三年模拟一年创新高考数学 复习 第九章 第三节 椭圆及其性质 理全国通用

第三节第三节 椭圆及其性质椭圆及其性质 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1(20 xx武汉模拟)已知椭圆的长轴长是 8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A.x216y271 B.x216y271 或x27y2161 C.x216y2251 D.x216y2251 或x225y2161 解析 a4，e34，c3. b2a2c21697. 椭圆的标准方程是x216y271 或x27y2161. 答案 B 2(20 xx青岛模拟)已知以F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A3 2 B2 6 C2 7 D. 7 解析 根据题意设椭圆方程为x2b24y2b21(b0)， 则将x 3y4 代入椭圆方程， 得 4(b21)y28 3b2yb412b20， 椭圆与直线x 3y40 有且仅有一个交点， (8 3b2)244(b21)(b412b2)0， 即(b24)(b23)0，b23.长轴长为 2b242 7. 答案 C 3(20 xx嘉兴二模)已知椭圆x2my21 的离心率e12，1 ，则实数m的取值范围是( ) A.0，34 B.43， C.0，3443， D.34，1 1，43 解析 椭圆的标准方程为x2y21m1， 当椭圆的焦点在x轴上时，可得m43； 当椭圆的焦点在y轴上时，可得 0m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为_ 解析 抛物线y28x的焦点为(2，0)，m2n24，e122m，m4，代入得，n212，椭圆方程为x216y2121. 答案 x216y2121 一年创新演练 6已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24ay2a211，随着a的增大该椭圆的形状( ) A越接近于圆 B越扁 C先接近于圆后越扁 D先越扁后接近于圆 解析 由题意得到a1，所以椭圆的离心率e24aa214a1141aa(a1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选 A. 答案 A B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 7(20 xx黄冈质检)F1，F2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且PF1F230，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.12 D.32 解析 不妨设|PF2|1，则|PF1|2，|F1F2|2c 3， 由椭圆的定义得 2a3，因此eca2c2a33. 答案 A 二、填空题 8(20 xx枣庄模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0bb0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且 2F1F2F2Q0. (1)求椭圆C的离心率； (2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x 3y30 相切，求椭圆C的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4，0)，求PMN面积的最大值 解 (1)设Q(x0，0)F2(c，0)，A(0，b)， 则F2A(c，b)，AQ(x0，b)， 又F2AAQ，cx0b20， 故x0b2c，又 2F1F2F2Q0， F1为F2Q的中点，故2cb2cc， 即b23c2a2c2，eca12. (2)eca12，a2c，b 3c， 则F2(c，0)，Q(3c，0)，A(0， 3c) AQF2的外接圆圆心为(c，0)，半径 r12|F2Q|2ca.|c3|22c，解得c1， a2，b 3， 椭圆方程为x24y231. (3)设直线MN的方程为： xmy1，代入x24y231 得 (3m24)y26my90. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， y1y26m3m24，y1y293m24， |y1y2| （y1y2）24y1y2 4 3 3m233m24. SPMN12|PF2|y2y1|6 3 3m233m24， 令 3m23 3， SPMN6 3216 316 331392， PMN面积的最大值为92，此时m0. 11(20 xx惠州调研)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5 23. (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点 若线段AB中点的横坐标为12，求斜率k的值； 已知点M73，0 ，求证：MAMB为定值 解 (1)x2a2y2b21(ab0)满足a2b2c2， 又ca63，12b2c5 23，解得a25，b253， 则椭圆方程为x253y251. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2) 将yk(x1)代入x253y251， 得(13k2)x26k2x3k250， 48k2200，x1x26k23k21， AB中点的横坐标为12， 6k23k211，解得k33. 证明 由(1)知x1x26k23k21，x1x23k253k21， MAMBx173，y1x273，y2 x173x273y1y2 x173x273k2()x11）（x21 (1k2)x1x273k2(x1x2)499k2 (1k2)3k253k2173k26k23k21499k2 3k416k253k21499k249(定值) 一年创新演练 12.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D. (1)设e12，求|BC|与|AD|的比值； (2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 解 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 C1：x2a2y2b21，C2：b2y2a4x2a21，(ab0)， 设直线l：xt(|t|a)， 分别与C1，C2的方程联立，求得 At，aba2t2，Bt，baa2t2， 当e12时，b32a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标， 可知|BC|AD|2|yB|2|yA|b2a234. (2)t0 时，l不符合题意，t0 时， BOAN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即baa2t2taba2t2ta， 解得tab2a2b21e2e2a， 因为|t|a，又 0e1， 所以1e2e21，解得22e1， 所以当 0e22时，不存在直线l， 使得BOAN；当22e1 时，存在直线l， 使得BOAN.