高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 章末综合检测三 Word版含解析

章末综合检测(三) (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数 yln（x1）x23x4的定义域为( ) A(4，1) B(4，1) C(1，1) D(1，1 解析：选 C.由题意知x10，x23x401x1. 2若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是( ) Af(x)g(x) Bf(x)g(x) Cf(x)0，故 f(x)g(x) 3不等式x2x32 的解集是( ) Ax|x8 或 x3 Bx|x8 或 x3 Cx|3x2 Dx|3x2 解析：选 B.原不等式可化为x2x320， 即x8x30， 即(x3)(x8)0 且 x3，解得：x8 或 x3. 4已知实数 x，y 满足 x2y21，则(1xy)(1xy)有( ) A最小值12和最大值 1 B最小值34和最大值 1 C最小值12和最大值34 D最小值 1 解析：选 B.因为 x2y2x2y22214，当且仅当 x2y212时，等号成立，所以(1xy)(1xy)1x2y234.因为 x2y20，所以341x2y21. 5若不等式4x1x20 的解集相同，则 a，b 的值分别为( ) A8，10 B4，9 C1，9 D1，2 解析： 选 B.因为不等式4x1x20 的解集为(2，14)，所以二次方程 ax2bx20 的两个根为2，14，所以2（14）ba2（14）2a，所以 a4，b9.故选 B. 6不等式组2（x3）10，x27x120的解集为( ) A4，3 B4，2 C3，2 D 解析：选 A. 2（x3）10，x27x120 x35，（x3）（x4）0 x2，4x34x3. 7某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A5 km 处 B4 km 处 C3 km 处 D2 km 处 解析：选 A.设车站到仓库距离为 x(x0)，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题意得 y1k1x，y2k2x，因为 x10 时，y12，y28，所以 k120，k245，所以费用之和为 yy1y220 x45x220 x45x8，当且仅当20 x4x5，即 x5 时取等号 8已知 x，y 满足约束条件xy0 xy40，y1则 z2xy 的最大值是( ) A1 B2 C5 D1 解析：选 A.作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点 A(1，1)处，z 取得最大值，故 zmax2111. 9已知 x0，y0.若2yx8xym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C2m4 D4m2 解析：选 D.因为 x0，y0，所以2yx8xy8(当且仅当2yx8xy时取“”)若2yx8xym22m 恒成立， 则 m22m8，解之得4m2. 10已知1xy4，且 2xy3，则 z2x3y 的取值范围是( ) A3，8 B3，6 C6，7 D4，5 解析：选 A.设 2x3y(xy)(xy)， 则()x()y2x3y， 所以2，3，解得12，52， 所以 z12(xy)52(xy) 因为1xy4， 所以212(xy)12. 因为 2xy3， 所以 552(xy)152. 得，312(xy)52(xy)8， 所以 z 的取值范围是3，8 11若不等式 x2ax10 对一切 x0，12恒成立，则实数 a 的最小值为( ) A0 B2 C52 D3 解析：选 C.因为不等式 x2ax10 对一切 x0，12恒成立，所以对一切 x0，12， axx21，即 ax21x恒成立 令 g(x)x21xx1x. 易知 g(x)x1x在0，12内为增函数所以当 x12时，g(x)max52，所以 a 的取值范围是52， ，即 a 的最小值是52.故选 C. 12已知 x，y 满足约束条件xy10，2xy30，若目标函数 zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到的最小值为 2 5，则 a2b2的最小值为( ) A5 B4 C. 5 D2 解析：选 B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)显然，当直线 zaxby 过点 A(2，1)时，z 取得最小值， 即 2 52ab， 所以 2 52ab， 所以 a2b2a2(2 52a)25a28 5a20.构造函数 m(a)5a28 5a20( 5a0)，利用二次函数求最值， 显然函数 m(a)5a28 5a20 的最小值是4520（8 5）2454， 即 a2b2的最小值为 4.故选 B. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13函数 y2x4x(x0)的值域为_ 解析：当 x0 时，y2x4x22x4x2.当且仅当 x4x，x2 时取等号 答案：(，2 14 若不等式 x24xm0 的解集为空集， 则不等式 x2(m3)x3m0 的解集是_ 解析：由题意，知方程 x24xm0 的判别式 (4)24m0，解得 m4，又 x2(m3)x3m0 等价于(x3)(xm)0， 所以 3xm. 答案：(3，m) 15已知 O 是坐标原点，点 A(1，1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2x1y2内的一个动点，则OA OM的取值范围是_ 解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，因为OA(1，1)，OM(x，y)，所以OA OMxy.取目标函数 zxy，则 yxz.作斜率为 1 的一族平行线，当直线经过点 C(1，1)时，z 取最小值，即 zmin110； 当直线经过点 B(0， 2)时， z 取最大值， 即 zmax022， 于是 0z2，即OA OM的取值范围是0，2 答案：0，2 16已知实数 a，b，c 满足 abc0，a2b2c21，则 a 的最大值是_ 解析：因为 abc0，所以 bca. 因为 a2b2c21， 所以a21b2c2(bc)22bca22bc， 所以 2a212bcb2c21a2， 所以 3a22，所以 a223，所以63a63. 所以 amax63. 答案：63 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)x22x，解不等式 f(x)f(x1)2x1. 解：由题意可得 x22x(x1)22x12x1， 化简得2x（x1）0，即 x(x1)0， 解得 0 x1. 所以原不等式的解集为x|0 x1 18(本小题满分 12 分)正数 x，y 满足1x9y1. (1)求 xy 的最小值； (2)求 x2y 的最小值 解：(1)由 11x9y21x9y得 xy36，当且仅当1x9y，即 y9x18 时取等号，故 xy 的最小值为 36. (2)由题意可得 x2y(x2y)1x9y192yx9xy1922yx9xy196 2，当且仅当2yx9xy，即 9x22y2时取等号，故 x2y 的最小值为 196 2. 19(本小题满分 12 分)已知 x、y、z 是实数，a、 b、c 是正实数， 求证：bcax2acby2abcz22(xyyzxz) 证明：法一：bcax2acby2abcz22(xyyzxz)bax22xyaby2cax22xzacz2cby22yzbcz2baxaby2caxacz2 cbybcz20. 所以bcax2acby2abcz22(xyyzxz)成立 当且仅当 abc 时等号成立 法二：bcax2acby2abcz2bax2aby2cax2acz2cby2bcz22baabxy2caacxz2cbbcyz2(xyyzxz)当且仅当 abc 时等号成立 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x22x8，g(x)2x24x16. (1)求不等式 g(x)2，均有 f(x)(m2)xm15 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)g(x)2x24x160， 所以(2x4)(x4)0，所以2x4， 所以不等式 g(x)0 的解集为x|2x2 时，f(x)(m2)xm15 恒成立， 所以 x22x8(m2)xm15， 则 x24x7m(x1) 所以对一切 x2，均有不等式x24x7x1m 成立 又x24x7x1(x1)4x12 2（x1）4x122(当 x3 时等号成立) 所以实数 m 的取值范围是(，2 21(本小题满分 12 分)一个农民有田 2 亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400 千克；若种花生，则每亩每期产量为 100 千克，但水稻成本较高，每亩每期需 240 元，而花生只要 80 元，且花生每千克可卖 5 元，稻米每千克只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？ 解：设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则由题意得 xy2，240 x80y400，x0，y0. 即xy2，3xy5，x0，y0， 画出可行域如图阴影部分所示 而利润 P(3400240)x(510080)y 960 x420y(目标函数)， 可联立xy2，3xy5，得交点 B(1.5，0.5) 故当 x1.5，y0.5 时， P最大值9601.54200.51 650， 即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大 22(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR)满足：对任意实数 x，都有 f(x)x，且当 x(1，3)时，有 f(x)18(x2)2成立 (1)证明：f(2)2； (2)若 f(2)0，求 f(x)的表达式； (3)设 g(x)f(x)m2x，x0，)，若 g(x)图像上的点都位于直线 y14的上方，求实数 m的取值范围 解：(1)证明：由条件知：f(2)4a2bc2 恒成立 又因取 x2 时，f(2)4a2bc18(22)22 恒成立，所以 f(2)2. (2)因为4a2bc2，4a2bc0，所以 4ac2b1. 所以 b12，c14a. 又 f(x)x 恒成立，即 ax2(b1)xc0 恒成立 所以 a0，12124a(14a)0， 解得：a18，c12.所以 f(x)18x212x12. (3)g(x)18x212m2x1214，在 x0，)上恒成立 即 x24(1m)x20 在 x0，)上恒成立， 0，即4(1m)280. 解得：122m122. 0，2（1m）0，f（0）0.解得：m122， 综上 m，122.