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精编北师大版数学资料第一课时离散型随机变量的均值 求离散型随机变量的均值例1(重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.思路点拨(1)利用古典概型结合计数原理直接求解(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值精解详析设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i0,1,2,3)与Bj(j0,1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上知，X的分布列为X01050200P从而有EX010502004(元)一点通求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EXx1p1x2p2xnpn，求出均值1(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望EX()A.B2C. D3解析：EX123.答案：A2某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型ABABO人数8732(1)现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；(2)现有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX.解：(1)从20人中选出两人的方法数为C190，选出两人同血型的方法数为CCCC53，故两人血型相同的概率是.(2)X的取值为0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PEX012.二项分布及超几何分布的均值例2甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求(1)X的概率分布；(2)X和Y的数学期望思路点拨甲、乙击中目标的次数均服从二项分布精解详析(1)P(X0)C3，P(X1)C3，P(X2)C3，P(X3)C3.所以X的概率分布如下表：X0123P(2)由题意XB，YB，EX31.5，EY32.一点通如果随机变量X服从二项分布即XB(n，p)，则EXnp；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EXn，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程3若随机变量XB，EX2，则P(X1)等于_解析：由XBEXn2，n4，P(X1)C13.答案：4袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为_解析：由题意知随机变量X服从N7，M4，n3的超几何分布，则EX3.答案：5(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望EX.解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知EX3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).数学期望的实际应用例3某商场准备在“五一”期间举行促销活动根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？思路点拨(1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解精解详析(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)1.即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X0,1,2,3，于是P(X0)，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)，顾客中奖的数学期望EX01231.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x180，解得x120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本(12分)一点通处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值6(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知P(E)，P()，P(F)，P().且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X0)P( )，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的X分布列为X0100120220P数学期望为E(X)0100120220140.7某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值)解：不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E14000.3120(万元)；若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.90.1，损失期望值为E24000.140(万元)，所以总费用为454085(万元)；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.850.15，损失期望值为E34000.1560(万元)，所以总费用为306090(万元)；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为453075(万元)，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失期望值为E44000.0156(万元)，所以总费用为75681(万元)综合，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少1求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值(2)计算随机变量取每一个值对应的概率(3)写出分布列，求出数学期望2离散型随机变量均值的性质Ecc(c为常数)；E(aXb)aEXb(a，b为常数)；E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b为常数) 1一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为()A0.8B0.83C3 D2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即XB(3,0.8)，EX30.82.4.答案：D2已知离散型随机变量X的概率分布如下：X012P0.33k4k随机变量Y2X1，则Y的数学期望为()A1.1 B3.2C11k D33k1解析：由题意知，0.33k4k1，k0.1.EX00.310.320.41.1，EYE(2X1)2EX12.213.2.答案：B3口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX()A4 B5C4.5 D4.75解析：X的取值为5,4,3.P(X5)，P(X4)，P(X3).EX5434.5.答案：C4(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX()A. B.C. D.解析：由题意知X可能为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0123，故选B.答案：B5设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为_解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N10，M3，n2.EXn2.答案：6某射手射击所得环数X的分布列如下X78910Px0.10.3y已知EX8.9，则y的值为_解析：由解得y0.4.答案：0.47某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品表一 工序概率产品第一道工序第二道工序甲0.80.85乙0.750.8表二 等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值解：(1)P甲0.80.850.68，P乙0.750.80.6.(2)随机变量X，Y的分布列是X52.5P0.680.32Y2.51.5P0.60.4EX50.682.50.324.2，EY2.50.61.50.42.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元8(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望解：(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列为X0123P所以EX0123.
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