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唐山市唐山市 20142014- -20152015 学年度学年度高三年级第一次模拟高三年级第一次模拟考试考试 理理 科科 数数 学学 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 1 12 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 6 60 0 分在每分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 1、已知全集已知全集2U1x x，集合集合2430 x xx ，则，则U （ ） A A 1,3 B B ,13, C C , 13, D D, 13, 2 2、221ii（ ） A A2i B B4i C C2i D D4i 3 3、已知抛物线的焦点已知抛物线的焦点F,0a（0a ） ，则抛物线的标准方程） ，则抛物线的标准方程是是（ ） A A22yax B B24yax C C22yax D D24yax 4 4、命题命题:px ，32xx；命题；命题:q0,11,a ，函数函数 log1af xx的图象过点的图象过点2,0，则，则（ ） A Ap假假q真真 B Bp真真q假假 C Cp假假q假假 D Dp真真q真真 5 5、执行右边的程序框图，则输出的执行右边的程序框图，则输出的是是（ ） A A2912 B B7029 C C2970 D D16970 6 6、在直角梯形在直角梯形CD中，中，/CD，C90，2 C2CD ，则，则cosD C （ ） A A1010 B B3 1010 C C55 D D2 55 7 7、已知已知2sin21 cos2 ，则，则tan2（ ） A A43 B B43 C C43或或0 D D43或或0 8 8、32212xx展开式中的常数项为展开式中的常数项为（ ） A A8 B B12 C C20 D D20 9 9、函数函数 sin2 cosf xxx的值域的值域为为（ ） A A1, 5 B B1,2 C C2, 5 D D5,3 1 10 0、F是双曲线是双曲线C:22221xyab（0a ，0b ）的右焦点，过点）的右焦点，过点F向向C的一条渐近线引垂线，垂足为的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，交另一条渐近线于点若若2 FF ，则，则C的离心率是的离心率是（ ） A A2 B B2 C C2 33 D D143 1 11 1、直线直线ya分别与曲线分别与曲线21yx，lnyxx交于交于，则，则的最小值的最小值为为（ ） A A3 B B2 C C3 24 D D32 1212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为的表面积为（ ） A A4 B B213 C C3 312 D D3 3122 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 2020 分分 ） 1 13 3、已知、已知1,3a ，1,bt，若，若2aba，则，则b 1 14 4、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25yx由以上由以上信息，得到下表中信息，得到下表中c的值为的值为 天数天数t（天）（天） 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 繁殖个数繁殖个数y（千（千个）个） 2.5 3 3 4 4 4.5 6 6 1 15 5、在半径为在半径为2的球面上有不同的四点的球面上有不同的四点，C，D，若，若CD2 ， 则 平 面， 则 平 面CD被 球 所 截 得 图 形 的 面 积被 球 所 截 得 图 形 的 面 积为为 1 16 6、已知已知x，Ry，满足，满足22246xxyy，则，则224zxy的取值范围的取值范围为为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，小题，共共 7070 分解答应写出文字说分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）明、证明过程或演算步骤 ） 1 17 7、 （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）设数列设数列 na的前的前n项和为项和为nS，满足，满足11nnq Sqa，且，且10q q 求求 na的通项公式；的通项公式； 若若3S，9S，6S成等差数列，求证：成等差数列，求证：2a，8a，5a成等差数列成等差数列 1 18 8、 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放 1 1 个个 若小王发放若小王发放 5 5 元的红包元的红包 2 2 个，求甲恰得个，求甲恰得 1 1 个的概率个的概率； 若小王发放若小王发放 3 3 个红包，其中个红包，其中 5 5 元的元的 2 2 个，个，1010 元的元的 1 1 个个记记乙所得红包的总钱数为乙所得红包的总钱数为，求，求的分布列和期望的分布列和期望 1 19 9、 （本小（本小题题满分满分 1 12 2 分）分）如图，在斜三棱柱如图，在斜三棱柱111CC 中，侧中，侧面面11CC与 侧 面与 侧 面11CC都 是 菱 形 ，都 是 菱 形 ，111CCCC60 ，C2 求证：求证：11CC ； 若若16 ，求，求二面角二面角11C 2020、 （本小题满分（本小题满分 1 12 2 分）分）已知已知圆圆:224xy，点，点3,0，以线，以线段段为直径的圆内切于圆为直径的圆内切于圆，记点，记点的轨迹的轨迹为为 求曲线求曲线的方程；的方程； 直线直线交圆交圆于于C，D两点，当两点，当为为CD的的中点时，中点时，求直线求直线的方程的方程 2121 、 （ 本 小 题 满 分（ 本 小 题 满 分 1 12 2 分 ）分 ） 已 知已 知 函 数函 数 212xxf xe， 2ln1xg xxe 1,x 时，证明：时，证明： 0f x ； 0a ，若，若 1g xax，求求a的取值范围的取值范围 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题作答，如果多做，则按题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号所做的第一题计分，作答时请写清题号 2222、 （本小题满分、 （本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 4- -1 1：几何证明选讲：几何证明选讲 如图，圆周角如图，圆周角C的平分线与圆交于点的平分线与圆交于点D，过，过点点D的切线与弦的切线与弦C的延长线交于点的延长线交于点，D交交C于点于点F 求证：求证：C/D； 若若D，C，F四点共圆， 且四点共圆， 且CC ， 求， 求C 2323、 （本小题满分、 （本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 已知椭圆已知椭圆C:22143xy，直线，直线: l332 3xtyt （t为参数）为参数） 写出椭圆写出椭圆C的参数方程及直线的参数方程及直线l的普通方程；的普通方程； 设设1,0， 若椭圆， 若椭圆C上的点上的点满足到满足到点点的距离与其到直线的距离与其到直线l的的距离相等，求点距离相等，求点的坐标的坐标 2424、 （本小题满分、 （本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知已知函数函数 21f xxax 当当1a 时，时，解不等式解不等式 3f x ； 若若 f x的最小值为的最小值为1，求，求a的值的值 参考答案参考答案 一、一、选择题：选择题： 1 1、C C 2 2、A A 3 3、B B 4 4、A A 5 5、B 6B 6、B B 7 7、D D 8 8、C 9C 9、A 10A 10、C C 1111、D D 1212、C C 二、填空题二、填空题： 1313、 5 5 1414、6 6 1515、1616 1616、44，1212 三、三、解答题解答题： 1717、解： （解： （）当）当n n1 1 时，由时，由(1(1q q) )S S1 1qaqa1 11 1，a a1 11 1 当当n n2 2 时，由时，由(1(1q q) )S Sn nqaqan n1 1，得，得(1(1q q) )S Sn n1 1qaqan n1 11 1，两，两式相减得式相减得a an nqaqan n1 1， 又又q q( (q q1)1)0 0， 所以， 所以 a an n 是以是以 1 1 为首项，为首项，q q为公比的等比数列为公比的等比数列， 故故a an nq qn n1 1 6 6 分分 （） 由 （） 可知（） 由 （） 可知S Sn n1 1a an nq q1 1q q， 又， 又S S3 3S S6 62 2S S9 9， 得， 得1 1a a3 3q q1 1q q1 1a a6 6q q1 1q q2 2( (1 1a a9 9q q) )1 1q q， 化简得化简得a a3 3a a6 62 2a a9 9，两边同除以，两边同除以q q得得a a2 2a a5 52 2a a8 8 故故a a2 2，a a8 8，a a5 5成等差数列成等差数列 1212 分分 1 18 8、解： （解： （）设）设“甲甲恰恰得一个红包得一个红包”为事件为事件A A，P P( (A A) )C C1 12 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 9 9 4 4 分分 （）（）X X的所有可能值为的所有可能值为 0 0，5 5，1010，1515，2020 P P( (X X0)0) ( ( 2 2 3 3) )2 2 2 2 3 38 82727， P P( (X X5)5)C C1 12 2 1 1 3 3( ( 2 2 3 3) )2 28 82727， P P( (X X10)10)( ( 1 1 3 3) )2 2 2 2 3 3( ( 2 2 3 3) )2 2 1 1 3 36 62727， P P( (X X15)15)C C1 12 2( ( 1 1 3 3) )2 2 2 2 3 34 42727， P P( (X X20)20)( ( 1 1 3 3) )3 31 12727 1010 分分 X X的分布列：的分布列： X X 0 0 5 5 1010 1515 2020 P P 8 82727 8 82727 6 62727 4 42727 1 12727 E E( (X X) )0 08 827275 58 8272710106 6272715154 4272720201 1272720203 3 1212 分分 1 19 9、解： （解： （）证明：连证明：连A AC C1 1，CBCB1 1，则则 ACACC C1 1和和B B1 1C CC C1 1皆为正三角形皆为正三角形 取取C CC C1 1中点中点O O，连，连OAOA，O OB B1 1，则，则 C CC C1 1OAOA，C CC C1 1O OB B1 1，则，则 C CC C1 1平面平面OAOAB B1 1，则，则C CC C1 1ABAB1 1 4 4分分 （）解：解：由（由（）知）知，OAOAO OB B1 1 3 3，又，又A AB B1 1 6 6， 所以所以OAOAO OB B1 1如图所示，分别以如图所示，分别以O OB B1 1，O OC C1 1，OAOA为正方向建立为正方向建立空间直角坐标系，空间直角坐标系， 则则C C(0(0，1 1，0)0)，B B1 1( ( 3 3，0 0，0)0)，A A(0(0，0 0， 3 3) )， 6 6 分分 设平面设平面CACAB B1 1的法向量为的法向量为m m( (x x1 1，y y1 1，z z1 1) )， 因为因为ABAB1 1( ( 3 3，0 0， 3 3) )，ACAC(0(0，1 1， 3 3) )， 所以所以 3 3x x1 10 0y y1 1 3 3z z1 10 0，0 0 x x1 11 1y y1 1 3 3z z1 10 0，取取m m(1(1， 3 3，1)1) A B C A1 B1 C1 z y x O 8 8 分分 设平面设平面A A1 1A AB B1 1的法向量为的法向量为n n( (x x2 2，y y2 2，z z2 2) )， 因为因为ABAB1 1( ( 3 3，0 0， 3 3) )，AAAA1 1 (0(0，2 2，0)0)， 所以所以 3 3x x2 20 0y y2 2 3 3z z2 20 0，0 0 x x1 12 2y y1 10 0z z1 10 0，取取n n(1(1，0 0，1)1) 1010 分分 则则 cocos s m m，n n m mn n| |m m|n n| |2 25 5 2 210105 5，因为二面角因为二面角C C- -A AB B1 1- -A A1 1为钝角，为钝角， 所以所以二面角二面角C C- -A AB B1 1- -A A1 1的余弦值为的余弦值为10105 5 1212 分分 2020、解：解： （）设（）设ABAB的中点为的中点为M M，切点为，切点为N N，连，连OMOM，MNMN，则，则| |OMOM| | |MNMN| | |ONON| |2 2，取取A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点A A ， 连连A A B B，故故| |A A B B| | |ABAB| |2 2(|(|OMOM| | |MNMN|)|)4 4 所以点所以点B B的轨迹是以的轨迹是以A A ，A A为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为 4 4 的椭圆的椭圆 其中其中，a a2 2，c c 3 3，b b1 1，则曲线，则曲线的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 5 5 分分 （）因（）因为为B B为为CDCD的中点，所以的中点，所以OBOBCDCD， 则则OBOBABAB设设B B( (x x0 0，y y0 0) )， 则则x x0 0( (x x0 0 3 3) )y y0 02 20 0 7 7 分分 A x y O B A M N A x y O B D C 又又x x0 02 24 4y y0 02 21 1 解得解得x x0 02 23 3，y y0 02 23 3 则则k kOBOB2 22 2，k kA AB B2 2， 1010 分分 则直线则直线ABAB的方程为的方程为y y 2 2( (x x 3 3) )， 即即x xy y 6 60 0 或或 2 2x xy y 6 60 0 1212 分分 2121、解：解： （）（）令令p p( (x x) )f f ( (x x) )e ex xx x1 1，p p ( (x x) )e ex x1 1， 在在( (1 1， 0 0) )内，内，p p ( (x x) )0 0，p p( (x x) )单减；单减； 在在( (0 0， ) )内，内，p p ( (x x) ) 0 0，p p( (x x) )单增单增 所以所以p p( (x x) )的最小值为的最小值为p p( (0 0) )0 0，即，即f f ( (x x) )0 0， 所以所以f f( (x x) )在在( (1 1，) )内单调递增，即内单调递增，即f f( (x x) )f f( (1 1) )0 0 4 4 分分 （）令（）令h h( (x x) )g g( (x x) )( (axax1)1)，则，则h h ( (x x) ) 2 2 x x1 1e ex xa a， 令令q q( (x x) ) 2 2 x x1 1e ex xa a，q q ( (x x) ) 1 1 e ex x 2 2 ( (x x1 1) )2 2 由由（）得（）得q q ( (x x) )0 0，则，则q q( (x x) )在在( (1 1，) )上单调递减上单调递减 6 6 分分 （1 1）当）当a a1 1 时，时，q q( (0 0) )h h ( (0 0) )0 0 且且h h( (0 0) )0 0 在在( (1 1，0 0) )上上h h ( (x x) )0 0，h h( (x x) )单调递增，单调递增，在在( (0 0，) )上上h h ( (x x) )0 0，h h( (x x) )单调递减，单调递减， 所以所以h h( (x x) )的最大值为的最大值为h h( (0 0) )，即，即h h( (x x) )00 恒成立恒成立 7 7 分分 （2 2）当）当a a1 1 时，时，h h ( (0 0) )0 0， x x( (1 1，0 0) )时，时，h h ( (x x) ) 2 2 x x1 1e ex xa a 2 2 x x1 11 1a a0 0，解得，解得x x1 1a aa a1 1( (1 1，0 0) ) 即即x x( (1 1a aa a1 1，0 0) )时时h h ( (x x) )0 0，h h( (x x) )单调递单调递减，减， 又又h h( (0 0) )0 0，所以此时，所以此时h h( (x x) )0 0，与，与h h( (x x) )00 恒成立矛盾恒成立矛盾 9 9 分分 （3 3）当）当 0 0a a1 1 时，时，h h ( (0 0) )0 0， x x( (0 0，) )时，时，h h ( (x x) ) 2 2 x x1 1e ex xa a 2 2 x x1 11 1a a0 0，解，解得得x x1 1a aa a1 1( (0 0，) ) 即即x x( (0 0，1 1a aa a1 1 ) )时时h h ( (x x) )0 0，h h( (x x) )单调递增，单调递增， 又又h h( (0 0) )0 0，所以此时，所以此时h h( (x x) )0 0，与，与h h( (x x) )00 恒成立矛盾恒成立矛盾 1111 分分 综上，综上，a a的取值为的取值为 1 1 1212 分分 2222、解：解： （）证明：因为（）证明：因为EDCEDCDACDAC，DACDACDABDAB，DABDABDCBDCB， 所以所以EDCEDCDCBDCB， 所以所以BCBCDEDE 4 4 分分 （）解：因为（）解：因为D D，E E，C C，F F四点共圆，所以四点共圆，所以CFACFACEDCED 由（）知由（）知ACFACFCEDCED，所以，所以CFACFAACFACF 设设DACDACDABDABx x， 因为因为ACACB BC C，所以，所以CBACBABACBAC2 2x x， 所以所以CFACFAFBAFBAFABFAB3 3x x， 在等腰在等腰ACFACF中，中， CFACFAACFACFCAFCAF7 7x x， 则， 则x x 7 7， 所以所以BACBAC2 2x x2 27 7 1010 分分 2323、解：解： （）（）C C： x x2co2cos s，y y 3 3sisin n（为为参数） ，为为参数） ，l l：x x 3 3y yA D B F C E 9 90 0 4 4 分分 （）设）设P P( (2co2cos s， 3 3sisin n),),则则| |APAP| |( (2co2cos s1 1) )2 2( ( 3 3sisin n) )2 22 2cocos s， P P到直线到直线l l的距离的距离d d| |2co2cos s3si3sin n9 9| |2 22co2cos s3si3sin n9 92 2 由由| |APAP| |d d得得 3si3sin n4co4cos s5 5，又，又 sisin n2 2cocos s2 21 1，得得 sisin n 3 3 5 5， cocos s 4 4 5 5 故故P P( ( 8 8 5 5， 3 3 3 3 5 5) ) 1010 分分 2424 、 解 ：（解 ：（ ） 因 为） 因 为f f( (x x) ) | |2 2x x 1 1| | | |x x 1|1| 3 3x x， x x1 1；x x2 2，1 1x x 1 1 2 2；3 3x x， x x 1 1 2 2 且且f f( (1 1) )f f( (1 1) )3 3，所以，所以，f f( (x x) )3 3 的解集为的解集为 x x| |1 1x x11； 4 4 分分 （）| |2 2x xa a| | |x x1|1| |x x a a 2 2| | |x x1|1| |x x a a 2 2| | |1 1 a a 2 2| |0 0| |1 1 a a 2 2| | 当且仅当当且仅当( (x x1)1)( (x x a a 2 2) )0 0 且且x x a a 2 20 0 时，取等号时，取等号 所以所以| |1 1 a a 2 2| |1 1，解得，解得a a4 4 或或 0 0 1010 分分
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