平面向量经典例题讲解

【解析】平面向量经典例题讲解讲课时间:姓名： 课时： 讲课教师： 试题分析TTT2T2T2T2abcabc6rrrabcv6UTUUTUUTUOA 、 OB 、 OCrr r r r r2ab 2bc 2ac、选择题(题型注释)空间四边形 OABC中,UUTTLUUTUULTTOAa,OBb,OCc,点 M在 OA上，且 OM 2MA , N 为 BC 的个单位向量两两之间夹角为 603 2 * b cos60c cos60ocos60o考点：向量的数量积4在平行四边形ABCD 中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点FUUUU中点，贝y MN =(raF A1r2 r1 rB2 r1 T1 ra -b一 cab-c2323221r a1b-2r -cD2r .-a2T 1r c223332)A.C.B【答案】【解析】UULT1 uuu (OBUUT为 BC 的中点，贝y ONOC),2UUUU MN考点:UULT UUUU 1 UUU UUT 2 UUU ON OM2、，3向量加法、减法、数乘的几何意义；(OB OC)OA b232，选B2 .已知平面向量a , b满足|a| 1,|b|2，且(a b) a，则a与b的夹角是(A) 5(B)(C) 3(D)【答案】D【解析】0【2 1 1a a b 0 , | a |1, |b| 2 ,12230,用向量运算得到cos的值,求出角试题分析：Q (a b) a (a b) aT2 r ra a b 1 1 2cos 0 cos考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得ULT UU UUU60。，贝y OA OB OC设夹角为ULT UUT3 .若 OA、OB、UUUOC三个单位向量两两之间夹角为A.3 B.C.6D.【答案】Dr b1 - 2ra1 一 4Ar b2 - 3 ra1 - 3r b1-4ra1 - 2r b1 - 3ra【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，的平行四边形法则可知,AEB与 FED相似，且相似比为uuur1 UULT3:1，所以DF DC ,由向量加减法3uuuuuurruuuruuurABADa,ADABb，解得,uuuruuuAD ab,AB ab，由向量加2 2uult uuur uuu法的三角形法则可知，AF AD DF考点：平面向量的加减法uuur i uuu 2 r 1 rAD AB a b ,故D正确。3335在边长为1的等边 ABC中,uuur uuu则AD BE ()UUU UULTUUU UULD,E 分别在边 BC与 AC上,且 BD DC , 2AE EC八1111A.-BC.D.2346【答案】A【解析】UUTUULTUUUUJU试题分析：由已知D, E分别在边BC 与 AC上,且BDDC , 2AEEC则D是BC的中轴点，E为AC的三等分点，以D为坐标原点,DA所在直线为y轴，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，A(0, ；) , C(1 ,0), B( 1 ,0)，设 E(x, y)，由 2AE EC可得:V312(X，y2)(2 X，y)，第1页共14页第3页共14页，贝U AD (0,23)，BEGJ，AD BE 12考点：平面向量的坐标运算6在平行四边形ABCD 中,AC为一条对角线,uuuAB (2,4),uuuuuuAC (1,3)，则 DA =()一的表示成c a b (,为实数)，则实数m的取值范围是()A . (,2) B . (2,)A (2,4 ) B【答案】C.【解析】( 3,5).(1, 1) D(-1, 1)C (,)D.(,2) U (2,)【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量c都可以唯一的表示成试题分析:uuuDAuuirADuuur(ACuuuAB) (1,1).7.已知向量a1,2 ,r r a bb，则b可以为()A 1,2B.1,2C.2,1D.2, 1考点：平面向量的线性运算.【答案】A【解析】试题分析：设(X, y)，则(x l,y2),因a b /b，所以(x1)y x(y 2)y 2x o,只有A满足考点：向量共线的条件8.已知向量a (2,3), b (1,2),若ma4b与a2b共线，则m的值为(c a b (,为实数)的充要条件是a (1,2), b (m, 3m 2)不共线,即 1 3m 22 m 0 m 2,故选 D.考点：平面向量的基底及向量共线r10 .若向量a (1, 2), b (2,1), c = ( 4, 2),则下列说法中错误.的是()rA. a bB. 向量a与向量的夹角为90r rC. b / cd.对同一平面内的任意向量d,都存在一对实数Ok?,使得 d k1b+k2CA 12【答案】D【解析】试题分析：由已知得 ma 4b m(2,3)4( 1,2)(2m 4,3m8),a 2b (2,3) 2( 1,2)(4, 1)又因为ma 4b与a 2b共线,所以有(2m 4) ( 1) 4 (3m 8)014m28 m 2 ,故选D.考点：1.向量的坐标运算；2.向量平行的坐标条件.9.已知平面直角坐标系内的两个向量a (1,2), b (m , 3m 2),且平面内的任一向量 c都可以唯【答案】D【解析】试题分析：a b 220，故A正确；a c 1 ( 4)( 2)( 2)0,所以B正确；b故C正确；因为b,c是共线的，不能作为基底，故D错11.已知向量a =3,4，若a 5，则实数的值为()A. 1B.1C.-D.155【答案】D【解析】试题分析：因为a=3,4 ,所以 |a| J32425，因为a丨I忖1，故选D.考点：1、向量的数乘运算；rr2、向量的模.rr考点：向量的夹角Irr12 .若向量a 2,1, b 0,2 ，则以下向量中与a b垂直的是(5，所以51c25，解得:第5页共14页第4页共14页A.1, 2B 1,2C2,1D .0,2uuu/Q AC4, AB1, S abc -2| ACj|ABjs inAsi nA.32，cos A试题分析:向量 a 2,r1 , b0,2 ,rr ab与a b垂直的是1, 2 .考点：向量垂直的充要条件uuuuuu13在边长为1的正三角形ABC 中，设BC2BD ,则的值为()(A) 1(B) 2(C)123【答案】C【解析】试题分析:由题意可得：【答案】A【解析】(2,1)，而12 (2) 10，以下向量中uurmuuuruuu1CACE ,若ADBE,4D) 3uuvuuuv uuurABAC|ab考点：平面向量的数量积uuuvACcosA2，故选D二、填空题(题型注释)16.已知两个非零向量a与b,定义|a X b| = |a| |b|sin3,4) , b = (0,2)，则 |a X b| 的值为 .【答案】【解析】|a| =42 = 5, |b| = . 0222B,其中 B为a与b的夹角.-b =一 3X 0 + 4X 2 =,所以 cosLI */右a=( 一，又因为B 0 ,n ，所以 sin B= 1 COS2.故根据定义可知uur uuu AD BEuuu uuur AB BDuuurBCuuCEuuwABuuu uuu1 uuur2uuuuuu1uurAB BCBCABCABC22考点：向量的应用1 uuurBCuuuuuuBCCA2uur CA111，所以1222 443|a X b| = |a| |b|sin17.A ABC中 AB= 2,14已知向量a (1,2),b (1,0), c (3,4)，若为实数，(；b) c，则5【答案】53A.【答案】【解析】试题分析：a12rb 1511CD23,2,因为a b c,所以arc 3 14 20,解得11一.故D正确.3考点：向量垂直；向量的数量积.-uuu uuur二 uunumr15.在 ABC中，已知 | AB |4,| AC |1 , S ABC 3，则 ABAC 的值为()(A)2 (B) 2 (C)4 ( D)2【答案】D【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果【解析】设uuuB= 5X 2X 35AC= 3,E为边BC的中点,=6.uuur点D是厶ABC的重心，贝U AD 因为点 D是厶ABC的重心，所以uuiu bC =uuurAD2 uuu21=AE=X332uuu (ABuuu+ AC)11 ( AB3uuu(ACuuu uuuuuiuuuiu+ AC)，又 BC = AC - AB，所以uuurADuuiu 1 bC =(3uuuABuuiuAC) (uuiu AC 一uuuAB )=uuur一 Ab 2) = 5318已知 a = (2,0 ),【答案】13【解析】2a b考点：向量的基本运算试题分析:|b| 3 , a, b 的夹角为 60,贝U |2a b|14a2 4s t b2. 16 12 9 13.19.已知A B、C是球O的球面上三点，/ BAC=0, AB=2 BC=4,球O的表面积为48 ，则异面直线AB与OC所成角余弦值为 第6页共14页第6页共14页.4 4 4 86a c)，二 b试题分析：r2 r 2 3a ar rr r rr? ra ?ba(a c)aa ?cos a,b|a|b|【答案】6【解析】试题分析：过0作BC的垂线，垂足为 M，以MA所在线为x轴，以MC所在线为y轴，以M0所uuu在线为 z轴，建立直角坐标系，所以 A(2,0,0), B(0, 2,0) , C(0,2,0) , 0(0,0, 2.2) , BA (2,2,0),uuur-OC (0,2,2 2)，所以 cos考点：1.空间向量法；2.夹角公式.20.已知|a| 1 , |b| 2 , a与b的夹角为120 , a b c 0 ,则a与c的夹角为 .【答案】90【解析】试题分析：要求a与c的夹角一般可先求两向量的数量积a c ,而c (a b),因此rrrrrr2rrr ra c a (a b) a a b，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0,故a c，夹角为90考点：向量的夹角.21 .已知a b c 0，且a与c的夹角为60 , b 凋a|，则cos a, b等于【答案】 【解析】2 2 2r r 0a c 2| a|c|cos60 ,r r r2 r r r2r r|a|c|, 2a |a|c| c 0 , |a| |c|,r 2 r r03 r 2|a|2 |a|c|cos600|a |223.r .22|a| r 2 _ r |a|G|a|考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.uuuuujir22.已知点G为 ABC的重心，过点G作直线与AB , AC两边分别交于 M , N两点，且AM xAB ,uuruuur11AN yAC, x,y R ,U 一x y【答案】3【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为 G 为 ABC 的重心，所以uur 21uuu uur 11 uuu1 uur1 luur1 ujirAGAB ACAM ANAM AN ,因为：M ,G,N三点共线,所以323 xy3x3y1 11 11 ,所以一 一 3,所以答案为：3.3x 3yx y考点：1.向量的运算；2.三点共线的性质.23已知向量 a (2, 1,3 ) , b ( 4, 2 , x)，若 k/ b，则 x ;【答案】-6【解析】试题分析：由b a可知，2，所以x 6.考点：空间向量共线定理rrr r r r24设向量a心力(2, 2)，若(a b) ( a b)，则实数【答案】2【解析】rr -rr ，-试题分析：由已知得 ab( . 32,2), ab(、. 32,2)；由(ab) (a b)得(a b) (a b) 0所以有(、32) ( 32) (2) (2) 0即4 280，解得2故答案为：,2 .考点：向量的数量积的坐标运算.25.已知向量a ( 1,2), b (2,3)，若m a b与n a b的夹角为钝角，则实数的取值范围是【答案】9且x 1【解析】第8页共14页第8页共14页IT试题分析：m3 r b r a r n2 z r b r aIT夹 的 r b r a r n与 r b r a【解析】试题分析:角为钝角，贝U ( a b) (a b) 3(2)(23)0 ,即:9，又m与n不共线，则r r r r(a 2b) (a b)r2 ra ar br a6222 r b r aT2r 2 r (2) 3所以cos a,ba b 1ab 2(23)0, 即:考点：向量的数量积与向量的夹角.考点：1.向量的夹角；2.向量的数量积;3.共线向量;4 .向量的坐标运算公式;26 .已知向量a，b满足(a 2b)?(ab) 61, ba在b上的投影为三、解答题(题型注释)29.设 A,B,C,D 为平面内的四点，且 A(1,3),B(2, 2),C(4,1).(1)若AB CD,求D点的坐标；1【答案】12【解析】(2)设向量a AB,b BC,若ka b与a 3b平行，求实数 k的值.r rr r试题分析：设a与b的夹角为向量a , b满足(a 2b)?(a b) 6，且a 1,I答案】(1) 5,6 ；( 2) k 2r r2 r rr r二 aa bb1 a b46，二 a b =1.二 cos 0 =a b1，再由B的范围为0 ,n2【解析】试题分析：(1)两向量相等即坐标相同,设出D x，y即可就得；(2)两向量ax1, y-i , bx2, y2可得0 =，则a在b上的投影为13考点：向量的数量积。cos3平行，满足条件是x1 y2x2 y1.27若向量a与b满足| a| . 2 , |b| 2 ,(a b) a .则向量a与b的夹角等于|a b|【答案】4【解析】10 .试题分析：Q a babacos a,ba b1汀rb)4r ar bT7r2ar b2 ba ,考点：平面向量数量积的运算和性质44228.已知向量a,b满足a 2b a b = 6，且|a| 1,|耳2，则a与b的夹角为 .【答案】uuuuult由ABCD，得 2,21,3x, y所以x4 1；解得x5,y+ 15,y6.所以点D的坐标为5,6.uuu因为a AB 2, 21,31, 5 ,试题解析：设D x,y所以 ka b k 1, 52,14, 1 ,贝U 1, 5x 4,y +1 ,3分5分6分uuub BC 4, 12, 22,1 ,8分7, 2 .10 分k 2, 5k 1 , a+ 3b 1,5+3 2,1由ka b与a + 3b平行，得k 225k 170 ,12 分所以k - .143考点：1.向量相等；2.向量共线.ujut30.平行四边形OADB勺对角线交点为C, BM1 uuu uuu BC , CN31 uuu uuu uuuCd , OA = a, OB = b,用 a、b3第10页共14页第10页共14页UUJUuuu uuun表示 OM、ON、MN【答案】a【解析】2 uurBA=a b,uuuuuu=OC + CN =r2r r 2a2 a b 2b 0，二 2232 0,12考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件 点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件32.(本小题满分14分)己知向量a (1,2sin ),b(Si n(3)，1)，(1)若(2)若【答案】【解析】a / /b,tan(1)tan 的值:(0,2)，求的值.n,(2)6.352sinsin试题分析：(1)先由向量垂直得等量关系:，再利用两角和正弦展开得5 sin 3 cos 02 2tan，因为cos 0，所以.(2)先由向量平行得等量关系:1UUU11uuuuuuu uuuu15uuuuuuBA =1 * 1-a b,OM=OB + BM =a +b.OD = a+ b,ON66666uuuu BM =1auuu uuu2 uuu1 uuuOD + OD =OD =21 uuu2331.(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问a+236分)b.uuiuMN = ON OM2sin sin2sin 2，再利用两角和正弦展开得nncos 2sin cos sin一33，根据二倍已知向量a、b满足:a1, b4,且a、b的夹角为60.1、3一 1 cos 2sin 2角公式化简得22sin，结合(0,2),(1 )求 2a b ? a b(2)若 a b2b ，求 的值.【答案】(1) -12 ; (2)【解析】12试题分析：(1)由题意得aib cos601 42 r r r2二 2a b a b 2a abb 2 2 1612a 2ba b a 2b 0,n解出6试题解析：(1)因为ab，所以ai b=0 ,2分2si nnsin05 . -sincos0所以3，即22.4分tan3因为cos0，所以5.6分2si nsinn 1(2) 由 a/ b，得38分,由配角公式整理得第11页共14页第13页共14页33652sin 即2ncos 2sin3cosnsin 131 1 cos 2，即2丄3 sin 212n1sin 2整理得,6211分nnn 5 n0,2又2所以66 6nnn2所以66，即6 14分考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式a b2/533.(本题满分9 分)已知向量 a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ),5(1 )求 cos()的值；0(2 )若0 sin且52,213，求sin的值。【答案】(1)3 ；( 2)52 X34 已知 m (1,2), n (cos2x,cos ),且 f (x) m n.2(1) 在 ABC中，若f(A) 1，求A的大小；(2) 若g(x) f (x) 2cos2 x . 3sin x ,将g(x)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到h(x)的图像，求h(x)的单调减区间.2 8【答案】(1); (2) 4k 一 ,4k 一 , k Z .3 33【解析】试题分析：(1)利用数量积公式以及二倍角公式得到关于cosA的方程，解方程得到 cosA的值，结合角的范围，得到角 A ; (2)求出g(x)，利用三角恒等变形化为 g(x) Asin( x )的形式，再利用图像变换法则得到 h(x)，然后利用整体思想求其单调区间试题解析：(1)由题意f (x) m ncos2x 2cosx222 cos x cosx , 2f (A)2 cos A cos A 1 ,2分1cos A -或 cos A 1,24分A (0, ), A.36分第14页共14页第14页共14页【解析】试题分析：(1)由向量的坐标运算及模的计算公式得出等式3 cos cos sin sin 5，然后由恒等变形即可得解；(2)把角变形，然后用恒等变形公式即得解;(2)g (x) f (x) 2cos2 x3sinx 、3sinx cosx 2sin(x ) , 7 分61由题意 h(x) 2sin(x ) ,8分2 6由2k21 x262kc32，k Z，得4k2x4k8,k Z11分333“、3cos cossin sin-cos()-即5，所以5、412sin()cos(2 )由已知，0，所以51343试题解析：解：(1)由已知，a2 2a b + b2= 5 ,且a2= b2= 1所以a b = 52 8h(x)的单调减区间4k,4k,k Z .12分33考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.三角恒等变换；4.三角函数的图像变换和性质第15页共14页第14页共14页第#页共14页第14页共14页33sin sin () sin( )cos cos( )sin = 65考点：向量的坐标运算及三角恒等变换。第#页共14页第14页共14页