经济数学基础

经济数学基础12期末复习文本 2010-06-11考核方式：本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成绩由形成性 考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%课程考核成绩满分100分，60分以上为合格，可以获得课程学分试题类型：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题三种题型分数的百分比为：单选择题15%，填空题15，解答题70内容比例：微积分占58%，线性代数占42%考核形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分考试时间：90分钟复习建议：1.复习依据：（1）重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题基本一样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容掌握了，考试就没有问题）（2）作业1-4（隐函数求导、微分方程考试不做重点，可略去，作业讲评栏目中有作业册供复习用）（3）往届考试题（在考试指南栏目中）注意：以上三方面的内容重复的较多，所以复习量并不大。2.虽然试卷中给出了导数、积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题有意识的记记，要把公式中的x念成u，并注意幂函数有两个特例（）当公式记，考试时才能尽快找到公式并熟练应用。导数的计算重点要掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则；积分的计算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积分公式）。3.代数中的两道计算题要给予足够的重视，关键是要熟练掌握矩阵的初等行变换（求逆矩阵，解矩阵方程，方程组的一般解，必须要动手做题才能掌握！）微分学部分考核要求与综合练习题第1章 函数1理解函数概念。 （1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。（2）理解函数的对应关系f的含义：f表示当自变量取值为x时，因变量y的取值为f (x)。（3）会判断两函数是否相同。（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。2掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1)若，则为偶函数；(2)若，则为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。3了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。4知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质。基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。5了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。第2章 极限、导数与微分1知道一些与极限有关的概念（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。2知道一些与导数有关的概念（1）会求曲线的切线方程（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)3熟练掌握求导数或微分的方法。（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法4会求函数的二阶导数。第3章 导数的应用1掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法，会求函数的极值。通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判断。2了解一些基本概念。（1）了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系；（2）了解边际概念和需求价格弹性概念；3熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。微分学部分综合练习一、单项选择题1函数的定义域是（ D ） A B C D 且2下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等 A， B，+ 1 C， D， 3设，则（ C ） A B C D4下列函数中为奇函数的是（ C ）A B C D5已知，当（A ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 6当时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A B C D 7函数 在x = 0处连续，则k = (C)A-2 B-1 C1 D2 8曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A B C D 9曲线在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x 10设，则（ B ） A B C D 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）A B C D二、填空题1函数的定义域是 2函数的定义域是(-5, 2 )3若函数，则4设，则函数的图形关于对称Y轴5.1 6已知，当 时，为无穷小量 7. 曲线在点处的切线斜率是注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程8函数的驻点是 .x=19. 需求量q对价格的函数为，则需求弹性为三、计算题（通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则！这是考试的10分类型题）1已知，求 解： 2已知，求 解 3已知，求 解 4已知，求 解： 5已知，求； 解：因为 所以 6设，求解：因为 所以 7设，求 解：因为 所以 8设，求 解：因为 所以 四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？ 解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： ， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即，所以 收入函数=()= （2）利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？解 （1）由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为（元）4某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解 因为 令，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 （元/件）5已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 解 因为 = ， = 令=0，即，得，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品 积分学部分考核要求与综合练习题第1章 不定积分1理解原函数与不定积分概念。（1）若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。（2）原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即=,=,，2熟练掌握不定积分的计算方法。（1）第一换元积分法（凑微分法） （2）分部积分法第2章 定积分 1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。 若是奇函数，则有2熟练掌握定积分的计算方法。 3会求简单的无穷限积分。第3章 积分应用 熟练掌握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。积分学部分综合练习一、单选题1下列等式不成立的是（ ）正确答案：D A B C D2若，则=（ ）. 正确答案：DA. B. C. D. 注意：主要考察原函数和二阶导数3下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）正确答案：C A B C D4. 若，则f (x) =（ ）正确答案：C A B- C D-5. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( )正确答案：BA BC D6下列定积分中积分值为0的是（ ）正确答案：A A B C D 7下列定积分计算正确的是（ ）正确答案：D A B C D 8下列无穷积分中收敛的是（ ） 正确答案：CA B C D9无穷限积分 =（ ）正确答案：C A0 B C D. 二、填空题1 应该填写：注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。2函数的原函数是 应该填写：-cos2x + c 3若存在且连续，则 应该填写：注意：本题是先微分再积分最后在求导。4若，则. 应该填写：5若，则= . 应该填写： 注意：6. 应该填写：0注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为07积分 应该填写：0注意：奇函数在对称区间的定积分为08无穷积分是 应该填写：收敛的三、计算题（以下的计算题要熟练掌握！这是考试的10分类型题）1 解： =2计算 解： 3计算 解： 4计算 解： 5计算解： = = 6计算 解： =7 解：= 8 解：=- = 9 解： = =1 注意：熟练解答以上各题要注意以下两点（1）常见凑微分类型一定要记住（2）分部积分：，常考的有三种类型要清楚。四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）1 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解： 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为= 100（万元）又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解： 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500；x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解： (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）；又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 =当= 0时，C(0) = 18，得 c =18； 即 C()= 又平均成本函数为 令 ， 解得= 3 (百台) ， 该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 ； 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为= - 1（万元）即利润将减少1万元. 线性代数部分考核要求与综合练习题第2章 矩阵1了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2）了解单位矩阵、数量矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）理解矩阵初等行变换的概念。2熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵，解矩阵方程。第3章 线性方程组1了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。 3.熟练掌握线性方程组解得情况判定定理线性代数部分综合练习题一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. 正确答案：A AAB BABT CA+B DBAT2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） 正确答案：BA. B. C. D. 注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3以下结论或等式正确的是（ ） 正确答案：CA若均为零矩阵，则有 B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则4设是可逆矩阵，且，则（ ）. 正确答案：CA. B. C. D. 注意：因为A(I+B)=I,所以I+B5设，是单位矩阵，则（ ）正确答案：D A B C D6设，则r(A) =（ ）正确答案：C A4 B3 C2 D17设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）正确答案：A A1 B2 C3 D48线性方程组 解的情况是（ ）正确答案：AA. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解9设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（ ）正确答案：D A B C D10. 设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定正确答案：C二、填空题1若矩阵A = ，B = ，则ATB= 应该填写： 2设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 . 应该填写：是可交换矩阵3设，当 时，是对称矩阵. 应该填写：04设均为阶矩阵，且可逆，则矩阵的解X= 应该填写：5若线性方程组有非零解，则应该填写：-16设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 应该填写：n r7齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .应该填写： (其中是自由未知量)三、计算题（以下的各题要熟练掌握！这是考试的15分类型题）1设矩阵A =，求逆矩阵解： 因为 (A I )= 所以 A-1= 注意：本题也可改成如下的形式考：例如 ：解矩阵方程AX=B,其中，答案：又如：已知，求2设矩阵A =，求逆矩阵解： 因为 ， 且 所以 3设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解： 因为BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 4设矩阵，求解矩阵方程解：因为， 即 所以X = 5求线性方程组的一般解 解： 因为 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 6求线性方程组的一般解 所以一般解为 （其中是自由未知量） 7设齐次线性方程组，问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.解： 因为系数矩阵A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 8当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解. 解： 因为增广矩阵所以当=0时，线性方程组有无穷多解且一般解为 是自由未知量 这类题也有如下的考法：当为何值时，线性方程组有解，并求一般解。9为何值时，方程组有唯一解，无穷多解，无解？当且时，方程组无解；当，时方程组有唯一解；当且时，方程组有无穷多解。本复习文本的计算题务必要动手做做才能掌握，对同学们而言，这是成败的关键！努力复习吧，胜利在向你招手！the goal of comprehensive transportation hub in Yibin city. City track traffic of planning and construction, conducive to city track traffic and regional city inter track traffic, and highway passenger hub and railway hub of integration convergence, while using21