五年高考真题高考数学 复习 第九章 第三节 椭圆及其性质 理全国通用

第三节第三节椭圆及其性质椭圆及其性质考点一椭圆的定义及其方程1(20 xx大纲全国，6)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为 4 3，则C的方程为()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y241解析由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4 3，a 3.又e33，c1.b2a2c22，椭圆的方程为x23y221，故选 A.答案A2(20 xx新课标全国，10)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b20，即b2a2（y1y2） （y1y2）（x1x2） （x1x2），AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而y1y2x1x2kAB0（1）3112，b2a212.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为x218y291，故选 D.答案D3(20 xx大纲全国，3)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为()A.x216y2121B.x212y281C.x28y241D.x212y241解析2c4，c2.又a2c4，a28，b2a2c24.椭圆方程为x28y241，故选 C.答案C4(20 xx山东，10)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C的方程为()A.x28y221B.x212y261C.x216y241D.x220y251解析双曲线x2y21 的渐近线为yx，与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为 16，可得四边形为正方形，其边长为 4，双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2，2)，所以有4a24b21，又因为eca32，a2b2c2，联立解方程组得a220，b25，故选 D.答案D5(20 xx辽宁，15)已知椭圆C：x29y241，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_解析设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.答案126(20 xx安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b|AH|，仅当F1与H重合时，|AF1|AH|，当m1 时，AFB的周长最大，此时SFAB122|AB|3.答案38(20 xx重庆，21)如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故a2.设 椭 圆 的 半 焦 距 为c， 由 已 知PF1PF2， 因 此 2c |F1F2| |PF1|2|PF2|2（2 2）2（2 2）22 3，即c 3，即c 3，从而ba2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)法一如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则x20a2y20b21，x20y20c2，求得x0aca22b2，y0b2c.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|2a a22b2cc2b4c2.2(a2b2)2a a22b2(aa22b2)2.由椭圆的定义， |PF1|PF2|2a， |QF1|QF2|2a， 从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1| 2|PF1|，因此，(2 2)|PF1|4a，即(2 2)(aa22b2)4a，于是(2 2)(1 2e21)4，解得e12142 212 6 3.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1| 2|PF1|，因此，4a2|PF1| 2|PF1|，得|PF1|2(2 2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2 2)a2( 21)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此eca|PF1|2|PF2|22a （2 2）2（ 21）2 96 2 6 3.9(20 xx福建，18)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)过点(0，2)，且离心率e22.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR R)交椭圆E于A，B两点，判断点G94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解法一(1)由已知得，b 2，ca22，a2b2c2.解得a2，b 2，c 2.所以椭圆E的方程为x24y221.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)xmy1，x24y221得(m22)y22my30.所以y1y22mm22，y1y23m22，从而y0mm22.所以|GH|2x0942y20my0542y20(m21)y2052my02516.|AB|24（x1x2）2（y1y2）24（1m2） （y1y2）24（1m2）（y1y2）24y1y24(1m2)(y20y1y2)，故|GH|2|AB|2452my0(1m2)y1y225165m22（m22）3（1m2）m22251617m2216（m22）0，所以|GH|AB|2.故点G94，0在以AB为直径的圆外法二(1)同法一(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GAx194，y1，GBx294，y2.由xmy1，x24y221得(m22)y22my30，所以y1y22mm22，y1y23m22，从而GAGBx194x294 y1y2my154my254 y1y2(m21)y1y254m(y1y2)25163（m21）m2252m2m22251617m2216（m22）0，所以 cosGA，GB0.又GA，GB不共线，所以AGB为锐角故点G94，0在以AB为直径的圆外考点二椭圆的几何性质1(20 xx浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：x24y21 与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. 2B. 3C.32D.62解析椭圆C1中，|AF1|AF2|4，|F1F2|2 3.又因为四边形AF1BF2为矩形，所以F1AF290.所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，所以|AF1|2 2，|AF2|2 2.所以在双曲线C2中，2c2 3，2a|AF2|AF1|2 2，故eca3262，故选 D.答案D2(20 xx新课标全国，4)设F1，F2是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P为直线x3a2上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析设直线x3a2与x轴交于点M，则PF2M60，在 RtPF2M中，PF2F1F22c，F2M3a2c，故 cos 60F2MPF232ac2c12，解得ca34，故离心率e34.答案C3(20 xx江西，15)过点M(1，1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b20，根据题意有x1x2212，y1y2212，且y1y2x1x212，所以2a22b212 0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得ca22，所以e22.答案224(20 xx福建，14)椭圆：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为 2c.若直线y 3(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析由直线y 3(xc)知其倾斜角为 60，由题意知MF1F260，则MF2F130，F1MF290.故|MF1|c，|MF2| 3c.又|MF1|MF2|2a，( 31)c2a，即e231 31.答案315(20 xx辽宁，15)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点， 连接AF，BF.若|AB|10， |AF|6， cosABF45， 则C的离心率e_.解析如图所示根据余弦定理|AF|2|BF|2|AB|22|AB|BF|cosABF，即|BF|216|BF|640，得|BF|8.又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e57.答案576(20 xx新课标全国，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率e22.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为 16，那么C的方程为_解析设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，因为AB过F1且A、B在椭圆上，则ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率eca22，c2 2，b2 2，椭圆的方程为x216y281.答案x216y2817(20 xx陕西，20)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离dbcb2c2bca，由d12c，得a2b2a2c2，解得离心率ca32.(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB| 10，易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28k（2k1）14k2，x1x24（2k1）24b214k2，由x1x24，得8k（2k1）14k24，解得k12，从而x1x282b2，于是|AB|1122|x1x2|52（x1x2）24x1x2 10（b22），由|AB| 10，得 10（b22） 10，解得b23，故椭圆E的方程为x212y231.法二由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2，依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB| 10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y214b2，x224y224b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kABy1y2x1x212，因此直线AB的方程为y12(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是|AB|1122|x1x2|52（x1x2）24x1x2 10（b22）.由|AB| 10，得 10（b22） 10，解得b23，故椭圆E的方程为x212y231.8(20 xx北京，19)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解(1)由题意得b1，ca22，a2b2c2解得a22，故椭圆C的方程为x22y21.设M(xM，0)因为m0，所以1n1.直线PA的方程为y1n1mx.所以xMm1n，即Mm1n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN，0)，则xNm1n.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM|OQ|OQ|ON|” ，即yQ满足y2Q|xM|xN|.因为xMm1n，xNm1n，m22n21.所以y2Q|xM|xN|m21n22.所以yQ 2或yQ 2.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，点Q的坐标为(0， 2)或(0， 2)