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第三节第三节随机抽样与用样本估计总体随机抽样与用样本估计总体 1.简简单随机抽样单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回抽取；抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等；特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和常用方法：抽签法和随机数法随机数法. 利用随机数表抽样时，利用随机数表抽样时，选定的初始数和读数的方向是任意的；选定的初始数和读数的方向是任意的；对各个个体编号要对各个个体编号要视总体中的个体数情况而定，且必须保证所编号码的位数一致视总体中的个体数情况而定，且必须保证所编号码的位数一致. 2.分层抽样分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. (2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 利利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层容量，即先剔除各层中容量，即先剔除各层中“多余多余”的个体的个体. 3.系统抽样系统抽样 (1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体. (2)系统抽样的步骤系统抽样的步骤 假设要从容量为假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为的总体中抽取容量为 n 的样本的样本. 先将总体的先将总体的 N 个个体编号；个个体编号； 确定分段间隔确定分段间隔 k，对编号进行分段，对编号进行分段.当当Nn(n 是样本容量是样本容量)是整数时，取是整数时，取 kNn； 在第在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk)； 按照一定的规则抽取样本按照一定的规则抽取样本.通常是将通常是将 l 加上间隔加上间隔 k 得到第得到第 2 个个体个个体编号编号 lk，再加，再加 k 得得到第到第 3 个个体编号个个体编号 l2k，依次进行下去，直到获取整个样本，依次进行下去，直到获取整个样本. 4.作频率分布直方图的步骤作频率分布直方图的步骤 (1)求极差求极差(即一组数据中最大值与最小值的差即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数；决定组距与组数； (3)将数据分组；将数据分组； (4)列频率分布表；列频率分布表； (5)画频率分布直方图画频率分布直方图. 5.频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折 线图线图. (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线体密度曲线. 6.茎叶图茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数旁边生长出来的数. 7.标准差和方差标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离标准差是样本数据到平均数的一种平均距离. (2)标准差：标准差： s 1n x1 x 2 x2 x 2 xn x 2. (3)方差：方差：s21n(x1 x )2(x2 x )2(xn x )2 (xn是样本数据，是样本数据，n 是样本容量，是样本容量， x 是样本平均数是样本平均数). 1.标准差与方差的特点标准差与方差的特点 反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.标准差标准差 方差方差 越小，表明各个样本数越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差据在样本平均数周围越集中；标准差 方差方差 越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散散. 2.平均数、方差的公式推广平均数、方差的公式推广 1 若数据若数据 x1，x2，xn的平均数为的平均数为xto(x)，那么，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平均数是的平均数是 mxto(x)a., 2 数据数据 x1，x2，xn的方差为的方差为 s2.,数据数据 x1a，x2a，xna 的方差也为的方差也为 s2；,数据数据 ax1，ax2，axn的方差为的方差为 a2s2. 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大可能性最大.( ) (2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( ) (3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次据可以只记一次.( ) (5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、选填题二、选填题 1.为了了解某地参加计算机水平测试的为了了解某地参加计算机水平测试的 5 000 名学生的成绩，从中抽取了名学生的成绩，从中抽取了 200 名学生的成名学生的成 绩进行统计分析绩进行统计分析.在这个问题中，这在这个问题中，这 200 名学生成绩的全体是名学生成绩的全体是( ) A.总体总体 B.个体个体 C.从总体中抽取的一个样本从总体中抽取的一个样本 D.样本容量样本容量 解析：解析：选选 C 根据随机抽样的概念可知选根据随机抽样的概念可知选 C. 2.某学校为调查高三年级的某学校为调查高三年级的 240 名学生完成课后作业所需的时间， 采取了两种抽样调查方名学生完成课后作业所需的时间， 采取了两种抽样调查方式：第一种由学式：第一种由学生会的同学随机抽取生会的同学随机抽取 24 名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从进行编号，从 001 到到 240，抽取学号最后一位为，抽取学号最后一位为 3 的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为( ) A.分层抽样，简单随机抽样分层抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，分层抽样简单随机抽样，分层抽样 C.分层抽样，系统抽样分层抽样，系统抽样 D.简单随机抽样，系统抽样简单随机抽样，系统抽样 解析：解析：选选 D 由三种抽样方法的定义可知，题中第一种方法为简单随机抽样，第二种为由三种抽样方法的定义可知，题中第一种方法为简单随机抽样，第二种为系统抽样系统抽样. 3.为评估一种农作物的种植效果， 选了为评估一种农作物的种植效果， 选了 n 块地作试验田块地作试验田.这这 n 块地的亩产量块地的亩产量(单位：单位： kg)分别分别为为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是量稳定程度的是( ) A.x1，x2，xn的平均数的平均数 B.x1，x2，xn的标准差的标准差 C.x1，x2，xn的最大值的最大值 D.x1，x2，xn的中位数的中位数 解析：解析：选选 B 统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选故选 B. 4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 334，现用分层抽样的方法从该校，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取的样本，则应从高二年级抽取_名学生名学生. 解析：解析：设应从高二年级抽取设应从高二年级抽取 x 名学生，则名学生，则x50310， 解得解得 x15. 答案：答案：15 5.如图是某班如图是某班 8 位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这 8 位学位学生得分的众数和中位数分别为生得分的众数和中位数分别为_. 解析：解析： 依题意， 结合茎叶图， 将题中的数由小到大依次排列得到：依题意， 结合茎叶图， 将题中的数由小到大依次排列得到： 86,86,90,91,93,93,93,96，因此这因此这 8 位学生得分的众数是位学生得分的众数是 93，中位数是，中位数是9193292. 答案答案：93 92 考点一考点一 抽样方法抽样方法基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1.利用简单随机抽样，从利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为个个体中抽取一个容量为 10 的样本的样本.若第二次抽取时，余下的若第二次抽取时，余下的 每个个体被抽到的概率为每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( ) A.14 B.13 C.514 D.1027 解析：解析：选选 C 根根据题意，据题意，9n113，解得，解得 n28. 故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028514. 2.福利彩票福利彩票“双色球双色球”中红球的号码可以从中红球的号码可以从 01,02,03， ， 32,33 这这 33 个两位号码中选取，个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第个号码，选取方法是从第 1 行第行第 9 列的数字开列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( ) 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12 B.33 C.06 D.16 解析：解析： 选选 C 被选中的红色球的号码依次为被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色球所以第四个被选中的红色球的号码为的号码为 06. 3.利用系统抽样法从编号分别为利用系统抽样法从编号分别为 1,2,3，80 的的 80 件不同产品中抽取一个容量为件不同产品中抽取一个容量为 16 的的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为 13，则抽到产品的最大编号为，则抽到产品的最大编号为( ) A.73 B.78 C.77 D.76 解析：解析：选选 B 样本的分段间隔为样本的分段间隔为80165，所以，所以 13 号在第三组，则最大的编号为号在第三组，则最大的编号为 13(163)578. 4.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：人，其中各种态度对应的人数如下表所示： 最喜爱最喜爱 喜爱喜爱 一般一般 不喜欢不喜欢 4 800 7 200 6 400 1 600 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 100 人进行详细的调查，为此要人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为的人数分别为( ) A.25,25,25,25 B.48,72,64,16 C.20,40,30,10 D.24,36,32,8 解析：解析： 选选 D 因为抽样比为因为抽样比为10020 0001200， 所以每类人中应抽取的人数分别为所以每类人中应抽取的人数分别为 4 8001200 24,7 200120036，6 400120032,1 60012008. 5.为了了解高一、 高二、 高三学生的身体状况， 现用分层为了了解高一、 高二、 高三学生的身体状况， 现用分层抽样的方法抽取一个容量为抽样的方法抽取一个容量为 1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为的样本，三个年级学生人数之比依次为 k53，已知高一年级共抽取了，已知高一年级共抽取了 240 人，则高三年级人，则高三年级抽取的人数为抽取的人数为_. 解析：解析：因为高一年级抽取学生的比例为因为高一年级抽取学生的比例为2401 20015，所以，所以kk5315，解得，解得 k2，故高三，故高三年级抽取的人数为年级抽取的人数为 1 2003253360. 答案：答案：360 名师微点名师微点 1. .应用随机数法的两个关键点应用随机数法的两个关键点 (1)确定以表中的哪个数确定以表中的哪个数(哪行哪列哪行哪列)为起为起点，以哪个方向为读数的方向；点，以哪个方向为读数的方向； (2)读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下为三位数字，则三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本去，直到获取整个样本. 2.解决分层抽样题的关键解决分层抽样题的关键 先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数.常用公式：常用公式： (1)抽样比抽样比样本容量样本容量总体容量总体容量各层样本容量各层样本容量各层个体总量各层个体总量； (2)层层 1 的容量的容量层层 2 的容量的容量层层 3 的容量样本中层的容量样本中层 1 的容量的容量样本中层样本中层 2 的容量的容量样样本中层本中层 3 的的容量容量. 考点二考点二 频率分布直方图的应用频率分布直方图的应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨吨)，一位居民的月用水量不超过，一位居民的月用水量不超过 x 的部分按的部分按平价收费，超出平价收费，超出 x 的部分按议价收费的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位位居民每人的月均用水量居民每人的月均用水量(单位：吨单位：吨)，将数据按照，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成分成 9 组，制成了组，制成了如图所示的频率分布直方如图所示的频率分布直方图图. (1)求直方图中求直方图中 a 的值；的值； (2)设该市有设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准的居民每月的用水量不超过标准 x(吨吨)， 估计， 估计 x 的值， 并说明理的值， 并说明理由由. 解解 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中中的频率为的频率为 0.080.50.04， 同理，在同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5中的频率分别为中的频率分别为 0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02. 由由 0.040.080.5a0.200.260.5a0.060.040.021， 解得解得 a0.30. (2)由由(1)可知，可知，100 位居民中每人月均用水量不低于位居民中每人月均用水量不低于 3 吨的频率为吨的频率为 0.060.040.020.12. 根据样本中的频率，可以估计全市根据样本中的频率，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于万居民中月均用水量不低于 3 吨的吨的人数为人数为 300 0000.1236 000. (3)因为前因为前 6 组的频率之和为组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.150.880.85， 前前 5 组的频率之和为组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.730.85， 所以所以 2.5x3. 由由 0.30(x2.5)0.850.73， 解得解得 x2.9. 所以估计月用水量标准为所以估计月用水量标准为 2.9 吨时，吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准的居民每月的用水量不超过标准. 解题技法解题技法 1.谨记频率分布直方图的相关公式谨记频率分布直方图的相关公式 (1)直方图中各小长方形的面积之和为直方图中各小长方形的面积之和为 1. (2)直方图直方图中纵轴表示中纵轴表示频率频率组距组距，故每组样本的频率为组距，故每组样本的频率为组距频率频率组距组距，即矩形的面积，即矩形的面积. (3)直方图中每组样本的频数为频率直方图中每组样本的频数为频率总数总数. 2.频率分布直方图中数字特征的计算频率分布直方图中数字特征的计算 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重心重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和以小长方形底边中点的横坐标之和. 过关训练过关训练 1.(2019 贵阳模拟贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中， 将三个年级参赛学生的成绩进行整理在某中学举行的环保知识竞赛中， 将三个年级参赛学生的成绩进行整理后后分为分为 5 组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是四、第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在，则成绩在 80100 分的学生人数是分的学生人数是( ) A.15 B.18 C.20 D.25 解析：解析：选选 A 根据频率分布直方图，得第二小组的频率根据频率分布直方图，得第二小组的频率是是 0.040100.4，频数是频数是 40，样本容量是样本容量是400.4100，又成绩在，又成绩在 80100 分的频率是分的频率是(0.0100.005)100.15，成绩在成绩在80100 分的学生人数是分的学生人数是 1000.1515. 2.某网络营销部门随机抽查了某市某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在名网友在 2018 年年 11 月月 11 日的网购金额，所得数日的网购金额，所得数据如下表：据如下表： 网购金额网购金额(单位：千元单位：千元) 人数人数 频率频率 (0,1 16 0.08 (1,2 24 0.12 (2,3 x p (3,4 y q (4,5 16 0.08 (5,6 14 0.07 总计总计 200 1.00 已知网购金额不超过已知网购金额不超过 3 千元与超过千元与超过 3 千元的人数比恰为千元的人数比恰为 32. (1)试确定试确定 x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图的值，并补全频率分布直方图(如图如图)； (2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这 200 名网友中，用分层抽样的方法从名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在网购金额在(1,2和和(4,5的两个群体中确定的两个群体中确定 5 人进行问卷调查， 若需从这人进行问卷调查， 若需从这 5 人中随机选取人中随机选取 2 人继人继续访谈，则此续访谈，则此 2 人来自不同群体的概率是多少？人来自不同群体的概率是多少？ 解：解：(1)根据题意有根据题意有 1624xy1614200，1624xy161432， 解得解得 x80，y50，p0.40，q0.25. 补全频率分布直方图如图所示补全频率分布直方图如图所示. (2)根据题意，抽取网购金额在根据题意，抽取网购金额在(1,2内的人数为内的人数为 24241653(人人). 抽取网购金额在抽取网购金额在(4,5内的人数为内的人数为16241652(人人). 故此故此 2 人来自不同群体的概率人来自不同群体的概率 PC13C12C2535. 考点三考点三 茎叶图的应用茎叶图的应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 某良种培育基地正在培育一小麦新品种某良种培育基地正在培育一小麦新品种 A， 将其与原有的一个优良品种， 将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验，进行对照试验，两种小麦各种植了两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产量的数据亩，所得亩产量的数据(单位：千克单位：千克)如下如下. 品种品种 A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种品种 B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出品种作出品种 A 与与 B 亩产量数据的茎叶图；亩产量数据的茎叶图； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)通过观察茎叶图，对品种通过观察茎叶图，对品种 A 与与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论. 解解 (1)画出茎叶图如图所示画出茎叶图如图所示. (2)由于每个品种的数据都只有由于每个品种的数据都只有 25 个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新的清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新的数据数据. (3)通过观察茎叶图可以看出：通过观察茎叶图可以看出：品种品种 A 的亩产量的平均数的亩产量的平均数(或均值或均值)比品种比品种 B 高；高；品种品种A 的亩产量的标准差的亩产量的标准差(或方差或方差)比品种比品种 B 大，故品种大，故品种 A 的亩产量的稳定性较差的亩产量的稳定性较差. 解题技法解题技法 茎叶图的使用策略茎叶图的使用策略 (1)茎叶图的绘制需注茎叶图的绘制需注意：意： “叶叶”的位置只有一个数字，而的位置只有一个数字，而“茎茎”的位置的数字位数一般不需要统一；的位置的数字位数一般不需要统一； 重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶叶”的位置上的数据的位置上的数据. (2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据据.通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等据分布是否均匀等. 过关训练过关训练 1.如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各 5 名工人某日的产名工人某日的产量量数据数据(单位：件单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则则x 和和 y 的值分别为的值分别为( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 解析：解析：选选 A 甲组数据的中位数为甲组数据的中位数为 65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得，由甲、乙两组数据的中位数相等，得 y5.又甲、又甲、乙两组数据的平均值相等，乙两组数据的平均值相等， 15(5665627470 x)15(5961676578)，x3.故选故选 A. 2.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分如茎叶图所示某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分如茎叶图所示.下列结论错误的是下列结论错误的是( ) A.乙运动员得分的中位数是乙运动员得分的中位数是 36 B.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差 C.甲运动员的平均分为甲运动员的平均分为 27 分分 D.乙运动员的得分有乙运动员的得分有613集中在茎集中在茎 3 上上 解析：解析：选选 C 从茎叶图知，从茎叶图知，A、D 是正确的，乙运动员的得分较集中，甲运动员得分较分是正确的，乙运动员的得分较集中，甲运动员得分较分散，故散，故 B 是正确的，甲运动员得分的平均分为是正确的，甲运动员得分的平均分为2901127.故选故选 C. 考点四考点四 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的数字特征师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 某大学艺术专业的某大学艺术专业的 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据按名学生，记录他们的分数，将数据按20,30)，30,40)，80,90分成分成 7 组，并整理得到如图所示的频率分布直方图组，并整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计总体的众数；估计总体的众数； (2)已知样本中分数小于已知样本中分数小于 40 的学生有的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于，且样本中分数不小于 70 的男女学生人数相的男女学生人数相等等.试估计总体中男生和女生人数的比例试估计总体中男生和女生人数的比例. 解解 (1)由频率分布直方图可估计总体的众数为由频率分布直方图可估计总体的众数为7080275. (2)由频率分布直方图可知，样本中分数在区间由频率分布直方图可知，样本中分数在区间50,90)内的人数为内的人数为(0.010.020.040.02)1010090. 因为样本中分数小于因为样本中分数小于 40 的学生有的学生有 5 人，人， 所以样本中分数在区间所以样本中分数在区间40,50)内的人数为内的人数为 1009055. 设总体中分数在区间设总体中分数在区间40,50)内的人数为内的人数为 x， 则则5100 x400，解得，解得 x20， 故估计总体中分数在区间故估计总体中分数在区间40,50)内的人数为内的人数为 20. (3)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于由频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的人数为的人数为(0.040.02)1010060. 因为样本中分数不小于因为样本中分数不小于 70 的男女学生人数相等，的男女学生人数相等， 所以样本中分数不小于所以样本中分数不小于 70 的男生人数为的男生人数为 30. 因为样本中有一半男生的分数不小因为样本中有一半男生的分数不小于于70，所以样本中男生的人数为，所以样本中男生的人数为60，女生的人数为，女生的人数为40. 由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为 32. 解题技法解题技法 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定程度越小，越稳定. (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. 过关训练过关训练 1.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( ) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析：解析：选选 C 甲的平均数是甲的平均数是4567856，中位数是，中位数是 6，极差是，极差是 4，方差是，方差是 2 2 1 202122252；乙的平均数是；乙的平均数是5556956，中位数是，中位数是 5，极差是，极差是 4，方，方差是差是 1 2 1 2 1 202325125，比较可得选项，比较可得选项 C 正确正确. 2.已知一组数据已知一组数据 x1， x2， x3， x4， x5的方差是的方差是2， 则数据， 则数据 2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的标准差为的标准差为_. 解析：解析：由由 s21ni1n (xi x )22，则数据，则数据 2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是的方差是 8，标准差为，标准差为 2 2. 答案：答案：2 2 3.甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩(单位：分单位：分)如图所示：如图所示： (1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差； (2)根据根据(1)的结果，对两人的成绩作出评价的结果，对两人的成绩作出评价. 解：解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：甲：10 分，分，13 分，分，12 分，分，14 分，分，16 分；分； 乙：乙：13 分，分，14 分，分，12 分，分，12 分，分，14 分分. x甲甲1013121416513, x乙乙1314121214513， s2甲甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24， s2乙乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8. (2)由由 s2甲甲s2乙乙，可知乙的成绩较稳定，可知乙的成绩较稳定. 从题图看，甲的成绩基本呈上升趋势，而乙的成绩上下波动，因此甲的成绩在不断提高，从题图看，甲的成绩基本呈上升趋势，而乙的成绩上下波动，因此甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高而乙的成绩则无明显提高.
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