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44.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)学习目标1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点知识点一对数函数的图象和性质对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质如下表ylogax (a0，且a1)底数a10a1时，对数函数的图象“上升”；当0a0，且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数它们的定义域与值域正好互换1若函数yf(x)是函数y3x的反函数，则f的值为_答案log32解析yf(x)log3x，flog3log32.2函数ylg(x1)的图象大致是_(填序号)答案解析由底数大于1可排除，ylg(x1)可看作是ylg x的图象向左平移1个单位长度(或令x0得y0，而且函数为增函数)3已知函数yax(a0，且a1)在R上是增函数，则函数ylogax在(0，)上是_函数(填“增”或“减”)答案增解析因为函数yax在R上是增函数，所以a1，所以ylogax在(0，)上是增函数4函数ylogax1(a0，且a1)的图象过定点_答案(1,1)解析因为对数函数ylogax的图象过定点(1,0)，所以函数ylogax1的图象过定点(1,1)一、对数函数的图象及应用例1(1)如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0bab1Dba1答案B解析作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b_，c_.答案22解析函数的图象恒过定点(3,2)，将(3,2)代入yloga(xb)c，得2loga(3b)c.又当a0，且a1时，loga10恒成立，c2,3b1，b2，c2.(3)已知f(x)loga|x|(a0，且a1)满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象解因为f(5)1，所以loga51，即a5，故f(x)log5|x|所以函数ylog5|x|的图象如图所示(教师)延伸探究1在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)loga|x1|的图象解因为f(x)log5|x|，所以g(x)log5|x1|，如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的2在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)|logax|的图象解因为a5，所以h(x)|log5x|.h(x)的图象如图所示反思感悟对数函数图象的变换方法(1)作yf(|x|)的图象时，保留yf(x)(x0)图象不变，x0)的图象关于y轴对称(2)作y|f(x)|的图象时，保留yf(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律(4)yf(x)与yf(x)关于y轴对称，yf(x)与yf(x)关于x轴对称，yf(x)与yf(x)关于原点对称跟踪训练1(1)函数f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为()答案C解析函数f(x)loga|x|1(a1)是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，当x0时，f(x)logax1是增函数；当x0时，f(x)loga(x)1是减函数，又图象过(1,1)，(1,1)两点，结合选项可知选C.(2)画出函数y|log2(x1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间解函数y|log2(x1)|的图象如图所示由图象知，其值域为0，)，单调减区间是(1,0，单调增区间是(0，)二、比较大小例2(1)若alog23，blog32，clog46，则下列结论正确的是()Abac BabcCcba Dbclog461，log321，所以bc0，a1)；log50.4，log60.4.解因为ylog3x在(0，)上是增函数，所以log31.9log210，log0.32log0.32.当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，则有logaloga3.14；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，则有loga1时，logaloga3.14；当0a1时，logaloga3.14.在同一直角坐标系中，作出ylog5x，ylog6x的图象，再作出直线x0.4(图略)，观察图象可得log50.40，且a1)；(2)log3，log2，log3.解(1)当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，又5.15.9，所以loga5.1loga5.9；当0a1时，ylogax在(0，)上是减函数，又5.1loga5.9.综上，当a1时，loga5.1loga5.9；当0aloga5.9.(2)log2log23，又1log232，log21.又log3log321，log3log2log3.1函数yloga(x1)(0a1)的图象大致是()答案A解析0abc BbacCcab Dbca答案A解析a20.21blog43.20c1，abc.3下列式子中成立的是()Alog0.441.013.5C3.50.33.40.3 Dlog76log0.46，故A错；因为y1.01x为增函数，所以1.013.43.40.3，故C错，log7610，且a1)的反函数，其图象经过点，则a_.答案解析因为点在yf(x)的图象上，所以点在yax的图象上，则有，所以a22，又因为a0，a.5设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.答案4解析a1，f(x)logax在a,2a上递增，loga(2a)logaa，即loga2，2，a4.1知识清单：(1)对数函数的图象及性质(2)利用对数函数的图象及性质比较大小2方法归纳：图象变换、数形结合法3常见误区：作对数函数图象易忽视底数a1与0a1两种情况1函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是()A0 B1 C2 Da答案C解析0a0，且a1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为()A2 B. C2或 D3答案B解析方法一函数yax(a0，且a1)的反函数为ylogax(a0，且a1)，故ylogax的图象过点(，a)，则aloga.方法二函数yax(a0，且a1)的反函数的图象过点(，a)，函数yax(a0，且a1)的图象过点(a，)，aa，即a.3设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac BcabCcba Dacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cabc BacbCcba Dcab答案D解析0a201，blog21，cab.5函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是()答案B解析由f(x)的定义域为(，1)(1，)，且f(x)lg(|x|1)lg(|x|1)f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误又当x1时，f(x)lg(x1)在(1，)上单调递增，所以B正确6函数yloga(x4)2(a0且a1)恒过定点_答案(5,2)解析令x41得x5，此时yloga122，所以函数yloga(x4)2恒过定点(5,2)7函数y2log2x(x1)的值域为_答案2，)解析当x1时，log2x0，所以y2log2x2.8如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax(a0，且a1)的增减性相同，则实数a的取值范围是_答案(1,2)解析若f(x)，g(x)均为增函数，则即1a2；若f(x)，g(x)均为减函数，则无解故1a0，且a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.解(1)因为函数yln x在(0，)上是增函数，且0.32，所以ln 0.31时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.1loga5.2.综上所述，当a1时，loga3.1loga5.2；当0aloga5.2.(3)因为0log0.23log0.24，所以，即log30.23，所以log3log331.同理，1loglog3，所以log3log3.10已知f(x)|lg x|，且ab1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小解先作出函数ylg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增由ab1得ff(a)f(b)，而f|lg c|lg c|f(c)f(c)f(a)f(b)11函数f(x)lg|x|为()A奇函数，在区间(0，)上单调递减B奇函数，在区间(0，)上单调递增C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减答案D解析已知函数定义域(，0)(0，)关于坐标原点对称，且f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函数又当x0时，f(x)lg x在区间(0，)上单调递增又因为f(x)为偶函数，所以f(x)lg|x|在区间(，0)上单调递减12已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x3x1 Bx1x3x2Cx1x2x3 Dx3x2x1答案A解析分别作出三个函数的大致图象，如图所示由图可知，x2x3f(2)，则a的取值范围为_答案(2，)解析作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)f，故结合图象可知0a2.14已知f(x)的值域为R，那么实数a的取值范围是_答案解析要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即所以a.15若函数f(x)loga(xb)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)axb的图象大致是()答案D解析由f(x)的图象可知0a1,0b1，g(x)的图象应为D.16若不等式x2logmx0在内恒成立，求实数m的取值范围解由x2logmx0，得x2logmx，在同一坐标系中作yx2和ylogmx的草图，如图所示要使x2logmx在内恒成立，只要ylogmx在内的图象在yx2图象的上方，于是0m1.x时，yx2，只要x时，ylogm，即m.又0m1，m1.即实数m的取值范围是.
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