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精品资料5.2等差数列及其前n项和1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7 等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最小值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()2 设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20C22 D24答案B解析因为S10S11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3 (2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4 (2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.5 在等差数列an中，S150，S160成立的n的最大值为_答案8解析S15a1a2a1515a80，a80，S160，a1a16a8a90，a90成立的n的最大值为8.题型一等差数列的基本运算例1在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值思维启迪等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法(1)若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12 B13 C14 D15(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于()A16 B24 C36 D48(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由题意得S55a325，故a35，公差da3a22，a7a25d35213.(2)S426d20，d3，故S6315d48.(3)Sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.题型二等差数列的性质及应用例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 013等于()A2 013 B2 013 C4 026 D4 026思维启迪(1)根据S3，S6S3，S9S6为等差数列解此题；(2)利用a1ana2an1a3an2求n；(3)数列为等差数列答案(1)B(2)A(3)C解析(1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.(2)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列又6d6，d1.故2 012d2 0142 0122，S2 01322 0134 026，故选C.思维升华在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具(1)设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7等于()A14 B21 C28 D35(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案(1)C(2)60解析(1)a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.题型三等差数列的前n项和及其最值例3(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和思维启迪(1)由a120及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解(1)方法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130，即当n12时，an0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n0，a710 Ba2a1000，a10a110，a10a110可知d0，a110，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60，故选C.二、填空题6 (2013广东)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.7 Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.答案1解析由题意知解得a5a4d1(2)1.8 已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.答案解析由已知(101)134，a10.三、解答题9 已知等差数列an中，a28，前10项和S10185.求数列an的通项公式an.解设数列an的公差为d，因为a28，S10185，所以，解得，所以an5(n1)33n2，即an3n2.10设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.解(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nN*，当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19 C20 D21答案B解析0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19.2 设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.3 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升答案解析设所构成数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得a5a14d4.4 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.5 (2012湖北)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，Sn
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