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专题10 立体几何一选择题10 1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）A.K BHCGDB【答案】C2. 【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】关于直线与平面，有以下四个命题： 若且，则；若且，则；若且，则；若且，则；其中真命题的序号是 ( )A B C D【答案】D.【解析】试题分析：用排除法可得选D.3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是（）1 23 4【答案】DABCDA1B1C1D14.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )俯视图侧视图2正视图第4题图4242A B C D5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由柱体和台体的体积公式可知选C6.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 二填空题1.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系（其中轴与y轴重合）所在的平面，（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为（）已知平面内的曲线C/的方程是，则曲线C/在平面内的射影C的方程是 【答案】【解析】试题分析：设平面内的点在平面内的射影为，则，故在平面内的射影P的坐标为；另：由得，即.三解答题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.【解析】解法1：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），解法2：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为.（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=.（）求证：平面VAB平面VCD；（）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.ADBCHV解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，ADBCVxyz解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标即直线与平面所成角的取值范围为ADBCVxyADBCVxyz（）设直线与平面所成的角为，4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为的大小关系，并予以证明.【解析】（）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.所以于是由cb，得即又所以5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值18.【解析】（）证法1：如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. . 0， . 由于，解得，即为所求。6.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图， 在四面体ABOC中, , 且（）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。 （）连接 ，由，知：.又， 又由，。 是在平面内的射影。在等腰中，为的中点，根据三垂线定理，知： 7.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】如图，已知正三棱柱的各棱长是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点C重合 （）当CF=1时，求证：; （）设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图1，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在DABCACDB图2图1ME.棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小【解析】解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是设与平面所成角的大小为，则由，可得，即故与平面所成角的大小为 解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长至P点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点。（I）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（II）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：。第19题图【解析】(1)解：直线l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l平面PAC.(2)证明：(综合法)如图1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且lAC.因为AB是O的直径，图1即sin sin sin .(向量法)如图2，由，作DQCP，且.图2故sin sin sin ，即sin sin sin .10. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（I）当时，证明：直线平面；（II）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】几何法：（I）证明：如图1，连结，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故平面.（II）如图2，连结，因为、分别是、的中点，由得，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.向量法：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，由已知得，所以，（I）证明：当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.（II）设平面的一个法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直，二面角.11. 【2015高考湖北，理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值【答案】（）详见解析；（）.（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.
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