三年级数学思维训练

目 录第一讲 数图形2第二讲 找规律4第三讲 加减巧算6第四讲 填数游戏8第五讲 有余数除法10第六讲 周期问题12第七讲 配对求和14第八讲 乘法速算16第九讲 乘除巧算18第十讲 应用题（一）20第十一讲 应用题（二）22第十二讲 植树问题24第十三讲 重叠问题26第十四讲 简单枚举28第十五讲 等量代换30期末综合练习32第1讲 数图形专题分析：同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形的个数，就必须要有次序、有条理地按照规律去数。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。例1：数出下面图中有多少条线段？ A B C D【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B为左端点的线段有：BC、BD2条；以C为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD2条；又3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。例2：数出下图中有几个角？ A O B C D【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以AO为一边的角有：AOB、AOC、AOD3个；以BO为一边的角有：BOC、BOD2个；以CO为一边的角有：COD1个。所以图中共有3+2+1=6（个）角。当然，也可以把图中AOB、BOC、COD看做基本角，那该怎样数呢？例3：数出下图中共有多少个三角形？ A B C D E【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以AB为边的三角形有：ABC、ABD、ABE3个；以AC为边的三角形有：ACD、ACE2个；以AD为边的三角形有：ADE1个。所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。拓展训练：1、数一数，一共有几条线段、几个角？ 共（ ）条线段 共（ ）条线段 共（ ）个角 共（ ）个角2、按要求数图形。 共（ ）个三角形 共（ ）个三角形 共（ ）个长方形 共（ ）个长方形3、填空。有6个小朋友，每2人握一次手，一共要握（ ）次。从青岛到上海的直达列车，中途停靠5个站，这次列车共有（ ）种不同票价。4、解决问题。三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？5、提高训练。有16六个数字，能组成多少个不同的两位数？第2讲 找规律专题分析：按照一定顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。例1：在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（ ），（ ）（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）（3）2，6，18，54，（ ），（ ）【思路导航】（1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别应填15和18。（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，即每相邻两个数的差依次是1，2，3，4，这样下一个数应为11增加5，所以应填16，再下一个数应比16大6，应填22。（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根据这一规律可以知道（ ）里应分别填162和486。例2：先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）2，5，14，41，（ ），（ ）（2）252，124，60，28，（ ）（3）1，2，5，13，34，（ ）（4）187，286，385，（ ），（ ）【思路导航】（1）在数列中，第一个数23-1=5是第二个数，第二个数53-1=14是第三以此类推，相邻两个数，前一个数乘以3减1等于后一个数，所以括号里填应122。（2）在数列中，相邻的两个数，前一个数除以2的商检2等于后一个数，所以括号里应填12。（3）在数列中，可以发现23=1+5，53=2+13，133=5+34，也就是从第二项开始，每一项乘以3等于它前后相邻两数的和，因而括号里应填89。（4）在数列中，十位上的数字8不变，百位上的数字依次增加1，个位上的数字依次减少1，且百位与个位数字和为8。因此，括号里应填484，583。例3：按规律填数。48216510914 77841412111699431413 （1）（2） 【思路导航】（1）横着看，右边的数比左边的数多5，竖着看，下面的数比上面的数多4，因此，方格里填18。（2）根据前两图的数量关系：482=16，784=14，因此，第三个图形为943=12。拓展训练：1、先找规律，再在括号里填上合适的数。 0，4，8，（ ），（ ），（ ） 1，3，6，10，15，（ ），（ ） 48，38，29，21，（ ），（ ） 3，6，12，24，（ ），（ ） 128，64，32，（ ），（ ） 15，10，13，10，11，10，（ ），（ ），7，10 1，13，2，14，3，15，（ ），（ ） 4，7，13，25，（ ）（ ） 86，42，20，（ ） 198，297，396，（ ），（ ）2、下面空格里应填什么数？26377118596103、你能填出缺少的数吗？731854541737474762124、找出规律，填一填。181522139275、你能把方格图填完整吗？71695211694第3讲：加减巧算专题分析：加减巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要加上，多减要加上，少减要减去”的原则进行处理。另外，可结合加法交换律、结合律及减法性质凑整，从而达到简算目的。例1：你有好办法迅速计算出结果吗？（1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9【思路导航】先把接近整十、整百、整千的数看成整十、整 百、整千数，再算“零头”，最后把两部分数合起来。（1）502+799-298-97 （2）9999+999+99+9 =500+2+800-1-300+2-100+3 =10000-1+1000-1+100-1+10-1 =（500+800-300-100）+（2-1+2+3） =10000+1000+100+10-4 =900+6 =11110-4 =906 =11106例2：计算下面各题。（1）487+321+113+479 （2）723-251+177 （3）872+284-272 （4）537-142-58【思路导航】通过观察后，发现后几位数互补或相等，通过加减正好能凑成整十、整百、整千数。（1）487+321+113+479 （2）723-251+177 =（487+113）+（321+479） =（723+177）-251 =600+800 =900-251 =1400 =649（3）872+284-272 （4）537-142-58 =872-272+284 =537-（142+58） =600+284 =537-200 =884 =337例3：计算下面各题。（1）321+（279-155） （2）327-（54+72） （3）432-（154-68） 【思路导航】通过观察，我们可以先去括号，再进行移位凑整计算。（1）321+（279-155） （2）372-（54+72） （3）432-（154-68） =321+279-155 =372-72-54 =432+68-154 =600-155 =300-54 =500-154 =445 =246 =346拓展训练：1、计算下面各题。9+97+997+9997 8+102+888+1002402+503-397-98 3999+399+392、你能迅速算出结果吗？97+101+103+99 721-400+2796998+995+97+51 999+98+37+63、简便计算。4875-（996+1875） 4276+（624-176）4、巧算。599+997+201-401 5996+999+98+895、你能用最短的时间算出结果吗？1000-81-82-84-85-19-18-17-16-15-83第4讲：填数游戏专题分析：填数时，要求我们仔细观察，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。同时，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数字的综合与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几，依次类推例1：在下图中分别填入1-9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？ 【思路导航】可以把1-9中间的5填到中心的内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是10的四组，这样两条直线上五个数的和都是5+102=25。例2：把数字1-8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上五个数的和都等于20。 【思路导航】题目中所有8个数字的和是1+2+3+4+5+6+7+8=36，题中要是每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的综合是202=40.两个五边形上的数字总和比8个数的和多40-36=4.多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，即多算了一次。1-8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1，一个填3.20-（1+3）=16，16可以分成16=2+6+8，16=4+5+7.所以本题应该这样填。例3：在图中填入2-9，使没边3个数的和等于15。 【思路导航】解题关键是填出图中的4个顶点，因为求和是这4个顶点各算了两次，多算了一次，所以4边数的和是154=60，所给的数的和是2+3+4+5+6+7+8+9=44，所以4个顶点数的和是60-44=16。我们可以选出3+7+4+2=16填入4个顶点 拓展训练：1、（1）在下图中填入2-10，使横 （2）把1，4，7，10，13，16，行、竖行中的五个数的和相同，和是多 19七个数填入图中7个圈中，少呢？ 使每条线上三个数的和相等。 2、（1）将数字1-6填如下图的小圆 （2）把5，6，7，8，9，10这六圈内，使每个大圈上的四个数字之和都 个数填入下图三角形三条边是15。 的内，使得每条边上的三个数和是21。 3、把1-8填入下图中，使每边三 4、把1-9这九个数填入下个数的和等于13。 图中，使三角形每条边上四个的和等于19。且有一个顶点的数字为1。 5、把1-10这几个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数时候都相等，而且最大，这个和汉斯多少? 第5讲：有余数除法专题分析：（1）余数要比除数小； （2）被除数=商除数+余数。例1：6=8，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【思路导航】除数是6，根据余数比除数小，余数可以是1，2，3，4，5，根据除数商+余数=被除数，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为68+5=53，最小的被除数为68+1=49。列式如下： 68+5=53 68+1=49 答：被除数最大是53，最小是49。例2：算式（ ）（ ）=8（ ）中，被除数最小是几？ 【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为1，那么除数则为2.根据这些，我们就可以求出被除数最小为：82+1=17。例3：算式28（ ）=（ ）4中，除数和商各是多少？【思路导航】根据“被除数=商除数+余数”，可以得知“除数商=被除数-余数”，所以本题中商除数=28-4=24。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，因此除数可以是24，12，8，6，商分别为1，2，3，4。 2824=14 288=34 2812=24 286=44 答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。拓展训练：1、下面题中被除数最大是几，最小是几？（1） 8=3（2） 4=7（3） 9=22、要使除数最小，被除数应是几？ （1）（ ）（ ）=153 （2）（ ）（ ）=85 （3）（ ）（ ）=1243、下面算式中，被除数最小是几？ （1）（ ）（ ）=4（ ） （2）（ ）（ ）=7（ ） （3）（ ）（ ）=9（ ） （4）（ ）（ ）=3（ ） 4、下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？（1）（ ）（ ）=6（ ） （2）（ ）（ ）=12（ ） （3）（ ）（ ）=8（ ） （4）（ ）（ ）=10（ ） （5）（ ）8=（ ）（ ）（被除数最大是几）5、下列算式中，除数和商各是几？ （1）22（ ）=（ ）4 （2）65（ ）=（ ）2 （3）37（ ）=（ ）7（4）48（ ）=（ ）6第6讲：周期问题专题分析：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：认得十二生肖，一年有春夏秦东四个季节，一个星期七天等等，称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。在研究此类问题时，首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，找出循环固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确结果。例1：2011年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？【思路导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天位一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过25-1=24（天），247=3（星期）3（天），说明24天众包括3个星期还多3天，所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起在过3天就应是星期四。 25-1=24（天） 247=3（星期）3（天） 答：10月25日是星期四。例2：100个3相乘，积的个位数字是几？【思路导航】我们只需考虑积的个位数的排列规律。1个3，积的个位数是3，2个3相乘的个位数是9，3个3相乘积的个位数是7，4个3相乘积的个位数是1，5个3相乘积的个位数是3，可以发现鸡蛋个位数分别以3，9，7，1，不断重复出现，即每4个3记得个位数位一周期。1004=25（个），因此100个3 相乘的记得个位数是第25个周期中的最后一个，即是1。列式如下： 3 33=9 333=27 3333=81 33333=243 1004=25（个） 答：积的个位数字是1。例3：ABCABCAB万事如意万事如意 上表中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，问第20组是什么？【思路导航】上面一组以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现，下面一行一“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现，要求第20组，必须分别求出上、下两行各是什么符号才行。首先求上一行是什么字母？203=6（组）2（个）说明第20个字母是“B”，下一行的字是什么？204=5（组）说明第20个姿势“一”，所以第20组是“B意”两个符号。拓展训练：1、（1）2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？ （2）2001年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？ （3）2001年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？2、（1）33333，积的个位数字是几？ 23个“3” （2）100个2相乘，积的末尾数字是几？ （3）7777，积的个位数字是几？ 50个“7”abcdabcd123123123、 上表中每一列两个符号为一组，如第一组为“a1”，第二组委“b2”，问第25组是什么？4、有同样大小的红、白、黑珠共120个，按先3个红的后2个白的再1个黑的排列，问（1）白珠共有多少个？（2）第68个是什么颜色的？5、课外活动上，有4个同学在进行报数游戏，他们围成一圈，甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每个人报的数总比前一个人多1，问45是谁报的？123呢？第7讲：配对求和专题分析：数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用一下关系式： 等差数列的和=（首项+末项）项数2 末项=首项+公差（项数-1） 项数=（末项-首项）公差+1例1：你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（ ）【思路导航】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共10个数，我们可以把10个数分成5组，每组两个数相加的和事11，它们的和就有5个11即115=55，11是有这组数中第一个数与最后一个数相加得到的。列式如下： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）（10+2） =115 =55例2：计算。（1）32+34+36+38+40+42（2）203+207+211+215+219【思路导航】（1）共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，可以分成3组，每组的和事32+42=74，也就是3个74即743=222。（2）共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，根据上题，用第一个数与最后一个数相加203+219=422，乘以数的个数5，再除以2得到。（1）32+34+36+38+40+42 （2）203+207+211+215+219 =（32+42）62 =（203+219）52 =7462 =42252 =222 =1055例3:有一堆木材叠堆在一起，一共是20层，第1层有12根，第2层有13根，下面每层比上一层多一根，这堆木材共有多少根？【思路导航】因为这堆木材从第2层起，每层比上面一层多1根，共20层，所以这堆木材总数为12+13+14+31 =（12+31）202 =43202 =430（根） 答：这堆木材共430根。1、速算。 （1）1+2+3+4+5+100 （2）21+22+23+24+502、简便计算。（1）1+4+7+10+13+16+19 （2）71+73+75+77+79+81（3）48+50+52+54 （4）128+138+148+158+1683、电影院有30拍作为，第一排20个座位，后一排总比前一排多2个座位，最后一排有78个座位，这个电影院共有多少个座位？4、有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数答5，最后一个数是90，这串数连加的和是多少？5、有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，十二点点钟敲12下，分针指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？第8讲：乘法速算专题分析：计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4及，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数乘以11，可爱哟个“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意头尾相加作积的中间数是，哪一位上满10要向前一位进一。例1：试着计算下列各题，你发现了什么规律？（1）1811 （2）3811 （3）43211 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位哪一位上满十就向前一位进一。（1）把8写在个位上，8与1的和9写在十位上，1写在百位上，得1811=198。（2）把8写在个位上，3与8的和为11，把1写在十位上，同时向百位进1，百位上3加上1为4，得3811=418。（3）把2写在个位上，2与3的和5写在十位上，3与4的和7写在百位上，千位上写4，得43211=4752。例2：下面的乘法计算有规律吗？（1）2425 （2）2125 （3）25427 （4）251923【思路导航】因为254=100，因此一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。（1）24中有6个4，所以积是6个100。（2）21中有5个4余1，所以积是5个100加25。（3）427中有106个4余3，所以积是106个100加75。（4）1923中有480个4余3，所以积是480个100加75。具体计算过程如下：（1）2425=1006=600（2）2125=1005+25=525（3）25427=100106+75=10675（4）251923=100480+75=48075例3：你能迅速算出下面各题吗？ （1）2415 （2）24815 （3）345615 【思路导航】一个因数乘以15，因为15=10+5，那么2415就可写成24（10+5）也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用3610=360；24815就用248加上124得到372，再乘以10为3720；345615就用3456加上1728得到5184，再乘以10为51840。一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10 。具体过程如下：（1）2415 （2）24815 （3）345615 =（24+12）10 =（248+124）10 =（3456+1728）10 =3610 =37210 =518410 =360 =3720 =51840拓展训练：1、用乘法中11的速算方法计算。1211 2311 4511 3511 4711 1165 1196 8711 13511 60311 32911 872116111 32611 2711 425112、用乘法中25的速算方法计算。3225 4025 28258125 3325 252747325 2552 25823、用乘法中15的速算方法计算。3215 7415 281543815 28415 67215359615 92015 42154、你能迅速写出结果吗？1999 278995、你能速算吗？试一试。 58101 9981001第9讲：乘除巧算专题分析：前面我们已介绍了有关加、减法中的巧算，其中“凑整”是巧算中的一种方法，这种方法同样可以运用在乘除计算中。要提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律等，灵活运用运算定律，是提高巧算能力的关键。例1：巧算下面各题。 （1）、258 （2）、16125 （3）、162525 （4）、1253225【思路点拨】（1）258 (2)16125 =25（42） =(28)125 =2542 =2(8125) =1002 =21000 =200 =2000 (3)162525 (4)1253225 =(44)2525 =125(84)25 =(425)(254) =(1258)(425) =100100 =1000100 =10000 =100000例2：简便运算。（1）1305 （2）420025 【思路点拨】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，因而：（1）1305 （2）420025 =（1302）（52） =（42004）（254） =26010 =16800100=26 =168例3：计算3125【思路点拨】题中31不能被4整除，但31可拆成47+3，这样就得到（47+3）25，或者把25看做1004也可求出得数。 3125 或 3125 =（47+3）25 =31（1004） =4725+325 =311004 =700+75 =31004 =775 =775拓展训练：1、计算 （1）125278 （2）12548252、速算 1、（1)2512 (2)48125 2、(1)125165 （2）2585 （3）3225253、简便运算 720025 360025 560025 320001254、巧算 2925 1725 221 25 322 25 5、速算78000 125 43000125256125 375325第10讲 应用题（一）专题分析：应用题是我们小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们用学到的数学知识来解决实际生活中遇到的问题学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找到问题的突破口。解答应用题首先要弄清题意，找出题中的条件和问题，再通过分析题中的数量间的关系，找到解题方法，最后列出算式，算出结果，写出答案。关键是要弄清题中的数量关系。例1：食堂运来一批大米，吃掉24袋，剩下的袋数是吃掉的2倍。食堂运来大米多少袋？【思路点拨】要求食堂运来大米多少袋，必须知道吃掉的袋数和剩下的袋数这两个条件，吃掉的袋数已经知道，是24袋，所以要先求剩下的袋数，再求出共运来大米的袋数。（1）剩下多少袋大米？242=48（袋）（2）一共运来多少袋大米？24+48=72（袋）综合算式：24+242=72（袋）答：食堂共运来72袋大米。例2：学校饲养小组养了18只黑兔，养的灰兔的只数是黑兔的3倍，养的白兔的只数比灰兔多12只，学校饲养小组养了多少只白兔？【思路点拨】：要求养白兔的只数，必须要知道灰兔的只数，根据题中灰兔的只数是黑兔的3倍，必须要知道黑兔的只数，题中已知，所以要先求灰兔的只数，再求白兔的只数。（1）灰兔多少只？183=54（只）（2）白兔多少只？ 54+12=66（只）综合算式：183+12 答：学校饲养小组养了66只白兔。例3：文峰超市运来雪碧80箱，运来可乐的箱数是雪碧的3倍，运来芬达180箱。三种饮料共运来多少箱？【思路点拨】：要求三种饮料共运来多少箱，必须要知道三种饮料分析有多少箱，题中已知雪碧和芬达的箱数，因此要先求可乐的箱，再求三种饮料共运来多少箱。（1）运来可乐多少箱？803=240（箱） （2）三种饮料共运来多少箱？80+240+180=500（箱）综合算式：80+803+180答：三种饮料共运来500箱。拓展训练：1、在学雷锋活动，三年级同学做好事73件，五年级同学做好事的件数是三年级的3倍。两个年级共做好事多少件？2、爸爸今年30岁，是小明年龄的5倍，爸爸今年比小明大多少岁？3、花圃里有48盆鸡冠花，是郁金香的4倍，郁金香的盆数比月季花少18盆，花圃里有多少盆月季花？4、学校体育器材室足球84只，是排球只数的2倍，篮球有56只，三种球一共有多少只？5、李老师上班时坐车，下班时步行，在路上共用50分钟，如果往返都步行要用80分钟。如果往返都坐车，只需多少分钟？第11讲 应用题（二）专题分析：一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析、善于思考善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解题中条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。例1：用一个杯子向一个空瓶里倒牛奶，若倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克，若倒进5杯牛奶连瓶共重750克，一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？【思路点拨】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式： 2杯牛奶的重量+1个空瓶的重量=450克 5杯牛奶的重量+1个空瓶的重量=750克 比较两式，可得： （750-450）（5-2）=100（克） 450-1002=250（克） 答：一杯牛奶重100克，一个空瓶重250克。例2：一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？【思路点拨】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里珠子粒数相等，那么就可以用120（6+9+5）=6（粒）求到每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。 120（6+9+5）=6（粒） 黄色珠子：66=36（粒） 红色珠子：69=54（粒） 绿色珠子：65=30（粒）答：红色、黄色、绿色珠子分别是54粒、36粒、30粒。例3：在6个筐里放着同样多的鸡蛋。如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？【思路点拨】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6-2）=4（个）筐里鸡蛋的总和，用取出的506=300（个）鸡蛋除以4就可求到原来每个筐里鸡蛋的个数。 506（6-2）=75（个） 答：原来每个筐里有鸡蛋75个。拓展训练：1、有一筐苹果共重56千克，卖掉苹果的一半，还剩下31千克，苹果和筐各多少千克？2、小李开车从甲地到乙地，上午10时出发，计划每小时行80千米，下午2小时到达乙地，结果实际到达时间为下午3时，实际每小时比计划少行多少千米？3、五个箱子里装着同样多的梨，如果从每个箱子里拿出30个梨，五个箱子里剩下的梨个数总和等于原来两个箱子里的梨个数之和，原来每个箱子里有多少个梨？4、公园里有月季、菊花、郁金香共540盆，搬2盆菊花，再搬4盆郁金香走，那么三种花便同样多，原来这三种花各多少盆？5、全班同学吃水果，先平均分给8个小组，每小组7人，每人分到2个水果，一共要买多少水果？第12讲：植树问题专题分析：解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵树三者之间的关系解答植树问题要考虑植树的方式：1、在不封闭的线路上植树，棵树=总距离间隔长+1；2、在封闭的线路上植树，棵树=总距离间隔长例1：参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米？由题意,队伍总长为: 7.5(5-1)+2(120056-1)5 =7.54+2395 =420(米)答：整个队伍的总长有420米。例2：锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟？由题意,所需时间为: 锯一刀所需时间要锯的刀数. =(601+20)(5-1)(40.5-1) =8047 =140(分钟)答：需要140分钟。例3：在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树？由题意,四周共有:(24-1)4=92(棵)拓展训练：1、填空题（1）、在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了 棵树.（2）、圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装 盏灯.（3）、一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树 棵.（4）、在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是 米.（5）、一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树 棵,栽桃树 棵.（6）、一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树 棵.（7）、一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种 棵树.（8）、两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔 米.（9）、公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟 米.（10）、国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要 分钟.2、一人以不变的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树？3、在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共载了22棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？4、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到17楼时，乙跑到多少层楼？5、一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑到周围各插了多少面红旗和黄旗？6、三年级880人进行了体操比赛，每22人排成一排，两排中间隔1米，首尾两排相隔多少米？ 第13讲：重叠问题专题分析：解答重叠问题时要用到数学中的一个重要原理包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。例1：小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 【思路点拨】 如图：471 = 10（人）例2：同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 【思路点拨】 每排（列）有：441 = 7（人） 共有：77 =49（人） 例3：把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 【思路点拨】 （306）2 = 18（厘米） 答：原来两段纸条各长18厘米。拓展训练：1、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？ 3、两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠 部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？ 4、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？5、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不