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（人教版）精品数学教学资料重点列表：重点名称重要指数重点1相关关系的判断重点2线性回归方程有关概念重点3散点图重点详解：1变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是_；与函数关系不同，相关关系是一种_关系，带有随机性2两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有_，这条直线叫_(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为_；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为_. (3)相关系数r，当r0时，表示两个变量正相关；当r0时，表示两个变量负相关r的绝对值越接近_，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近_，表示两个变量的线性相关性越弱通常当r的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系3回归直线方程(1)通过求Q的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做_该式取最小值时的，的值即分别为，.(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为，则【答案】1相关关系非确定性2(1)线性相关关系回归直线(2)正相关负相关(3)103最小二乘法重点1：相关关系的判断【要点解读】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系【考向1】确定性关系与随机关系【例题】下列变量之间的关系不是相关关系的是()A已知二次函数yax2bxc，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式b24acB光照时间和果树亩产量C降雪量和交通事故发生率D每亩施用肥料量和粮食亩产量解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中b24ac，因为a，c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的与之对应，所以与b之间是一种确定的关系，是函数关系B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系故选A.【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的重点2：线性回归方程有关概念【要点解读】样本中心点一定在回归直线上【考向1】样本中心点【例题】为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是()A直线l1和l2一定有公共点(s，t)B直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C必有直线l1l2D直线l1和l2必定重合【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，)；中心相同的样本点的回归方程不一定相同【考向2】线性回归直线的理解【例题】由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到回归直线方程，那么下面说法错误的是()A直线必经过点(，)B直线至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点C直线的斜率D直线和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的重点3：散点图【要点解读】根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型【考向1】正相关与负相关【例题】(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1，2，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1，2，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A变量x与y正相关，u与v正相关B变量x与y正相关，u与v负相关C变量x与y负相关，u与v正相关D变量x与y负相关，u与v负相关解：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)：施化肥量15 20253035 4045水稻产量 320 330 360 410 460 470 480()将上述数据制成散点图；()你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解：()散点图如下：()从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系【考向2】散点图的画法及相关关系识别【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为_(正相关记作；负相关记作；不相关记作)(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，)，并作了统计：年平均气温12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432()试画出散点图；()判断两个变量是否具有线性相关关系解：()作出散点图如图所示()由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系难点列表：难点名称难度指数难点1求回归方程及用回归方程进行估计难点2复数的模与共轭复数难点详解：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数：公式有两种形式，根据题目具体情况灵活选用；(3)求：；(4)写出回归直线方程说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求.难点1：求回归方程及用回归方程进行估计【要点解读】(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误【考向1】求线性回归方程【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值32.5435464.566.5)解：(1)散点图如下：(2)由系数公式可知，4.5，3.5，0.7，3.50.74.50.35，所以线性回归方程为0.7x0.35.(3)x100时，0.7x0.3570.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，;(3)代入公式求，再利用求，（4）写出回归方程.【考向2】利用线性回归方程进行预测【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得=80, =20,=184,=720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程ybxa中，b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为x.解：(1)由题意知n10，8，2，又- n2 =720 -1082=80，-n184108224，由此得b0.3，ab20.380.4，故所求回归方程为y0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元)难点2：非线性相关转化为线性相关【要点解读】通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关【考向1】非线性相关转化为线性相关【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为解题指导切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程y w563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大【趁热打铁】1两个变量成负相关关系时，散点图的特征是()A点分布在从左下角到右上角的区域B散点图在某方形区域内C散点图在某圆形区域内D点分布在从左上角到右下角的区域2对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()A都可以分析出两个变量的关系B都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值C都可以作出散点图D都可以用确定的表达式表示两者的关系3下列命题：任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究其中正确的命题为()A B C D4对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()Ar2r40r3r1 Br4r20r1r3Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r35某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x1020304050加工时间y(min)62&758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为()A67 B68 C69 D706变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()Ar2r10 B0r2r1Cr20r1 Dr2r17某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.2xa，则a_8某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.9假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知=90，112.3.(1)求，；(2)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？10某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人；(2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395根据上表数据用散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由第四章1解：正确的只有D选项故选D.2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论故选C.4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r2r40r3r1，故选A.5解：(1020304050)30，由于0.67x54.9必过点(，)，0.673054.975，因此图表中的模糊数据为755(62758189)68.故选B.6解：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，故r20r1.故选C.7解：价格的平均数10，销售量的平均数8，由3.2xa知b3.2，所以ab83.21040.故填40.8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：父亲的身高(x)173170176儿子的身高(y)170176182173，176，1，1761733.回归直线方程为x3，从而可预测他孙子的身高为1823185(cm)故填185.10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生153(人)，选女生255(人)(2)以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标作散点图如图所示从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关设y与x的线性回归方程是bxa，根据所给的数据，可以计算出0.65，34.5，所以y与x的回归方程是0.65x34.5.
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