高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题五 2 第2讲　专题强化训练 Word版含解析

一、选择题 1已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( ) A(1，3) B(1， 3) C(0，3) D(0， 3) 解析：选 A.由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2n3m2n4，即 m21，所以1n3. 2(2018 潍坊模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( ) A1 B. 3 C2 D2 3 解析： 选 C.由题意知双曲线的焦点(c， 0)到渐近线 bxay0 的距离为bca2b2b 3，即 c2a23，又 eca2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2. 3(2018 石家庄质量检测(一)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲线的离心率是( ) A. 3 B2 3 C2 D. 21 解析：选 B.由题意可知 A 是 F1B 的中点，O 是 F1F2的中点(O 为坐标原点)，连接 BF2，则 OA 是F1BF2的中位线，故 OABF2，故 F1F2BF2，又BF1F260，|F1F2|2c，所以|BF1|4c，|BF2|2 3c，所以 2a4c2 3c，所以 eca2 3，故选 B. 4(2018 武汉模拟)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为3的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若|AB|8，则抛物线的方程为( ) Ay23x By24x Cy26x Dy28x 解析：选 C.因为抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0 ，所以过点 F 且倾斜角为3的 直线方程为 y 3(xp2)，联立直线与抛物线的方程，得y 3（xp2），y22px3x25px34p20，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB53p，xAxB14p2，所以|AB| （xAxB）2（yAyB）2 1k2|xAxB|1353p2414p283p8p3，所以抛物线的方程为 y26x，故选 C. 5(2018 高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FMFN( ) A5 B6 C7 D8 解析： 选D.法一： 过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)， 由y23（x2），y24x，得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以x1，y2或x4，y4，不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FMFN8.故选 D. 法二：过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)，由y23（x2），y24x，得 x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24.易知 F(1，0)，所以FM(x11，y1)，FN(x21，y2)，所以FMFN(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 6(2018 贵阳模拟)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y2a2的切线FM，切点为 M，交 y 轴于点 P，若PMMF，且双曲线的离心率 e62，则 ( ) A1 B2 C3 D4 解析： 选 B.如图， |OF|c， |OM|a， OMPF， 所以|MF|b， 根据射影定理得|PF|c2b，所以|PM|c2bb，所以|PM|MF|c2bbbc2b2b2a2b2. 因为 e2c2a2a2b2a21b2a262232，所以b2a212.所以 2.故选 B. 二、填空题 7(2018 合肥第一次质量检测)抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ， 垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为_ 解析： 设 P(x， y)， 其中 x0， y0， 由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y， 则2（x1）2y16，y24xx4，y4或x9，y6(舍去)所以点 P 的坐标为(4，4) 答案：(4，4) 8(2018 贵阳模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P，Q 两点，若 cosPAQ35，则椭圆 C 的离心率 e 为_ 解析：根据题意可取 Pc，b2a，Qc，b2a，所以 tanPAFb2aacb2a2aca2c2a2acaca1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAFcos2PAFsin2PAF1tan2PAF1tan2PAF1（1e）21（1e）235，故 55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)214.又椭圆的离心率 e 的取值范围为(0，1)，所以 1e12，e12. 答案：12 9已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2，4，则PF1PF2的最小值的取值范围是_ 解析：设 P(m，n)，则m2a2n2b21， 即 m2a21n2b2. 又 F1(1，0)，F2(1，0)， 则PF1(1m，n)， PF2(1m，n)， PF1PF2n2m21 n2a21n2b21 n21a2b2a21a21， 当且仅当 n0 时取等号， 所以PF1PF2的最小值为 a21. 由 21a4，得14a12， 故1516a2134， 即PF1PF2的最小值的取值范围是1516，34. 答案：1516，34 三、解答题 10(2018 南昌调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON54，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围 解：(1)由题知 eca32，2b2，又 a2b2c2，所以 b1，a2， 所以椭圆 C 的标准方程为x24y21. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4m240， 依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得 m24k21， x1x28km4k21，x1x24m244k21， y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2， 若 kOMkON54，则y1y2x1x254，即 4y1y25x1x2， 所以 4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)4（m21）4k214km (8km4k21)4m20， 即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得 m2k254， 由得 0m265，120k254， 因为原点 O 到直线 l 的距离 d|m|1k2， 所以 d2m21k254k21k2194（1k2）， 又120k254， 所以 0d287，所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是0，2 147. 11(2018 贵阳模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点M 为短轴的上端点，MF1MF20，过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k1，k2分别为直线 MH，MG 的斜率，求 k1k2的值 解：(1)由MF1MF20，得 bc. 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| 2， 所以b2a22， bcb2a22a2b2c2a22b21. 故椭圆 C 的方程为x22y21. (2)设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx2k1， 将 ykx2k1 代入x22y21 得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0， 由题设可知 16k(k2)0，设 G(x1，y1)，H(x2，y2)， 则 x1x24k（2k1）12k2，x1x28k28k12k2， k1k2y11x1y21x2kx12k2x1kx22k2x22k（2k2）4k（2k1）12k28k28k12k22k(2k1)1， 所以 k1k21. 12(2018 石家庄质量检测(二)已知圆 C：(xa)2(yb)294的圆心 C 在抛物线 x22py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切 (1)求该抛物线的方程； (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别在点 A，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程 解：(1)由已知可得圆心 C(a，b)，半径 r32， 焦点 F0，p2，准线 yp2. 因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b32p2，且圆 C 过焦点 F， 又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上， 即 bp4， 所以 b32p2p4，即 p2，故抛物线的方程为 x24y. (2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k，即直线方程为 ykx1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由ykx1x24y得 x24kx40，0，x1x24k，x1x24， 对 yx24求导得 yx2，即 kAPx12， 直线 AP 的方程为 yy1x12(xx1)，即 yx12x14x21， 同理直线 BP 的方程为 yx22x14x22. 设 P(x0，y0) 联立直线 AP 与 BP 的方程，得x0 x1x222ky0 x1x241， 即 P(2k，1)， |AB| 1k2|x1x2|4(1k2)，点 P 到直线 AB 的距离 d|2k22|1k22 1k2， 所以三角形 PAB 的面积 S124(1k2)2 1k24(1k2)324，当且仅当 k0 时取等号 综上，三角形 PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y1.