高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第3讲　函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

高考数学精品复习资料2019.5第第 3 讲讲函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 yx2在 x(0，)时是偶函数.()(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.()(3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.()(4)若函数 yf(xb)是奇函数， 则函数 yf(x)的图象关于点(b， 0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称， 故 yx2在(0， )上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x0 处有意义时才满足 f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y xB.yexC.ycos xD.yexex解析A，B 中显然为非奇非偶函数；C 中 ycos x 为偶函数.D 中函数定义域为 R，又 f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数.答案D3.已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A.13B.13C.12D.12解析依题意 b0，且 2a(a1)，a13，则 ab13.答案B4. 设 f(x)是定 义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.解析f(x)的周期为 2，f32 f12 ，又当1x0 且 a1，函数 f(x)ax12，x0，g（x） ，x0为奇函数，则 a_，g(f(2)_.解析f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，即 a0120，a2；当 x0 时，x0，f(2)2221212320，g(f(2)g32 223212212222.答案2222考点一函数奇偶性的判断【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) 3x2 x23；(2)f(x)lg（1x2）|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3， 3，从而 f(x) 3x2 x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1x20，|x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x.又f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)，函数 f(x)为奇函数.(3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当 x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；当 x0 时，x3 成立的 x的取值范围为()A.(，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，)(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x24x，则 f(x)_.解析(1)易知 f(x)2x12xa2x11a2x，由 f(x)f(x)，得2x11a2x2x12xa，即 1a2x2xa，化简得 a(12x)12x，所以 a1，f(x)2x12x1，由 f(x)3，得 0 x1.(2)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又当 x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，则 f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0，0，x0，x24x，x0考点三函数的周期性及其应用【例 3】 (20 xx四川卷)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1时，f(x)4x，则 f52 f(2)_.解析f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0，又 f(x)在 R 上的周期为 2，f(2)f(0)0.又 f52 f12 f12 4122，f52 f(2)2.答案2规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若 f(xa)f(x)(a 是常数，且 a0)，则 2a 为函数 f(x)的一个周期.【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2)1f（x），当 2x3时，f(x)x，则 f(105.5)_.解析f(x4)f(x2)21f（x2）f(x).故函数的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案2.5考点四函数性质的综合运用【例 4】 (1)(20 xx山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时，fx12 fx12 .则 f(6)()A.2B.1C.0D.2(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增.若实数a 满足 f(log2a)f(log12a)2f(1)，则 a 的取值范围是()A.1，2B.0，12C.12，2D.(0，2解析(1)当 x12时，由 f(x12)f(x12)，得 f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知 f(1)f(1)，且 f(1)(1)312.因此 f(6)f(1)2.(2)由 yf(x)为偶函数，且 f(log2a)f(log12a)2f(1).f(log2a)f(log2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又 f(log2a)f(|log2a|)且 f(x)在0，)上递增，|log2a|11log2a1.解得12a2.答案(1)D(2)C规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练 4】 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，则 f(2 017)f(2 019)的值为()A.1B.1C.0D.2(2)设函数 f(x)（x1）2sin xx21的最大值为 M，最小值为 m.则 Mm_.解析(1)由题意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数， g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即 f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)x22x1sin xx2112xsin xx21，令 g(x)2xsin xx21，则 g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0，故 Mm2.答案(1)C(2)2思想方法1.判断函数的奇偶性， 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用.易错防范1.f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数 f(x)满足的关系 f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性， 函数 f(x)满足的关系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(20 xx肇庆三模)在函数 yxcos x，yexx2，ylg x22，yxsin x 中，偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0解析yxcos x 为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylgx22与 yxsin x为偶函数.答案B2.(20 xx湖南卷)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)内是增函数B.奇函数，且在(0，1)内是减函数C.偶函数，且在(0，1)内是增函数D.偶函数，且在(0，1)内是减函数解析易知 f(x)的定义域为(1，1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，则 yf(x)为奇函数，又 yln(1x)与 yln(1x)在(0，1)上是增函数，所以 f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函数.答案A3.已知函数 f(x)xex1ex，若 f(x1)x2B.x1x20C.x1x2D.x210 时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由 f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x21x22.答案D4.已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则 g(1)等于()A.4B.3C.2D.1解析由已知得 f(1)f(1)，g(1)g(1)，则有f（1）g（1）2，f（1）g（1）4，解得 g(1)3.答案B5.(20 xx杭州一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A.2B.1C.1D.2解析f(x1)为偶函数，f(x1)f(x1)，则 f(x)f(x2)，又 yf(x)为奇函数，则 f(x)f(x)f(x2)，且 f(0)0.从而 f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为 4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.答案A二、填空题6.若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_.解析由于 f(x)f(x)，ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得 2ax3x0(xR)，则 2a30，a32.答案327.(20 xx湖州质检)若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，10，a，x0，g（2x） ，x0为奇函数，则 a_，f(g(2)_.解析由题意，af(0)0.设 x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)f(4)(1681)25.答案025三、解答题9.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，当1x0 时，f(x)x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式.解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又 f(x2)f(x)，f(x)f(x).又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数.(2)当 x0，1时，x1，0，则 f(x)f(x)x；进而当 1x2 时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1） ，x2，x1，2.10.已知函数 f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函数.(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围.解(1)设 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x).于是 x1，a21，所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1，3.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(20 xx丽水一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数， 若 f(1)1， f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为()A.(1，4)B.(2，0)C.(1，0)D.(1，2)解析f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a11，即a4a10，解得1a4.答案A12.对任意的实数 x 都有 f(x2)f(x)2f(1)， 若 yf(x1)的图象关于 x1 对称，且 f(0)2，则 f(2 015)f(2 016)()A.0B.2C.3D.4解析yf(x1)的图象关于 x1 对称，则函数 yf(x)的图象关于 x0 对称，即函数 f(x)是偶函数，令 x1，则 f(12)f(1)2f(1)，f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0，则 f(x2)f(x)2f(1)0，即 f(x2)f(x)，则函数的周期是 2，又 f(0)2，则 f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)022.答案B13.(20 xx东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2的周期函数， 且当 0 x2时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为_.解析因为当 0 xff(x)对所有的 x2，2恒成立，求实数 m 的取值范围.解(1)当 a1 时，f(x)(1x)|x|（1x）x，x0，（x1）x，x0，当 x0 时，f(x)(1x)xx12214，所以 f(x)在0，12 内是增函数，在12，内是减函数；当 xff(x)x3|x|，即 mx3|x|x21对所有的 x2，2恒成立，又 x2，2，所以 x211，5，所以x3|x|x21x4x21x411x21x211x212165.所以实数 m 的取值范围是165，.