新版高中数学北师大版选修22教案：第1章 高考中的合情推理

新版数学北师大版精品资料高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。解：f（1）1，观察图象可知f（2）4，f（3）10，f（4）20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，通项公式是，所以f（n）f（n1），所以有：f（2）f（1）f（3）f（2）f（4）f（3）f（n）f（n1）以上各式相加得：f（n）f（1）所以应该填：10；点评：求f（n）的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。二、 类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r的圆的面积，周长，若将r看作上的变量，则， ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作看作上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可用语言叙述为_.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，.答案： 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。结论类比：已知简单命题A的结论去探索新命题B的结论，从而对问题从更高层次上去把握，这类题目能训练学生的信息迁移能力和创造思维能力。例3、（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数ao，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1） 如果函数的值域为，求b的值；（2） 研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；（3） 对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，所以该函数在处取得最小值 令，得（2）设，显然函数在上是减函数，在上是增函数，令得，令得或又因为在上是减函数，在上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，上是增函数。 （3）推广结论：当n是正奇数时，函数（常数是奇函数，故在上是增函数，在是减函数，在上是减函数，在上是增函数。而当n为正偶数时，函数（常数是偶函数，在上是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数。点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。