全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析

（全国卷） 2019 年高考数学压轴卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 AxZ 4x0 ， Bx 12 x4，则 AB （）x24A x1x2B1,0,1,2C2,1,0,1,2D0,1,22已知 a 是实数， ai 是纯虚数，则 a 等于（）1iA2B 1C2D 13“ a0 ”是“函数f ( x)|( ax1)x | 在区间 (0,) 内单调递增”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知双曲线x2y2C : a2b21 a 0,b0的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（）A 2B 3C 5D525若 2m2n1 ，则（）A 11B log 1 m logmn26已知平面向量a ， b，满足 aA 2B 312nC ln mn0Dm n11,3 ， b3 ， aa2b ，则 ab（）C 4D 67执行右边的程序框图，输出的S ln 2018 , 则 m 的值为（）A 2017B 2018C 2019D 20208据统计，连续熬夜 48 小时诱发心脏病的概率为0055 ，连续熬夜 72 小时诱发心脏病的概率为019 ，现有一人已连续熬夜 48 小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24 小时不开始i 1，S0im？否是输出 Si 1 1SS i x dx结束ii 1诱发心脏病的概率为（）A 6B 3C 11D019735359已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1 / 14A1B1C1D133361212410将 fx2sin2 x2cos2x1 的图像向左平移个单位，再向下平移1 个单位，4得到函数 ygx的图像，则下列关于函数 yg x的说法错误的是（）A函数 ygx的最小正周期是B函数 ygx的一条对称轴是x8C函数 ygx的一个零点是 38D函数 ygx在区间,5 上单调递减12811焦点为 F 的抛物线 C : y28 x 的准线与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，则当MA取得最大值时，直线MA 的方程为（）MFA y x 2 或 yx 2B y x 2C y 2 x 2 或 y2 x 2D y2x 212 定 义 在 R 上 的 函 数 fx 满 足 f x 22 f x ， 且 当 x2 , 4 时 ，x24 x,2x3f xx22 ,3x，g xax 1，对x12,0， x22,1 使得 g x2f x1 ，x4则实数 a 的取值范围为（）A,11B118,00,848C 0,8D,11,48二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分2 / 1413已知f( )lg(1x2)sinx1 若 f ()1f ()则xx2x31n14在 x 1的展开式中， 各项系数之和为256，则 x 项的系数是 _ xyx3xy 的最大值为15. 知变量 x ， y 满足条件 xy2 ，则目标函数zy3x6x2y216如图，在ABC中，sinABC3DACAD43，点在线段上，且，232DC BD3则 ABC 的面积的最大值为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）已知公差不为零的等差数列an和等比数列bn满足： a1b13 ， b2a4 ，且 a1 ， a4 ， a13 成等比数列（ 1）求数列an和 bn的通项公式；（ 2）令 cnan，求数列cn 的前 n 项和 Sn bn18（本小题满分12 分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150 内，其频率分布直方图如图3 / 14（ 1）求获得复赛资格的人数；（ 2）从初赛得分在区间110,150 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7 人参加学校座谈交流，那么从得分在区间110,130 与 130,150 各抽取多少人？（ 3）从（ 2）抽取的 7 人中，选出 3 人参加全市座谈交流，设 X 表示得分在区间130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望EX 19（本小题满分12 分）如图，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD ，AF / / DE ，DE3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60 （ 1）求证： AC 平面 BDE ；（ 2）求二面角 F BE D 的余弦值20（本小题满分12 分）过抛物线 x22 py ( p0)的焦点 F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为 B ，点 A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AFFB ， ABC 的面积为 8 3 （ 1）求抛物线的标准方程；（ 2）过焦点 F 的直线与抛物线交于 M ， N 两点，抛物线在M ， N 点处的切线分别为l1 ， l2 ，且 l1 与 l2 相交于 P 点， l1 与 x 轴交于 Q 点，求证： FQ l 2 21（本小题满分12 分）设函数 f xxlnx1x2 （ 1）探究函数 fx的单调性；（ 2）若 x0 时，恒有 fxax3 ，试求 a 的取值范围；请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.( 本小题满分10 分）【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2y24 x6 y12 0 在以坐标原点为极4 / 14点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin24（ 1）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A ， B ， P 为圆 C 上的任意一点，求PA PB的取值范围23（本小题满分 10 分）【选修 4-5 ：不等式选讲】设函数 f x2x1 （ 1）设 f xfx 15 的解集为 A ，求集合 A ；（ 2）已知 m 为（ 1）中集合 A 中的最大整数，且 a b cm （其中 a ， b ， c 为正实数），求证： 1 a1b 1 c8 abc2019 全国卷高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】 B【解析】 集合 AxZ 4x0x Z2x41,0,1,2,3,4，x21x 4x2x 2，则 AB1,0,1,2，故选 BBx42【答案】 D【解析】 ai 是纯虚数， ai = a1+(a +1)i ，则要求实部为 0，即 a1故选 D1i1i23【答案】 C【解析】 当 a 0时， f ( x)| (ax1)x | | x |在区间 (0,) 上单调递增；当a 0时，结合函数 f ( x) | (ax1)x | | ax2x |的图像知函数在(0,) 上单调递增，如图1-7(a)所示；当 a0 时，结合函数 f ( x)| ( ax1)x | | ax 2x | 的图像知函数在 (0,)上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示 . 所以要使函数f (x)| (ax 1)x | 在 (0,) 上单调递5 / 14增，只需 a 0，即“ a0”是“函数f (x)| (ax1) x | 在区间 (0,) 内单调递增”的充要条件 . 故选 C.4【答案】 C【解析】 由题意可设双曲线 C 的右焦点 Fc,0，渐进线的方程为ybx ，a可得 dbcb2 a ，可得 ca2b 25a ，可得离心率 ec5 ，故选 Ca2b2a5【答案】 D【解析】 因为2m2n1 ，所以由指数函数的单调性可得m n0 ，因为 m n0，所以可排除选项 A ， B ；m3 ， n1时，可排除选项 C ，2由指数函数的性质可判断6【答案】 Bm n1 正确，故选D【解析】由题意可得： a1 3 2 ，且：aa2b0 ，即a22a b0 ，0，4 2a ba b 2，由平面向量模的计算公式可得：aba249 43 故选 Bb7【答案】 B【解析】 第 一 次 循 环 ， Sln 2,i2Sln 231dxln 2ln3ln 3, i3第二次循环，x 22x第三次循环， Sln 34 1ln 24ln 4, i4dxln x 33x第四次循环，51dx5S ln 4ln 4 ln xln 5, i 5 推 理 可 得44x开始i 1，S0im？否是输出 Si 1 1SS i x dx结束ii 1m=2018，故选 B8【答案】 A【解析】 设事件 A 为48 h 发病，事件 B 为 72 h 发病，由题意可知： P A0055 ， P B019 ，则 P A0945， P B081 ，P ABP B6由条件概率公式可得：P B | A0 81故选 AP AP A70 9459【答案】 C6 / 14【解析】 观察三视图可知，几何体是一个圆锥的1 与三棱锥的组合体， 其中圆锥的底面4半径为 1，高为 1 三棱锥的底面是两直角边分别为1， 2 的直角三角形，高为1 则几何体的体积V11 121111211 故本题答案选C343212310【答案】 D【解析】 由题意可知：fx2sin2x2cos212sin2x1，x4图像向左平移个单位，再向下平移1 个单位的函数解析式为：4gx2sin2x1 12sin2 x 444则函数 g x的最小正周期为T2 ， A 选项说法正确；2当 x2x gx的一条对称轴是 x时，4，函数 y8， B 选项说法正确；82当 x3，函数 y gx的一个零点是3时， 2x4， C 选项说法正确；88若 x 5 5 3，函数 yg x在区间 5上不单调，,8，则 2 x,12,1241228D选项说法错误；故选D11【答案】 A【解析】过 M 作 MP 与准线垂直， 垂足为 P ，则MAMA11，则当MAMFMPcos AMPMFcos MAF取得最大值时，MAF 必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为y k x 2 与 y28x联立，消去 y 得 ky28 y16k0，所以64 64k20 ，得 k1 则直线方程为yx 2 或 yx 2 故本题答案选A7 / 1412【答案】 D【解析】 因为 f x 在 2,3上单调递减，在3,4上单调递增，所以 fx在 2,3上的值域是 3,4，在 3,4上的值域是11,9 ，32所以函数 f x在2,4上的值域是3,9，2因为 fx22 fx，所以 fx1x214 ，ff x24所以 fx在2,0上的值域是3,9，48当 a0时， gx为增函数， gx在2,1上的值域为2a1,a1 ，32a141 ；所以，解得 a9a 188当 a0时， gx为减函数， gx在2,1上的值域为a 1,2a1 ，3a 141所以，解得 a9，2a148当 a0时， gx为常函数，值域为1 ，不符合题意，综上， a 的范围是11，故选 D,48二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13 【答案】 32【解析】 解析：因为( )lg(12)sin1 的定义域为 R, 关于原点对称，fxxxxf ( ) f ( ) lg(1 x2x)sin x1lg(1 x2x) sin（ x） 1 28 / 14故 f ()12 则 f ()32214【答案】 71n【解析】 令 x1 可得各项系数和：1113256，据此可得： n7 ，117rr 217x3展开式的通项公式为：Tr 1r37 r1rxC7xxC7 x2 ，令 217 r0 可得： r6，令 217 r1 可得： r40 ，不是整数解，227据此可得： x 项的系数是C767 15. 【答案】 3【解析】yx作出xy2，表示的可行域，如图y3x6变形目标函数，3 xy23,1x, y2cos，z222xy22231xy其中为向量 a3,1与 bx, y的夹角，由图可知，b2,0时有最小值，6bx, y 在直线 yx 上时，有最大值45 ，即65，5，61212612目标函数 z3xy的最大值为3 ，故选 Cx2y216【答案】 32【解析】 由 sinABC3 可得： cosABC6 ，2323则 sinABC2sinABCcosABC22 223由 sinABC32 可知：ABC45 ，则ABC90 ，2322由同角三角函数基本关系可知：cosABC1 3设 ABx ， BCy ， AC 3 z x0, y 0, z 0 ，9 / 14162z2x2在 ABD 中由余弦定理可得：cosBDA343，22 z316z2y2在 CBD 中由余弦定理可得：cosBDC343，2z3由于BDABDC180，故 cosBDAcosBDC ，162 z2x216z2y2即： 343343，整理可得：166 z2x22 y20 232z23z在 ABC 中，由余弦定理可知：x2y22 xy122x22y24xy ，3z，则： 6z23339代入式整理计算可得：12424xy16，xy933由均值不等式的结论可得：1621x24y24xy16xy ，3399故 xy9 ，当且仅当 x332 时等号成立， 据此可知 ABC 面积的最大值为：2 ， y2Smax1ABBC maxsinABC192232223三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）【答案】（ 1） an32n12n1 ， bn3n ；（ 2） Sn2nn2 3【解析】（ 1）设 an的公差为 d ，则由已知得 a1 a13a42 ，即 3 3 12d32，解之得： d2 或 d0 （舍），所以 an32 n12n1 ；3d因为 b2a49 ，所以bn的公比 q3 ，所以 bn3n （ 2）由（ 1）可知 cn2n1 ，3n所以 Sn357 2n 1， 3Sn357 2 n1，332333n3323n 11 112 n 121112n 12 n 4所以2 Sn32333n 14，3323n 13n13n3n1310 / 14所以 Sn 2n 23n18. （本小题满分 12 分）【答案】（ 1） 520 人；（ 2） 5 人， 2 人；（ 3） E X6 7【解析】（ 1）由题意知90,110之间的频率为：1200.00250.0050.007520.01250.3 ，0.30.01250.0050200.65 ，获得参赛资格的人数为8000.65 520人（ 2）在区间 110,130与 130,150 ， 0.0125:0.00505: 2，在区间110,150 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7 人，分在区间 110,130与130,150各抽取 5 人， 2 人结果是5 人， 2 人（ 3） X 的可能取值为0， 1， 2，则：P X 0C53 C022C52C124C15 C221C73； P X 1； P X 2C37；7C7377故 X 的分布列为：X012P241777EX0214216 777719（本小题满分12 分）【答案】（ 1）见解析（ 2）1313（ 1）证明：DE平面 ABCD ， AC平面 ABCD ， DE AC ，又底面 ABCD 是正方形， ACBD BD DE D ， AC平面 BDE （ 2）解： DA ， DC ， DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ， BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ，即 DBE 60 ，11 / 14 ED3 ，DB由 AD3 ，可知 BD3 2 ，DE3 6 ，AF6 则 A(3,0,0)，F (3,0, 6)，E(0,0,36) ，B(3,3,0) ，C (0,3,0) ， BF(0,3,6) ， EF(3,0, 26) 设平面 BEF 的一个法向量为 n( x, y, z) ，nBF0,3y6z0,则即nEF0,3x 26z0,令 z6 ，则 n(4, 2,6) AC平面 BDE ， CA 为平面 BDE 的一个法向量， CA (3, 3,0) ， cos n,CA| n CA |613 | n | | CA| 32 2613二面角 FBED 为锐角，二面角 FBED 的余弦值为13 1320. （本小题满分 12 分）【答案】（ 1） x24 y ；（ 2）证明见解析【解析】（ 1）因为 AFFB ，所以 F 到准线的距离即为三角形ABC 的中位线的长，所以 AC2 p ，根据抛物线的定义ACAF ，所以 AB2 AC4 p ，221，BC4 p2 p2 3p ， 2 p 23 p8 3S ABC2解得 p2 ，所以抛物线的标准方程为x24 y （ 2）易知直线 MN 的斜率存在，设直线MN : ykx1 ，设 Mx1, y1 ， Nx2 , y2联立x24 y消去 y 得 x24kx 40，得 x1x24 ，ykx1yx2 ， y x ，设 M x1 , y1， N x2 , y2 ， l1 : 2 y2 y1 xx1 ， l 2 : 2 y 2 y2xx2 ，4212 / 142x22x1222 y2y144x2x1x2x1x2 x1xp,2 yp2x1x , yp1，x2x1x2x124414得 P 点坐标 Px2x1 , 1，由 l: 2y 2 yxx ，得 Qx1 ,0 ，21112k2， kx2412 ，所以kQFkl，即 PQlQFx1l22x12x12221. （本小题满分 12 分）【答案】（ 1）增函数；（ 2）1 ,；（ 3）见解析6【解析】（ 1）函数fx的定义域为R 由 f x110 ，知 fx 是实数集 R 上的增函数1x2（ 2）令 g xfxax3x ln x1 x 2ax3 ，则 g x1x213ax2112，