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第三节等比数列及其前n项和【考纲下载】1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的相关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列(2)公比：指定义中的“同一常数”，通常用字母q(q0)表示(3)定义的符号表示：q(q是常数且q0，nN*)，或q(n2，nN*，q为常数且q0)2等比数列的通项公式及其推广(1)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式ana1qn1.(2)通项公式的推广anamqnm.3等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么，即G2ab.4等比数列的前n项和公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.5等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amana.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(3)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1b2ac是a，b，c成等比数列的充要条件吗？提示：不是b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b0，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2ac.2若a0，则数列a，a2，a3，an，的前n项和为Sn吗？提示：不一定当a1时，Snna1n；当a1时，Sn.1(20xx江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24解析：选A由x,3x3,6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24.2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2 C2 D.解析：选Da22，a5，q3，q.3在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11()A10 B25 C50 D75解析：选Ba7a125，a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.4已知等比数列的前n项和Sn4na，则a_.解析：当n1时，a1S14a，当n2时，anSnSn1(4na)(4n1a)4n4n134n1.又该数列为等比数列， 4a340，即a1.答案：15设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.解析：8a2a50，8a2a5，即8.q38，q2.11.答案：11 数学思想(八)分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论典例(20xx天津高考)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解题指导(1)利用等差数列的性质结合已知条件求出公比q，进而可求得通项公式；(2)结合数列的单调性求数列的最大项与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.题后悟道1.数列与函数有密切联系，证明与数列有关的不等式，其本质是求数列中的最大项，可以利用图象或者数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与函数单调性的区别2本题易忽视条件“an不是递减数列”而认为q，从而导致解题错误已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选CSnan1(a0)，an即an当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列
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