人教版初中数学反比例函数的意义的教学尝试

拉长概念形成的思维链条17.1.1 反比例函数的意义的教学尝试 【教材分析】本节教材是新课标人教版第46页至47页的内容，教材的主题内容非常精短.我们知道，学生曾在小学六（下）学过“反比例”，在中学七（下）学过“平面直角坐标系”，在八（上）学过“一次函数”。对“反比例”、“函数”等已经有了一定认识，在此基础上来讨论反比例函数有了一定的经验积累，为这里的学习奠定了较好的基础.学好它，将对后继学习（如二次函数等）产生积极的影响.本节内容是本章的重点之一，也是反比例函数的开端.教材首先在“思考”栏目中提出三个反比例关系的实例，通过对具体情景的分析，从中引出反比例函数并概括出它的概念.然后通过举例和例题丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义.本节的重点、难点都是理解反比例函数的概念.我们知道，八年级学生的思维品质（完备性、深刻性、实践性、批判性等）尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义理解、数量变化规律的把握还是有一定难度，特别是对抽象的表达式中的变量与常量的取值理解不深. 因此在反比例函数概念的形成过程中，应注重利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、讨论等交流形式，巩固、内化、升华其知识，让学生揭示规律，形成数学能力。具体操作如下：1、注意“三看”，引导学生对反比例函数概念的理解.一看形式 .等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；二看自变量x的取值范围.由于x在分母上，故取x0的一切实数；三看函数y的取值范围.因为k0，且x0，所以函数值y也不可能为0.2、加强与正比例函数的对照.讲解、交流时可对照正比例函数ykx（k0），比较二者解析式的相同点和不同点. 以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解3、注意形态的变化. （k0）还可以写成 （k0）或xyk（k0）的形式.【教学目标】知识与技能目标：1从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解.2使学生理解并掌握反比例函数的概念3能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式过程与方法目标：1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。3、经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的模型思想情感态度与价值观目标：1经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣。2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。【教学重点、难点】1重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式2难点：理解反比例函数的概念【教学方法】情景探索教学法.教学过程一、丰富情境，领悟新知（设计说明：问题1、2、3、4是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过对两个变量之间的反比例关系的讨论和探究，使学生感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的理解，然后，启动“互动迁移”栏目，让学生根据自己的理解举例，而后通过改编教材“思考”栏目上的问题成三个填空题，为学生的发现提供了足够的感性材料，在此基础上，让学生通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想，并在交流中领悟概念.）（一）、情境引入根据下面情境，探究有关问题.问题1：（课件展示）请同学们想一想：把一张面值100元的人民币换成面值50元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的人民币，可得几张？如果换成10元、5元的人民币呢？设所换成的面值为x元，相应的张数为y元:x（元）502010521xy（张） 你会用含x的代数式表示y吗？ 当换成的面值x变化时，相应的张数y会怎样变化？ 变量y是x的函数吗？为什么？问题2：（课件展示）我们知道：矩形的面积（S）与长（a）、宽（b）之间的关系式为：S=ab，当S=24cm2你能用含有b的代数式表示a吗？利用写出的关系式完成下表b(cm)24681012a(cm)规律：当b越来越大时，a 当b越来越小时，a 变量a是b的 ，理由： 问题3：（课件展示）我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时你能用含有R的代数式表示I吗？利用写出的关系式完成下表R（）20406080100I（A）规律：当R越来越大时，I 当R越来越小时，I 变量I是R的 ，理由： 课件定性展示舞台灯光明暗：当I较小时，灯光较暗，当I较大时，灯光较亮.问题4：（课件展示）京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度V（km/h）之间有怎样的关系？变量t是V的函数吗？为什么？在学生完成四个问题的交流后得到四个关系式： ， ， , .至此，教师不要忙于揭示、导引，让反比例函数现身，而应进入新的互动环节，使反比例函数的概念“瓜熟蒂落”.（二）、互动迁移你能举出类似以上的实例吗？并与同伴交流.有了前面4个问题的铺垫，以及小学学过的反比例关系的认识，估计学生能顺利地举例.如：百米赛跑中时间与平均速度的关系；三角形的面积一定，底与高的关系等.诸如此类，都给予肯定，尤其要关注学困生的发言，若出现偏差，也要善于发现闪光点而予以表扬，并做好适当补充、引领.然后教师在展示几个备好的填空，进一步强化反比例函数模型.1、某住宅小区要种植一个面积为1000 平方米的矩形草坪，草坪长为y米，宽为x米，则y关于x的关系式为；2、已知北京市的总面积为1.68104 平方千米，全市总人口为n人，人均占有土地面积为s平方千米，则s关于n的关系式为；、京沪线铁路全程为463km，某列车平均速度为v（kmh），全程运行时间为t（h），则v关于t的关系式为.答案依次为： ， ， .（教学说明：情景引入与互动迁移两个环节的教学，可先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表达形式.通过一波三折，反比例函数的概念已是呼之欲出.一折是问题1-4的交流，二折是学生的自主举例，三折是三个填空，以构建互动、和谐的课堂教学氛围为依托，帮助学生完成了对反比例函数概念从感性体验到理性认知的过渡.）（三）、明晰概念师：前面我们已获取了不少的关系式： ， ， ， ， ， ， 请同学们认真观察，思考以下问题（按顺序完成一个再出示下一个）：（1）这些关系式都体现了函数关系，那它们是我们已学过的一次函数、正比例函数吗？（2）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（3）它们有一些什么样的共同特征？（4）从问题1-3的表格可以发现两个变量成什么关系吗？（5）你能归纳出反比例函数的概念吗？形成如下认识：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成 （k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数.师：这就是我们今天学习的反比例函数概念，他是继一次函数后的又一种新函数，从今天起，函数家族又多了一个新成员，随着学习的深入，今后我们还要研究其它函数.（教学说明：引导学生在体验探究的过程中，感受知识的发现、形成和构建过程，使学生从获得的关系式中，抽象出反比例函数的一般形式，并借此提出反比例函数的概念，通过让学生感受从特殊到一般的思考方法，发展学生的抽象思维能力，同时也为知识的内化和正迁移创造了条件，培养了学生建模的意识.） （四）、领悟概念请同学们通过下面的问题串，领悟概念（1）反比例函数关系式中有几个变量？（2）变量之间存在什么关系？（3）还有其它形式吗？若有，并指出来（4）对x、y、k有什么具体要求？为什么？（5）它与正比例函数有哪些区别与联系？通过问题（5）的回答回应以上4个问题.明确如下：联系：1它们都有两个变量；2都含比例系数“k”；区别： 1反比例函数中两个变量的积是一个非零定值；正比例函数中两个变量的商是一个非零定值.2反比例函数中自变量x位于分母，表达式呈分式；正比例函数中的自变量x处于整式中.3自变量x的次数不同：反比例函数中自变量x的次数为-1，故可写成 （k0）或xyk（k0）的形式；正比例函数中自变量x的次数为1.4自变量x的取值范围不同：反比例函数中自变量x取除零外的任何实数；正比例函数中自变量x可取任何实数.5函数y的取值范围不同：反比例函数中y取除零外的任何实数；正比例函数中y可取任何实数.（教学说明：引导学生仔细审视列出的各函数关系式以及反比例函数的定义式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出异同，进而发现其本质特征.教学时要紧抓概念中的关键词，以确保学生对概念认知的系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为ykx1(k为常数，k0)的形式，并结合旧知验证其正确性.）二、自主演练，内化新知.（设计说明：通过练习1，使学生进一步熟悉从实际问题中抽象出反比例函数，体验反比例函数在生活中的应用价值及模型作用；通过练习2，巩固反比例函数的概念；通过补充练习3，进一步突出反比例函数的本质特点，理解其意义.）1、请同学们独立完成P47，练习的1题.2、请同学们独立完成P47，练习的2题.3、下列等式中的y是x的反比例函数吗？若是，指出k的值.（1） （2） （3）xy0 （4） （5） （6） （7）y4x1 （8） 答案1、（1） ；（2） ；（3） .2、xy123.3、解析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 （k为常数，k0）的形式，这里（1）是整式，（3）中的k=0，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是 ，分子不是常数，只有（2）、（5）、（7）能写成定义的形式，它们的k依次为： ， ，4.（教学说明：利用学生对反比例函数概念的初步认识，引导学生借助自主练习，进一步加大学生对该概念的正迁移力度，初步把握其内涵与外延.）三、拓展应用，升华新知（设计说明：例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系.例2是对反比例函数概念的逆向认识，是另一种形式ykx1的应用，以图深入理解概念.而例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但处理得当能提高学生分析、解决问题的能力.紧随其后，设置了4个练习，一是巩固例题的成果，二是进行了适当延伸，特别是5题以表格的形式出现，既回应了课始问题的对应形式，实现了表格与函数关系式的相互转化，同时又为下一节画反比例函数的图像做了孕伏.）例1、已知y是x的反比例函数，当x=2时y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时，y的值.分析：因为y是x的反比例函数，所以先设 ，再把x2和y6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式.解：（1）设 ，由x=2时y=6得 .则k12，故 .（2）把x=4代入 ，得 .例2（补充）当m取什么值时，函数 是反比例函数？分析：反比例函数 （k0）的另一种表达式是 （k0），后一种写法中x的次数是1，因此m的取值必须满足两个条件，即m20且3m21，特别注意不要遗漏k0这一条件，也要防止出现3m21的错误.估计这是问题的多发区.解：根据题意，得， ，即 ，可知m只能取2.所以，m=2时，函数 是反比例函数.例3（补充）已知函数yy1y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x1时，y4；当x2时，y5（1）求y与x的函数关系式（2）当x2时，求函数y的值分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值.这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示，这也是“问题区”.解：（1）设y1k1x（k10）， （k20），则 ，代入数值求得k12，k22，则y与x的函数关系式为 .（2）把x2代入 得y5.小试身手：1、若y+1与x成反比例，当y=1时，x=4，则y与x的函数解析式为_. 2、若函数 是反比例函数，则m的取值是 3、已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.(1) 写出y和x之间的函数关系式(2)当x=1.5时y的值.4、修建一条铁路，若80人参加，则需要25天完成。（1）试写出参加人数y和所需天数x之间的函数关系式。（2）若需在20天内修完，则从一开始就必须增加多少人参加修建？5、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-113y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表.（教学说明：三个例题可用尝试练习的方式，在学生交流后，教师再规范解答，突出关键点；小试身手环节，可让学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台板演，教师要重点关注“学困生”.）四、反思小结，观点提炼.（设计说明：通过让学生畅谈自己的收获、困惑以及感受，反馈自己的教学，并做好归纳总结，尽可能地解惑释疑，帮助学生提高认识.）1、知识归纳：（1）反比例函数的定义：形如 （k为常数，k0）的函数. 也可写成 （k0）或xyk（k0）的形式.（2）反比例函数与正比例函数的区别.正比例函数反比例函数解析式自变量取值范围任意实数x0函数取值范围 任意实数 y0 自变量的次数1次-1次定量关系商为定值（ x0）积为定值2、思想方法归纳：待定系数法；数学建模思想，变化与对应的思想. 五、分层作业，各有所获.必做题：P53-54习题17.1的1、2、4选做题：1、P54习题17.1的5、6.2、已知函数yy1y2，y1与x1成正比例，y2与x成反比例，且当x1时，y0；当x4时，y9，求当x1时y的值选做题2的答案：y4.六、练习拓展，前贯后连.（设计说明：选取4道中考题、1道学生生活题，意图之一是巩固提高，之二是把本节所学延伸到下一节的学习中去，起到预习探索的作用，明确知识学习的永无止境.）1（2010年日照市）已知反比例函数y= ，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是（ ）A（2，1） B.（1，-2） C.（-2，-2） D.（1，2）2（2010年丹东市） 某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t4）之间的函数关系式;（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？3.（2010年兰州市）已知：yy1y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x1时，y3；x-1时，y1. 求x- 时，y的值4（2010年凉山州）已知函数 是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则 的值是（ ）A2B C D 5、兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：兄（y）2928272625242322321逐渐减少弟（x）12345678272829逐渐增多（1）写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式（不要求写x、y的取值范围）.（2）当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数(y)在减少，请问y与x是反比例函数吗？答案：1、D .2、（1） ；（2） .3、根据题意可设y1k1x2，y2 ，则yk1x2 ，把x1，y3，x-1，y1分别代入上式得 ， .当x 时，y2(- )2 -2- .4、B.5、（1）y=30x；（2）y与x不成反比例，不是反比例函数.【评价与反思】本设计充分挖掘出了函数是解决变量间存在单值对应关系的数学模型的思想，通过多个与现实生活相关的实例引导学生用数学的思想重新认识日常生活中变量间的关系，来建立反比例函数的基本模型.本设计的突出特点是在反比例函数的形成上下足了功夫，为学生提供了充足的感性材料，诱使学生充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深认识，顺利地实现了从感性认识到理性认识的过渡. 概念一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象，再以问题串为载体通过举例、说理、讨论等思维活动，全方位地品读概念.为了更加深入地理解反比例函数，设置了层层递进的三个例题和5个练习，把独立探索与合作交流有机结合，鼓动学生动脑思考、动口辩驳、动耳倾听、动手计算，充分发挥学生的能动性，努力实现知识和技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标的全面发展.