金版教程高考数学 文二轮复习讲义：第二编 专题整合突破 专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

第二讲三角恒等变换与解三角形 必记公式1同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan.2诱导公式(1)公式：S2k；S；S；S；(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin；(2)cos()coscossinsin；(3)tan()；(4)辅助角公式：asinbcossin()cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降幂公式(1)sin2；(2)cos2.6正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.7余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.8面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.重要结论1判断三角形形状的常用结论(1)sinAsinB且AB等腰三角形；(2)sin2Asin2BAB或AB等腰或直角三角形；(3)cosAcosBAB等腰三角形；(4)cos2Acos2BAB等腰三角形；(5)sin(AB)0AB等腰三角形；(6)A60且bc等边三角形；(7)A，B，C成等差数列B60；(8)a2b2c2(A为三角形中的最大角)三角形为锐角三角形(A为锐角)；(9)a2b2c2三角形为直角三角形(A为直角)；(10)a2b2c2三角形为钝角三角形(A为钝角)2射影定理abcosCccosB.bacosCccosA.cacosBbcosA.失分警示1同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误2诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错3忽视解的多种情况如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况4忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围5忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合 考点三角恒等变换典例示法题型1求角典例120xx中山模拟已知cos(2)，sin(2)，0，则_.解析由0易得2，2，0)，则A_，b_.答案1解析由于2cos2xsin2x1cos2xsin2xsin1，所以A，b1.520xx广东高考设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.答案1解析由sinB得B或，因为C，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.620xx山东高考设f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsinA0，得sinA，由题意知A为锐角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1bcb2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立因此bcsinA.所以ABC面积的最大值为. 一、选择题120xx合肥质检sin18sin78cos162cos78()A BC. D.答案D解析sin18sin78cos162cos78sin18sin78cos18cos78cos(7818)cos60，故选D.220xx广西质检已知，3sin22cos，则cos()等于()A. B.C. D.答案C解析由3sin22cos得sin.因为0)，由余弦定理得，cosA.因为A是ABC的内角，所以sinA，因为ABC的面积为45，所以bcsinA45，即5k3k45，解得k2.由正弦定理2R(R为ABC外接圆的半径)，即2R，解得R14，所以ABC外接圆半径为14.三、解答题1020xx重庆测试在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2sin2A1.(1)求A；(2)设a22，ABC的面积为2，求bc的值解(1)由2cos2sin2A1可得，22sinAcosA1，所以1cos(A)2sinAcosA1，故2sinAcosAcosA0.因为ABC为锐角三角形，所以cosA0，故sinA，从而A.(2)因为ABC的面积为bcsinAbc2，所以bc8.因为A，故cosA，由余弦定理可知，b2c2a22bccosAbc.又a22，所以(bc)2b2c22bc(2)bca28(2)(22)232.故bc4.1120xx武汉调研在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b2，求ABC的面积的最大值解(1)证明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化简，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比数列(2)由(1)及题设条件，得ac4.则cosB，当且仅当ac时，等号成立0B，sinB .SABCacsinB4.ABC的面积的最大值为.1220xx济宁模拟已知向量m，n，记f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求f(2A)的取值范围解(1)f(x)mnsincoscos2sincossin，因为f(x)1，所以sin，所以cos12sin2.(2)因为(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsin(BC)因为ABC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，所以cosB，又0B，所以B.则AC，AC，又0C，则A，得A，所以0且q1或a10且0q0且0q1或a11，则数列为递减数列3等差数列an中，Sn为前n项和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差数列；等比数列bn 中，Tn为前n项和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比数列失分警示1忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件2漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是，容易漏掉.3忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的范围限制5易忽略公式anSnSn1成立的条件是n2.6证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明7等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负 考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1利用递推关系求通项公式典例1(1)已知正项数列an满足a11，(n2)a(n1)aanan10，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以ana1a1(n2)，所以an(n1适合)，于是所求通项公式为an.答案B(2)20xx江苏高考设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，则2，故数列前10项的和S1022.答案题型2利用an与Sn的关系求an典例220xx全国卷Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系，利用an求an.(3)累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系形如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法：递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(p1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式考点等差、等比数列的运算典例示法题型1等差、等比数列的基本运算典例320xx全国卷已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.解析设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2，故选C.答案C题型2等差、等比数列性质的运算典例420xx全国卷设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析设an的公比为q，由a1a310，a2a45得a18，q，则a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量(2)解题思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量2等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例520xx全国卷已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列在本例题(2)中是否存在，使得an为等比数列？并说明理由解由题设可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，若an为等比数列，则aa1a3，即(1)21，解得0或3.当0时，anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1，所以数列an为首项为1，公比为1的等比数列；当3时，a11，a22，a34，故可令an2n1，则anan122n1.Sn132n4，易得anan1与Sn1不恒相等，与已知条件矛盾综上可知，存在0，使得an为等比数列1等差数列的判定方法(1)证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种利用等差数列的定义证明，即证明an1and(nN*)；利用等差中项证明，即证明an2an2an1(nN*)(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an是等差数列2等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：若判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明前三项不是等差(等比)数列即可针对训练20xx云南统测在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn7的大小解(1)证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S371，a3a520，a2a664，则S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且公比q1，得a34，a516，所以解得所以S531，故选A.320xx唐山统考设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B.C. D1或2答案B解析设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，故选B.420xx浙江高考已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS4 0 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，则a1dd20，又S44a16dd，dS4d20，a1，如果an1是1与的等比中项，那么a1的值是_答案解析由题意可得，a(2an1anan11)(2an1anan11)0，又an0，2an1anan110，又2an0，an1an11，又可知an1，1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)n1an，a11.三、解答题1020xx蚌埠质检已知数列an是等比数列，Sn为数列an的前n项和，且a33，S39.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2，且bn为递增数列，若cn，求证：c1c2c3cn1.解(1)设该等比数列的公比为q，则根据题意有39，从而2q2q10，解得q1或q.当q1时，an3；当q时，an3n3.(2)证明：若an3，则bn0，与题意不符，故an3n3，此时a2n332n，bn2n，符合题意cn，从而c1c2c3cn10，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.依题意有解得或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22.第二讲数列求和及综合应用 重要公式及结论1分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和4倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思附：(1)常见的拆项公式(其中nN*).若等差数列an的公差为d，则；.()(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论2错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项3裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项4裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性 考点数列求和问题典例示法题型1分组转化求和典例1设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题设可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.对任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)因为bn222n2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2n23n1.题型2错位相减法求和典例220xx湖北高考设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.题型3裂项相消法求和典例320xx洛阳统考设数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn12an.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlogan，求Tn.解(1)由6Sn12an，得6Sn112an1(n2)两式相减得6an2an12an，即anan1(n2)，由6S16a112a1，得a1，数列an是等比数列，公比q，所以ann12n1.(2)an2n1，bn2n1，从而.Tn.1分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(1)n等特征2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn