新教材高中数学北师大版选修21练习：第二章5 夹角的计算 1 Word版含解析

（新教材）北师大版精品数学资料基础达标1.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是 a(0， 2， 1)， b( 2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90B60C45D30解析：选 D.cosa，bab|a|b|3 55 1232，a，b30.2.平面的一个法向量为 n1(4，3，0)，平面的一个法向量为 n2(0，3，4)，则平面与平面夹角的余弦值为()A925B925C.725D以上都不对解析：选 B.cosn1，n2n1n2|n1|n2|925，平面与平面夹角的余弦值为925.3.如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱 ABCA1B1C1，已知 AB1，点 D 在 BB1上，且 BD1，则 AD 与侧面 AA1C1C 所成角的余弦值是()A.12B32C.64D104解析：选 D.A 点坐标为(12，32，0)，D 点坐标为(1，0，1)，AD(12，32，1)易知平面 ACC1A1的法向量 nCB12CA(1，0，0)12(12，32，0)(34，34，0)cosn，ADnAD|n|AD|64，所求角的余弦值为1（64）2104.4.在正四棱锥 PABCD 中，PA2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为()A90B60C45D30解析：选 C.建立如图所示的空间直角坐标系，则PAO60，OP 3，OA1，AB 2，P(0，0， 3)，A(22，22，0)，B(22，22，0)，C(22，22，0)，E(24，24，32)，AP(22，22， 3)，BE(3 24，24，32)，cosAP， BE22 222，AP， BE45，即异面直线 PA 与 BE 所成角为 45.5.如图所示， 已知点 P 为菱形 ABCD 外一点， 且 PA平面 ABCD，PAADAC，点 F 为 PC 中点，则平面 CBF 与平面 BFD 夹角的正切值为()A.36B34C.33D233解析：选 D.连接 BD，设 ACBDO，连接 OF，以 O 为原点，OB，OC，OF 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，设 PAADAC1，则 BD 3，B(32，0，0)，F(0，0，12)，C(0，12，0)，D(32，0，0)OC(0，12，0)，且OC为平面 BDF 的一个法向量由BC(32，12，0)，FB(32，0，12)可得平面 BCF 的一个法向量 n(1，3， 3)cosn， OC217，sinn， OC2 77.tann， OC2 33.6.在空间中，已知二面角l的大小为23，n1，n2分别是平面，的法向量，则n1，n2的大小为_解析：半平面(及其法向量 n1)绕 l 旋转使与重合，若 n1与 n2同向时n1，n223，若 n1与 n2反向时n1，n23.答案：3或237.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M与 DN 所成的角的大小是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，令|AB|2，则 D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(0，1，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，N(0，2，1)，A1M(2，1，2)，DN(0，2，1)，A1MDN0，A1MDN，即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为2.答案：28.如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，PAAB2AC2a，则AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 AB2a(a0)，O(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(32a，a2，0)，P(0，0，2a)AB(0，2a，0)，设平面 PBC 的法向量 n(x，y，z)，则nBC0nPB0，即32ax3ay202ay2az0，x 3yyz，令 yz1，则 x 3，n( 3，1，1)，cosn， AB55.答案：559.在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A底面 ABC，ACB90，AA1ACBC2，D 为AB 中点(1)求证： BC1平面 A1CD；(2)求直线 AA1与平面 A1CD 所成角的正弦值解：(1)证明：连接 AC1交 A1C 于 O 点，则 DO 为ABC1的中位线，故 DOBC1，又 DO平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)以 CA，CB，CC1所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，设平面 A1DC 的法向量为 n(x，y，z)，由nCD0nA1D0得xy0 xy2z0，令 x1 得 n(1，1，1)设直线 AA1与平面 A1CD 所成角为，则 sin|cosAA1，n|22 3|33.10.如图，PC平面 ABC，DAPC，BCA90，ACBC1，PC2，AD1.(1)求证：PD平面 BCD；(2)设 Q 为 PB 的中点，求二面角 QCDB 的余弦值解：(1)证明：因为 PC平面 ABC，所以 PCBC.又 BCAC，因为 PC平面 PDAC，AC平面 PDAC，ACPCC，所以 BC平面 PDAC，又 PD平面 PDAC，所以 BCPD.因为 ACBCAD1，PC2，DAAC，所以 PDCD.因为 CD平面 BCD，BC平面 BCD，CDBCC，所以 PD平面 BCD.(2)由 PC平面 ABC，BCAC 所以 CA，CB，CP 两两垂直以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，P(0，0，2)，Q(0，12，1)，D(1，0，1)所以CD(1，0，1)，CQ(0，12，1)设平面 CDQ 的法向量 n1(x1，y1，z1)则CDn1x1z10CQn112y1z10，取 x11.解得y12z11，所以 n1(1，2，1)设平面 CDB 的法向量 n2(x2，y2，z2)，则CDn2x2z20CBn2y20，取 x21.解得y20z21，所以 n2(1，0，1)设二面角 QCDB 为，所以 cosn1n2|n1|n2|26 233.所以二面角 QCDB 的余弦值为33.能力提升1.在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 的中点，则 CE 与平面 BCD 的夹角的正弦值为()A.32B23C.12D33解析：选 B.如图，以BCD 的中心 O 为原点，OC，OA 所在直线分别为 x 轴，z 轴，平面 BCD 内垂直 OC 于点 O 的直线为 y 轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为 1，则 C(33，0，0)，A(0，0，63)，D(36，12，0)，所以E(312，14，66)，所以CE(5 312，14，66)，因为平面 BCD 的一个法向量为 n(0，0，1)，所以 cosCE，n66（5 312）2（14）2（66）223，设夹角为，sin|cosCE，n|23.2.二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为_解析：取基底AC， AB，BD，则二面角大小为AC， BD ，且CDACABBD，CD2AC2AB2BD22ACAB2ACBD2AB BD，即 417624282268cosAC， BDcosAC， BD12，即二面角的大小为 60.答案：603.如图，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且 PAACABBC2，PA平面 ABCD，E，F 分别是 BC，PC 的中点(1)证明：AEPD；(2)求二面角 EAFC 的余弦值解：(1)证明：由 ACABBC，可得ABC 为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC.又 BCAD，因此 AEAD.因为 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 PAAE.而 PA平面 PAD，AD平面 PAD 且 PAADA，所以 AE平面 PAD.又 PD平面 PAD，所以 AEPD.(2)由(1)知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC，PC 的中点，所以A(0，0，0)，B( 3，1，0)，C( 3，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E( 3，0，0)，F32，12，1，所以AE( 3，0，0)，AF32，12，1.设平面 AEF 的一个法向量为 m(x1，y1，z1)，则mAE0，mAF0，因此3x10，32x112y1z10.取 z11，则 m(0，2，1)，因为 BDAC，BDPA，PAACA，所以 BD平面 AFC，故BD为平面 AFC 的一法向量又BD( 3，3，0)，所以 cosm， BDmBD|m|BD|65 12155.因为二面角 EAFC 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.4.在如图所示的四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，点 E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F.(1)求证：PA平面 EDB；(2)求证：PB平面 EFD；(3)求二面角 CPBD 的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，设 DC1.(1)证明：连接 AC，AC 交 BD 于点 G，连接 EG.依题意得 A(1，0，0)，P(0，0，1)，E0，12，12 .因为底面 ABCD 是正方形，所以点 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为12，12，0，且PA(1，0，1)，EG12，0，12 .所以PA2EG，即 PAEG.而 EG平面 EDB，且 PA平面 EDB，因此 PA平面 EDB.(2)证明：依题意得 B(1，1，0)，PB(1，1，1)又DE0，12，12 ，故PBDE012120.所以 PBDE.由已知 EFPB，且 EFDEE，所以 PB平面 EFD.(3)已知 PBEF，由(2)可知 PBDF，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角设点 F 的坐标为(x，y，z)，则PF(x，y，z1)因为PFkPB，所以(x，y，z1)k(1，1，1)(k，k，k)，即 xk，yk，z1k.因为PBDF0，所以(1，1，1)(k，k，1k)kk1k3k10.所以 k13，点 F 的坐标为13，13，23 .又点 E 的坐标为0，12，12 ，所以FE13，16，16 .因为 cosEFDFEFD|FE|FD|13，16，16 13，13，236663161312，所以EFD60，即二面角 CPBD 的大小为 60.