均值不等式八法

.运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例已知 0x1，求函数 yx3x2x1 的最大值。解： yx2 x 1x 1x 1 1 x22x 1 1 xx1x 13x1 x11 x324224 ? 1 x3。2227当且仅当 x 11 x ，即 x1时，上式取“ =”。故 ymax32。2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例 2求函数 yx21x2 0x1 的最大值。解： yx4 1 x24 ? x2 ? x2? 1 x2。22x2x23x221x2122x? 1x2因?3，2227当且仅当 x21 x2，即 x6时，上式取“ =”。故 ymax2 3。239评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例 3已知 0x 2 ，求函数 y6x 4x2的最大值。解： y236 x2 4 x2 218 2x2 4 x24 x22x24 x24 x238318183。27当且仅当 2 x24x2 ，即 x23 时，上式取“ =”。3.故 y218 83，又 y 0, ymax32 3。max273二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例 4设 x 1，求函数 yx5x2x1的最小值。解： yx 14x11x 145 2 x 1 g45 9 。x11x1x当且仅当 x1 时，上式取“ =”。故 ymin9 。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例 5已知 x1 ，求函数 y24x 1的最大值。x23解： Q x1,x 1 0 ，y24x1242424x 1443。x 1x 142 2 4x1当且仅当 x1 时，上式取“ =”。故 ymax3 。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例 6已知 0 x2cos x的最小值。，求函数 ysin x解： 因为 0x，所以 0x2，令 tan xt ，则 t0 。22所以 y11 cosx1t 2t13t21 g3t3 。sin xsin x2t2t22t 2当且仅当 13t，即 t3 , x3时，上式取“ =”。故 ymin3 。2t23评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。三、 拼凑常数降幂例 7若 a3b32, a,bR ，求证： ab2。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是与“不等”的辩证转化。ab1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”.证明： Q a3131333a3g13 g133a, b313133 3 b3 g13 g133b 。a3b3463 a b ,a b2.当且仅当 a b1 时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例 8若 x3y32, x, yR，求 x2y25xy 的最大值。解： Q 3 1 x x 1 x3x3 ,3 1 y y 1 y3y3 ,3 1 x y 1 x3y3 ,x2y25xy1 x3x31 y3y35 1 x3y37 7 x3y37 。33当且仅当 ab1 时，上述各式取“ =”，故 x2y25xy 的最大值为 7。例 9已知 a,b, c0, abc1，求证： a3b3c3abbcca 。证明： Q 1a3b33 1?a ?b,1b3c331?b ? c,1c3a331?c ? a ，3 2 a3b3c33 ab bc ca ，又 Q ab bc ca3 3 a2 b2c23 ，3 2 a3b3c32 ab bc ca 3, a3b3c3ab bc ca 。当且仅当 abc1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。四、 拼凑常数升幂例 10 若 a,b, cR，且 ab c1，求证a5b5c543 。分析：a,b, c的轮换对称式， 容易发现等号成立的条件是abc，故应拼凑16 ，已知与要求证的不等式都是关于133巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明： Q 2g16 g a516a5 , 2g 16 g b516b 5,2g 16 g c516c5，3333332g16a5b5c 531abc32.a5b5c543 。31当且仅当 abc时，上述各式取“=”，故原不等式得证。3例 11若 ab 2, a,b,R ，求证： a3b32 。证明： Q 311ga1313a3 ,31 1gb1313b3,3 a b 4 a3b3 。又Q ab2,a3b32 。当且仅当ab1时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。五、 约分配凑通过“ 1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。.例 12已知 x, y,0, 281，求 xy 的最小值。xyxyg 2824 y64x4 y g64 x解： xy xyg123223264。xyxyxy当且仅当 281时，即 x4.y16 ，上式取“ =”，故 xy min64 。xy2例 13已知0 x1，求函数 y411的最小值。xx解： 因为 0x1，所以 1x0 。所以 y41x1x4154 1xx9 。x1xx1xx1x4 1 xxx29 。当且仅当x1时，即，上式取“ =”，故 yminx3例 14若 a,b, cR，求证a2cb2c2b1abc。b caa2分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于a,b, c 的轮换对称式，当abc 时，等式成立。a2a此时c，b2设 m bca ，解得 m1，所以a2应拼凑辅助式 b4c 为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。24b ca2b c2a2b cb2c a2b2c ac2a bc2a bc 。证明： Q4ga,4gb,2gb cb c 4c ac a 4a b4a b 4a2b2c21bc。当且仅当 ab c 时，上述各式取“ =”，故原不等式得证。bcc aaba2六、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例 15已知 x, y, zR ，且 xyz1149，求y的最小值。xz解： 设0，故有xyz10。149149xyz 11x4x9xyzxyzxyxz24612。当且仅当1x, 4y, 9z 同时成立时上述不等式取“ =”，xyz.即 x1 , y2 , z3，代入 xy z 1，解得36 ，此时 1236 ，故149的最小值为 36。xyz七、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例 16设 a1, a2 ,a1a2a3an1 1 11, an 为互不相等的正整数，求证2232n21 2 3。12n证明： 记 bna1a2a3an，构造对偶式dn1 111，122232n2a1a2a3an则 bndna11a21a31an12 1 1 11 ，12a122a232a3n2an1 2 3n当且仅当 aii iN , in时，等号成立。又因为a1, a2 , an 为互不相等的正整数，11111111所以dn23，因此 bn123。1nn评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。八、 确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。1例 17 在 ABC 中，证明 cos A cos B cosC。8分析： cos AcosB cosC 为轮换对称式，即A, B,C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明： 当 cos A0 时，原不等式显然成立。当 cos A0 时， cos Acos B cosC1 cos A cos BCcos BC21Ccos Acos A cos B211 cos A1 cos A21cos A 1 cos A22。28cos(B C ) 1ABC 为正三角形时，原不等式等号成立。当且仅当，即cos A1cos A综上所述，原不等式成立。评注：cos( BC ) ，然后利用 cos(B C )变形后选择 A 为主元，先把 A 看作常量， B、C 看作变量， 把 B、C 这两个变量集中到的最大值为1 将其整体消元，最后再回到A 这个主元，变中求定。综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。.