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人教版高中数学必修精品教学资料第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体ABCD-ABCD中,平面AADD与平面ABCD垂直,直线AA垂直于其交线AD.平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗?二、信息交流,揭示规律问题1:如图,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.讨论直线AB与平面的位置关系.问题2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明?问题3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些?四、运用规律,解决问题【例1】 如图,已知平面,a,直线a满足a,试判断直线a与平面的位置关系.【例2】 如图,四棱锥PABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB底面ABCD.(1)证明:侧面PAB侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;(3)求直线AB与平面PCD的距离.【例3】 如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置,使CD=AC.(1)求证:平面ABD平面ABC;(2)求二面角CBDA的余弦值.【例4】 如图,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD把BCD折起,使C移到C,且C在平面ABC内的射影O恰好落在AB上.(1)求证:ACBC;(2)求AB与平面BCD所成角的正弦值;(3)求二面角CBDA的正切值.五、变式演练,深化提高1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成30角,求二面角BB1CA的正弦值.2.如图,边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,M为BC的中点.(1)证明:AMPM;(2)求二面角PAMD的大小.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高课本P74习题2.3B组第1,3题.参考答案问题1:直线AB与平面垂直.问题2:两个平面垂直的性质定理文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.符号语言描述为:AB.图形语言描述为:如图两个平面垂直的性质定理证明过程如下:如图,已知,=a,AB,ABa于B.求证:AB.证明:在平面内作BECD垂足为B,则ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD,BE与CD是内的两条相交直线,AB.问题3:两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理的口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.四、【例1】 解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.即直线a与平面平行.【例2】 解:(1)证明:在矩形ABCD中,BCAB,又平面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面PAB.又BC侧面PBC,侧面PAB侧面PBC.(2)如图,取AB的中点E,连接PE,CE,又PAB是等边三角形,PEAB.又侧面PAB底面ABCD,PE平面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中,PCE=45为所求.(3)在矩形ABCD中,ABCD,CD侧面PCD,AB侧面PCD,AB侧面PCD.取CD的中点F,连接EF,PF,则EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF,垂足为G,则EG平面PCD.在RtPEF中,EG=为所求.【例3】 解:(1)证明:(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO平面ABC,O为垂足,则OA=OB=OC.O是ABC的外心,即AB的中点.OAB,即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(证法二):取AB中点O,连接OD,OC,则有ODAB,OCAB,即COD是二面角CABD的平面角.设AC=a,则OC=OD=a,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形,即COD=90.二面角是直二面角,即平面ABD平面ABC.(2)取BD的中点E,连接CE,OE,OC,BCD为正三角形,CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角.同(1)可证OC平面ABD,OCOE.COE为直角三角形.设BC=a,则CE=a,OE=a,cosOEC=即为所求.【例4】 解:(1)证明:由题意,知CO平面ABD,COABC,平面ABC平面ABD.又ADAB,平面ABC平面ABD=AB,AD平面ABC.ADBC.BCCD,BC平面ACD.BCAC.(2)BC平面ACD,BC平面BCD,平面ACD平面BCD.作AHCD于H,则AH平面BCD,连接BH,则BH为AB在平面BCD上的射影,ABH为AB与平面BCD所成的角.又在RtACD中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB与平面BCD所成角的正弦值为.(3)过O作OGBD于点G,连接CG,则CGBD,则CGO为二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=2,即二面角CBDA的正切值为2.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要.五、1.解:由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1,过A作AN平面BCC1B1,垂足为N,则AN平面BCC1B1(AN即为我们要找的垂线),在平面BCB1内过N作NQB1C,垂足为Q,连接QA,则NQA即为二面角的平面角.AB1在平面ABC上的射影为AB,CAAB,CAB1A.AB=BB1=1,得AB1=.直线B1C与平面ABC成30角,B1CB=30,B1C=2.在RtB1AC中,由勾股定理,得AC=.AQ=1.在RtBAC中,AB=1,AC=,得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值为.2.解:(1)证明:如图,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,PCD为正三角形,PECD,PE=PDsinPDE=2sin60=.平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.四边形ABCD是矩形,ADE,ECM,ABM均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=,AM=,AE=3,EM2+AM2=AE2.AMEM.又EM是PM在平面ABCD上的射影,AME=90.AMPM.(2)由(1)可知EMAM,PMAM,PME是二面角PAMD的平面角.tanPME=1.PME=45.二面角PAMD为45.
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