时取等号)， 又ab，(a-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20. a4-b44a3(a-b). 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差变形判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 变式训练 已知xy，且y0，比较xy与1的大小. 活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系. 解：xy-1=x-yy. xy，x-y0. 当y0时，x-yy0，即xy-10. xy1; 当y0时，x-yy0，即xy-10.xy1. 点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论. 例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积， 住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由. 活动：解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法. 解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a 由于a+mb+m-ab=m(b-a)b(b+m)0，于是a+mb+mab.又ab10%， 因此a+mb+mab10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了. 点评：一般地，设a、b为正实数，且a 变式训练 已知a1，a2，为各项都大于零的等比数列，公比q1，则() A.a1+a8a4+a5 B.a1+a8 C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定 答案：A 解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4 =a1(1-q3)-q4(1-q3)=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2). an各项都大于零，q0，即1+q0. 又q1，(a1+a8)-(a4+a5)0，即a1+a8a4+a5. 课堂小结 1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中. 2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究. 作业 习题31A组3;习题31B组2. 设计感想 1.本节设计关注了教学方法 的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学 过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药. 2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历 来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响. 3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升. #278078高中数学必修四教案5 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角图形 结构 射线点射线 表示法 AOB,O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.(空间角转化为平面角) 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例?(如图1，课本的开合、门或窗的开关.)从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 (一)二面角的定义 平面中的角 二面角 定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 课本P17 图形 结构 射线点射线 半平面直线半平面 表示法 AOB,O等 二面角a或-AB- (二)二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. (三)二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量? 1.二面角的平面角的定义(课本P17). 2.AOB的大小与点O在棱上的位置无关. 说明平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题. 与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量. 二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边分别与棱垂直. 3.二面角的平面角的范围： (四)例题分析 例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，将其折成一个 的二面角，求此时B、C两点间的距离. 说明 检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况. 翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变? 例2 如图，已知边长为a的等边三角形 所在平面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角 的大小. 说明 求二面角的步骤：作证算答. 引导学生掌握解题可操作性的通法(定义法和线面垂直法). 例3 已知正方体 ，求二面角 的大小.(课本P18例1) 说明 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法. (五)问题拓展 例4 如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是 ，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿这条路上山，行走100米后升高多少米? 说明使学生明白数学既来源于实际又服务于实际. 三、巩固练习 1.在棱长为1的正方体 中，求二面角 的大小. 2. 若二面角 的大小为 ，P在平面 上，点P到 的距离为h，求点P到棱l的距离. 四、课堂小结 1.二面角的定义 2.二面角的平面角的定义及其范围 3.二面角的平面角的常用作图方法 4.求二面角的大小(作证算答) 五、作业布置 1.课本P18练习14.4(1) 2.在 二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离. 3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成 的二面角，求A、C两点的距离. 六、教学设计说明 本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫，学生的主动探究，使学生经历概念的形成、发展和应用过程，有意识地加强了知识形成过程的教学.