高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第8讲　函数与方程、函数的模型及其应用 Word版含解析

高考数学精品复习资料2019.5第第 8 讲讲函数与方程、函数的模型及其应用函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0).(2)反比例函数模型：ykx(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c 为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 f(x)lg x 的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数 yf(x)(xD)在区间(a，b)D 内有零点，则 f(a)f(b)0.()(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x 的零点是 1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0 是连续函数 yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)ex3x 的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1e30，因此函数 f(x)有且只有一个零点.答案B3.(20 xx安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos xB.ysin xC.yln xD.yx21解析由函数是偶函数，排除选项 B、C，又选项 D 中函数没有零点，排除 D，ycos x 为偶函数且有零点.答案A4.已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)， 设这种动物第2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到()A.100 只B.200 只C.300 只D.400 只解析由题意知 100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当 x8 时，y100log39200.答案B5.函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_.解析因为函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上是单调函数，所以若 f(x)在区间(1，1)上存在一个零点，则满足 f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得13a1.答案13，16.(20 xx绍兴调研)已知 f(x)x2，x0，2x2，x0，则 f(f(2)_；函数 f(x)的零点的个数为_.解析根据题意得：f(2)(2)24，则 f(f(2)f(4)24216214；令 f(x)0，得到 2x20，解得：x1，则函数 f(x)的零点个数为 1.答案141考点一函数零点所在区间的判断【例 1】 (1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内(2)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选 A.(2)法一函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x， h(x)x2 图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二易知 f(x)ln xx2 在(0，)上为增函数，且 f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0.若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法： 通过画函数图象， 观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练 1】 已知函数 f(x)ln x12x2的零点为 x0，则 x0所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析f(x)ln x12x2在(0，)上是增函数，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 2120ln 210.故 f(x)的零点 x0(2，3).答案C考点二函数零点个数的判断【例 2】 (1)函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是_.(2)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为_.A.1B.2C.3D.4解析(1)当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍).所以在(，0上有一个零点.当 x0 时，f(x)21x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数.又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.(2)令 f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数 f(x)有 2个零点.答案(1)2(2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【训练 2】 (20 xx湖北卷)f(x)2sin xsinx2 x2的零点个数为_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2， 则函数的零点即为函数 ysin 2x 与函数yx2图象的交点，如图所示，两图象有 2 个交点，则函数有 2 个零点.答案2考点三函数零点的应用【例 3】 (20 xx昆明调研)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上 f(x)x，若关于 x 的方程 f(x)logax 有三个不同的实根，求 a 的取值范围.解由 f(x4)f(x)知，函数的周期 T4.又 f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数 yf(x)的图象关于 x2 对称.又 f(2)f(6)f(10)2.要使方程 f(x)logax 有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有f（6）2，a1.即loga62，a1.解之得 6a0(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是()A.(，1)B.(，0)C.(1，0)D.1，0)(2)(20 xx山东卷)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.解析(1)当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x13.因此当 x0 时，f(x)exa0 只有一个实根，aex(x0)，则1am 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3.答案(1)D(2)(3，)考点四构建函数模型解决实际问题(易错警示)【例 4】 (1)(20 xx四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.B.C.D.2021 年(2)(20 xx河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.求 k 的值及 f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.(1)解析设后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元，则 y130(112%)n.依题意 130(112%)n200，得 1.12n2013.两边取对数，得 nlg1.12lg 2lg 1.3nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，n4，从开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元.答案B(2)解当 x0 时，C8，k40，C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20403x56x8003x5(0 x10).由得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，则 y2t800t1022t800t1070，当且仅当 2t800t即 t20 时“”成立，此时由 3x520 得 x5.函数 y2t800t10 在 t20 时取得最小值，此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70.隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.规律方法(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.构建 f(x)xax(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.(2)解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原.易错警示求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练 4】 (1)(20 xx成都调研)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.(2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时.研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v是车流密度 x 的一次函数.当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式；当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/时).(1)解析由已知条件，得 192eb又 48e22kbeb(e11k)2e11k4819212141212，设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 te33kb192 e33k192(e11k)319212324.答案24(2)解由题意，得当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb(a0)，所以200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故当 0 x200 时，函数 v(x)的表达式为v(x)60，0 x20，13（200 x） ，20 x200.依题意并由(1)可得f(x)60 x，0 x20，13x（200 x） ，20 x200.当 0 x20 时，f(x)为增函数，所以 f(x)在区间0，20上的最大值为 f(20)60201 200；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x（200 x）2210 0003，当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立.所以当 x100 时，f(x)在区间(20，200上取得最大值10 0003.综上可知，当 x100 时，f(x)在区间0，200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/时.思想方法1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题； 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数 yf(x)g(x)的零点个数转化为函数 yf(x)与 yg(x)图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.易错防范1.函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点， 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(20 xx赣中南五校联考)函数 f(x)3xx2的零点所在区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，0)解析由于 f(1)230，f(1)f(0)1，则函数 f(x)的零点为()A.12，0B.2，0C.12D.0解析当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0.答案D3.(20 xx杭州调研)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1， 2)内， 则实数 a 的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1，2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，所以 0a0，f（0）0，即34a0，12a0，解得12a34.故实数 a 的取值范围为 a|12a0，则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是()A.0，1)B.(，1)C.(，1(2，)D.(，0(1，)解析函数 g(x)f(x)xm 的零点就是方程 f(x)xm 的根，画出 h(x)f(x)xx，x0，exx，x0的大致图象(图略).观察它与直线 ym 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x)f(x)xm 有零点.答案D12.(20 xx石家庄质检)加工爆米花时， 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，如图 3 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50 分钟B.3.75 分钟C.4.00 分钟D.4.25 分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，消去 c 化简得7ab0.1，9ab0.3，解得a0.2，b1.5，c2.所以 p0.2t21.5t215t2152t22516 4516215t15421316，所以当t1543.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟.答案B13.(20 xx绍兴调研)已知 f(x)1x2m|x|，若 f(x)有两个零点，则实数 m 的值为_；若 f(x)有三个零点，则实数 m 的取值范围是_.解析函数 f(x)的零点，即为方程1x2m|x|0 即1m|x|(x2)的实数根，令 g(x)|x|(x2)x22x，x0，x22x，x0，其图象如图所示，当 m1 时，g(x)图象与 y1m有 2 个交点；当 01m1 时，有 3 个交点.答案1(1，)14.设函数 f(x)|11x|(x0).(1)作出函数 f(x)的图象；(2)当 0ab，且 f(a)f(b)时，求1a1b的值；(3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围.解(1)如图所示.(2)f(x)|11x|1x1，x（0，1，11x，x（1，） ，故 f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数.由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1a111b，1a1b2.(3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m0 时，根据定义证明 f(x)在(，2)单调递增；(2)求集合 Mkb|函数 f(x)有三个不同的零点.(1)证明当 x(，2)时，f(x)1x2kxb.任取 x1，x2(，2)，设 x2x1.f(x1)f(x2)1x12kx1b1x22kx2b(x1x2)1（x12） （x22）k.由所设得 x1x20，又 k0，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)2，kx2（b2k）x（2b1）0，与x0 时，u(x)，v(x)开口均向上.由 v(2)10，（b2k）24k（2b1）0，b2k2k2，b2k2 k.当 k0 知 u(x)在(2， )有唯一零点.为满足 f(x)有三个零点， v(x)在(，2)应有两个不同零点.v（2）0，b2k2k2.b2k2 k.综合可得 Mkb|b2k2 |k|.