高考数学浙江理科一轮【第三章】导数及其应用 第三章 3.3

精品资料3.3两角和与差的正弦、余弦、正切1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C)cos()cos_cos_sin_sin_(C)sin()sin_cos_cos_sin_(S)sin()sin_cos_cos_sin_(S)tan()(T)tan()(T)2 二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T可变形为tan tan tan()(1tan_tan_)，tan tan 11.4 函数f(x)asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()(其中tan )或f()cos()(其中tan )1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(5)存在实数，使tan 22tan .()(6)当时，(1tan )(1tan )2.()2 (2013浙江)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A B C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2.化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.3 (2012江西)若，则tan 2等于()A B C D答案B解析由，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.4 (2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_答案解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.5 (2013课标全国)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.答案解析tan，tan ，即解得sin ，cos .sin cos .题型一三角函数式的化简与给角求值例1(1)化简：(0)(2)求值：sin 10(tan 5)思维启迪(1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分解(1)由(0，)，得00.因此 2cos .又(1sin cos )(sin cos )(2sin cos 2cos2)(sin cos )2cos (sin2cos2)2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10()sin 10sin 102cos 10.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值(1)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan tan tan tan 的值为_(2)的值是()A B C D答案(1)(2)C解析(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .(2)原式.题型二三角函数的给值求值、给值求角例2(1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值思维启迪(1)拆分角：，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦(2)2()；().解(1)0，0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.思维升华(1)解题中注意变角，如本题中()()；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好(1)若0，0，cos()，cos()，则cos()等于()A. B C. D(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于 ()A. B. C. D.答案(1)C(2)C解析(1)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()，0，则，sin().又0，则，则sin().故cos()cos()cos()cos()sin()sin()，故选C.(2)、均为锐角，.又sin()，cos().又sin ，cos ，sin sin()sin cos()cos sin()().题型三三角变换的简单应用例3已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求证：f()220.思维启迪(1)可将f(x)化成yAsin(x)的形式；(2)据已知条件确定，再代入f(x)求值(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，两式相加得2cos cos 0，0，f()224sin220.思维升华三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题(1)函数f(x)sin xcos(x)的最大值为()A2 B C1 D(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)C(2)解析(1)f(x)sin xcos cos xsin sin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.高考中的三角变换问题典例：(9分)(1)若tan 22，22，则_.(2)已知锐角，满足sin ，cos ，则等于()A B或C D2k(kZ)思维启迪(1)注意和差公式的逆用及变形；(2)可求的某一三角函数值，结合的范围求角解析(1)原式，又tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .22，.tan ，故所求32.(2)由sin ，cos 且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，又0，故.答案(1)32(2)C温馨提醒三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解.方法与技巧1 巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期由yasin bcos sin()(其中tan )有|y|.3 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形失误与防范1 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2 在(0，)范围内，sin()所对应的角不是唯一的3 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 若，sin 2，则sin 等于()A. B. C. D.答案D解析由sin 2和sin2cos21得(sin cos )21()2，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .2 已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.答案C解析因为，所以()，所以tantan.3 (2013重庆)4cos 50tan 40等于()A. B. C. D21答案C解析4cos 50tan 40.4 若tan ，(，)，则sin(2)的值为()A B. C. D.答案A解析由tan 得，sin 2.(，)，2(，)，cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2sin ().5 在ABC中，tan Atan Btan Atan B，则C等于()A. B. C. D.答案A解析由已知可得tan Atan B(tan Atan B1)，tan(AB)，又0AB，AB，C.二、填空题6 若sin()，则cos 2_.答案解析sin()cos ，cos 22cos212()21.7 若20，25，则(1tan )(1tan )的值为_答案2解析由tan()tan 451可得tan tan tan tan 1，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2.8 _.答案4解析原式4.三、解答题9 已知tan ，cos ，(，)，(0，)，求tan()的值，并求出的值解由cos ，(0，)，得sin ，tan 2.tan()1.(，)，(0，)，.10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以，故.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知tan()，且0，则等于()A B C D.答案A解析由tan()，得tan .又0，所以sin .故2sin .2 定义运算adbc，若cos ，0，则等于()A. B. C. D.答案D解析依题意有sin cos cos sin sin()，又0，00.tan x2.(当tan x，即x时取等号)即函数的最小值为.4 已知tan()，tan().(1)求tan()的值；(2)求tan 的值解(1)tan()，tan .tan().(2)tan tan().5 已知函数f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值解(1)由T10得.(2)由得整理得，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .