数列典型例题含答案

2.3 等差数列的前 n 项和测试题一、选择题一、选择题1.(2008 陕西卷)已知是等差数列，则该数列前 10 项和等于( )A.64 B.100 C.110 D.120考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.答案：B解析：设的公差为. ，两式相减，得，.，. 2.(2011 全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，则( )A.8 B.7 C.6 D.5考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.答案：D解析：由得，即，将，代入，解得. 3.(2012 浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.答案：C解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项 A、B 的两个命题是正确的. 选项 C 的命题是错误的，举出反例：等差数列1，1，3，5，7，满足数列是递增数列，但对于选项 D 的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项 D 的命题为真. 二、填空题二、填空题 4.(2011 湖南理)设是等差数列的前项和，且，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算答案：81.解析：设的公差为. 由，得，. ，故. 5.(2008 湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则 .考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.答案：.解析：是公差为的等差数列， . 6.(2011 广东理)等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和. 若，则_考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.答案：10.解析：设等差数列前项和为. ，；，. ，故.三、解答题三、解答题7.设等差数列的前项和为，且，求：的通项公式 及前项和；考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.答案：； .解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.；由，得.当时，当时， 8.(2010 山东理)已知等差数列满足：，的前 项和为求及；令，求数列的前 项和.考查目的：考查等差数列的通项公式与前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.答案：，；.解析：设等差数列的公差为，因为，所以有，解得，所以，.由知，所以，所以，即数列的前 项和.一、选择题一、选择题1.(2009 广东文)已知等比数列的公比为正数，且，则( ).A. B. C. D.2 考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.答案：B 解析：设公比为 ，由已知得，得，又因为等比数列的公比为正数，所以，故. 2.(2007 天津理)设等差数列的公差，若是与的等比中项，则().A.2 B.4 C.6 D.8考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.答案：B解析：，；又是与的等比中项，即；，解得，或(舍去). 3.(2010 江西理数)等比数列中，函数，则( )A. B. C. D.考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.答案：C.解析：是多项式函数，的常数项的一次项系数， . 二、填空题二、填空题4.(2007 重庆理)设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_.考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力答案：18.解析：根据题意，得，.5.(2009 江苏卷)设是公比为 的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则 . 考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.答案：.解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为是等比数列，且公比 满足，所以这四项只能依次是，所以公比，. 6.(2012 辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式_.考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.答案：.解析：，得，；又，解得或(舍去)，. 三、解答题三、解答题7.已知数列的首项，关于 的二次方程(，且)都有实数根，且满足. 求证：是等比数列；求的通项公式. 考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：略；解析：由题设可得，(，且)；又由，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列. 由的结论，得，所以的通项公式为 8.(2012 广东文)设数列前 项和为，数列的前 项和为，满足，.求的值；求数列的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.答案：；.解析：当时，. 因为，所以，求得.当时， ，. 得 ，所以. ，易求得，. 所以是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，故所以，. 置：首页高中数学教师中心同步教学资源课程标准实验教材同步试题必修 52.5 等比数列的前 n 项和测试题一、选择题一、选择题1.(2007 陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则( )A.16 B.25 C.30 D.80考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.答案：C.解析：由，可知，的公比，式除以式，得，解得(舍去)，代入，得. . 2.(2010 天津理)已知是首项为 的等比数列，是的前项和，且，则数列的前 项和为( )A.或 B.或 C. D. 考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.答案：C解析：设的公比为，若，则，不合题意，所以. 由，得，得，所以，因此是首项为 1，公比为的等比数列， 故前 5 项和为. 3.设等比数列的前项和为，若，则等于( )A. B. C. D.考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力.答案：A.解析：解法 1：若公比，则，. 由，得，.解法 2：由可知，公比(否则有).设，则，根据，也成等比数列，及，得，故. 二、填空题二、填空题4.在等比数列中，已知，则公比 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想答案：1 或.解析：由已知条件，可得，当时，符合题意；当时，由，消去，得，解得或(舍去). 综上可得，公比或. 5.(2009 浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则 考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.答案：15.解析：，. 6.已知等比数列的首项为 ，是其前项和，某同学经计算得，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是 ，该数列的公比是 .考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.答案：，.解析：假设正确，则由，得，所以公比，可计算得，但该同学算只算错了一个数，所以不正确，正确，可得，所以公比. 三、解答题三、解答题7.(2010 重庆文)已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.求通项及；设是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.答案：，；，.解析：因为是首项为，公差为的等差数列，所以，.由题意，所以，. 8.(2012 陕西理)设是公比不为 1 的等比数列，其前项和为，且成等差数列.求数列的公比；证明：对任意，成等差数列.考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.答案：； 略.解析：设数列的公比为(). 由成等差数列，得，即. 由，得，解得(舍去)，所以数列的公比为.证法一：对任意， ，所以对任意，成等差数列.证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列.第二章数列测试题（一） 一、选择题一、选择题1.(2012 安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).A.4 B.5 C.6 D.7考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识.答案：B.解析：，的各项都是正数，. 2.(2011 江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).A.1 B.9 C.10 D.55考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.答案：A解析：令，得，是首项为 ，公差为 的等差数列，因此，. 3.(2011 天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为( ).A.-110 B.-90 C.90 D.110考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.答案：D解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即，将代入，并解得，所以. 4.(2012 湖北理)定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：；.则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).A. B. C. D. 考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.答案：C.解析：对于，所以是“保等比数列函数”； 对于，所以不是“保等比数列函数”；对于，所以是“保等比数列函数”；对于，所以不是“保等比数列函数”. 5.已知数列满足，当时，则( ).A.1 B.2 C.-1 D.-2考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.答案：A.解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以. 6.(2012 上海理)设，在中，正数的个数是( ).A.25 B.50 C.75 D.100考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：D.解析：当时，；当时，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，但其绝对值要小于时相应的值；当时，. 当时，均有. 二、填空题二、填空题7.(2009 北京理)已知数列满足：，则_；_.考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.答案：1，0.解析：依题意，得，. 8.(2011 湖北理)九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升.考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.答案：.解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，两式联立解得，. 9.(2010 天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记，设为数列的最大项，则 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.答案：4.解析：根据等比数列前项和公式，得 .，当且仅当，即时取等号，而，当时，取最大值，即数列的最大项为，所以. 10.(2011 江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，成公差为 1 的等差数列，则的最小值是_.考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.答案：.解析：由题意可得，. ，当取最小值 时，即的最小值是. 11.(2012 四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，.设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前 3 项依次为 5，3，2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则. 其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.答案：解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质 1：当时，；性质2：对，有；性质 3：若，则. 当时， ，故为真；当时，易知该数列为：(1 与 2 交替出现)，所以为假； ，；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论是奇数还是偶数，均有 ，故为真；若对某个正整数，则由 ，得，是正整数，.又，(或由为真，及，直接可得)，故，因此为真.第二章数列测试题（二） 三、解答题三、解答题12.(2009 浙江文)设为数列的前项和，其中是常数求及；若对于任意的，成等比数列，求的值考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.答案：，；或.解析：当时，；当时，.而也适合上式，所以.，成等比数列，即，化简并整理得. 此式对成立，或. 13.(2010 全国卷文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；设，求数列的前项和.考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.答案：.解析：设的公比为，则.由已知，有 ，化简得，解得，(舍去)，所以.由知，所以 . 14.(2008 湖南理)数列满足求，并求数列的通项公式；设，证明：当时，.考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.答案：，；略.解析：，.一般地，当时，即，所以数列是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此.当时，所以数列是首项为2、公比为 2 的等比数列，因此.数列的通项公式为.由知，得，.要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证明：要证明，只需证明.令，则，当时，.当时，.于是当时，. 15.(2012 广东理)设数列的前项和为，满足，且，成等差数列求的值；求数列的通项公式；证明：对一切正整数，有考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.答案：；略.解析：在中，令得；令得，解得，.又，解得.由，得.又也满足，成立，. (法一)，.(法二)，当时，累乘得，.