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精编北师大版数学资料习题课(4)一、选择题1 已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A B4C8 D9解析：设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，整理得x24xy20，即(x2)2y24.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S4.故选B.答案：B2 方程表示()A两条线段 B两条直线C两条射线 D一条射线和一条线段解析：由已知得1|x|1y,1y0,1|x|0.y|x|，|x|1，曲线表示两条线段，故选A.答案：A3已知椭圆1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点， 弦BC过椭圆的中心O，且·0，|2|，则其焦距为()A BC D解析：如右图，a2，由·0C90°，|BC|2|AC|，|OC|AC|，C(1，1)代入椭圆方程得1，b2，又a24，c24，c.2c.答案：C4已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A1 B1C1 D1解析：设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得.又直线AB的斜率是1，所以4b25a2.代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.答案：B52014·湖南省长沙一中期中考试已知抛物线x22py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A BC D解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系因为抛物线的焦点为(0，)，直线方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故选C.答案：C62014·浙江省学军中学期中考试如图，F1、F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为()A BC2 D解析：本题主要考查双曲线的几何性质|AB|BF2|AF2|345，不妨令|AB|3，|BF2|4，|AF2|5，|AB|2|BF2|2|AF2|2，ABF290°，又由双曲线的定义得：|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，|AF1|345|AF1|，|AF1|3，2a|AF2|AF1|2，a1，|BF1|6.在RtBF1F2中，|F1F2|2|BF1|2|BF2|2361652，又|F1F2|24c2，4c252，c，双曲线的离心率e，故选A.答案：A二、填空题7已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是_解析：设AF11，由ABF2是正三角形知，|AF2|2，|F1F2|，所以椭圆的离心率e.答案：8若直线y2x3与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得4x216x90，由根与系数之间的关系知x1x24，y1y22(x1x2)62，所以线段AB的中点坐标为(2,1)答案：(2,1)9已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是_解析：设双曲线方程为1(a>0，b>0)，依题意c.方程可化为1.由得(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.，解得a22.双曲线的方程为1.答案：1三、解答题10直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？解：由，得(3a2)x22ax20，4a24(3a2)(2)244a2>0，a(，)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(1)|AB|.(2)由题意知，OAOB，则x1x2y1y20，x1x2(ax11)(ax21)0.即(1a2)x1x2a(x1x2)10，(1a2)·a·10，解得a±1.即a±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点112014·郑州外国语学校月考已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)求AB的中点坐标；(2)求ABF2的周长与面积解：(1)由1，知a，b，c1.F1(1,0)，F2(1,0)，l的方程为yx1，联立消去y得5x26x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，x0，y01(或y0x011)，中点坐标为M(，)(2)由题意知，F2到直线AB的距离d，|AB|·，SABF2|AB|d××，ABF2的周长4a4.12已知抛物线C1：y24px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.(1)当p1时，求椭圆C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于MF1F2的周长，求直线l的方程解：(1)设椭圆方程为1(a>b>0)，由已知得，c1，a2，c1，b，椭圆方程为1.(2)若直线l的斜率不存在，则l：x1，且A(1,2)，B(1，2)，|AB|4.又MF1F2的周长等于|MF1|MF2|F1F2|2a2c6|AB|.直线l的斜率必存在设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)，由，得k2x2(2k24)xk20，直线l与抛物线C1有两个交点A，B，(2k24)24k416k216>0，且k0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1x2，x1x21.于是|AB|x1x2|，MF1F2的周长等于|MF1|MF2|F1F2|2a2c6，由6，解得k±.故所求直线l的方程为y±(x1)
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