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课时跟踪检测（五十一）课时跟踪检测（五十一）直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、题点全面练一、题点全面练1在同一平面直角坐标系中，直线在同一平面直角坐标系中，直线 l1：axyb0 和直线和直线 l2：bxya0 有可能是有可能是()解析：解析：选选 B由题意由题意 l1：yaxb，l2：ybxa，当，当 a0，b0 时，时，a0，b0.选项选项 B 符合符合2(2019惠州质检惠州质检)直线直线 l 经过点经过点 A(1,2)，在，在 x 轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜，则其斜率率 k 的取值范围是的取值范围是()A.1，15B.1，12C(，1)15，D(，1)12，解析解析：选选 D设直线设直线 l 的斜率为的斜率为 k，则直线方程为则直线方程为 y2k(x1)，直线在直线在 x 轴上的截距轴上的截距为为12k.令令312k3，解不等式得，解不等式得 k1 或或 k12.3在等腰三角形在等腰三角形 MON 中，中，MOMN，点，点 O(0,0)，M(1,3)，点，点 N 在在 x 轴的负半轴上轴的负半轴上，则直线则直线 MN 的方程为的方程为()A3xy60B.3xy60C3xy60D3xy60解析解析：选选 C因为因为 MOMN，所以直线所以直线 MN 的斜率与直线的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数的斜率互为相反数，所所以以kMNkMO3，所以直线，所以直线 MN 的方程为的方程为 y33(x1)，即，即 3xy60，选，选 C.4若直线若直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么，那么 b 的取值范围的取值范围是是()A2,2B.(，22，)C2,0)(0,2D(，)解析解析：选选 C令令 x0，得得 yb2，令令 y0，得得 xb，所以所求三角形面积为所以所求三角形面积为12|b2|b|14b2，且，且 b0，因为，因为14b21，所以，所以 b24，所以，所以 b 的取值范围是的取值范围是2,0)(0,25已知函数已知函数 f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若，若 f4xf4x，则直线，则直线 axbyc0 的倾斜角为的倾斜角为()A.4B.3C.23D.34解析解析： 选选 D由由 f4xf4x知知， 函数函数 f(x)的图象关于的图象关于 x4对称对称， 所以所以 f(0)f2 ，所以所以ba，则直线，则直线 axbyc0 的斜率为的斜率为 kab1，又直线倾斜角的取值范围为，又直线倾斜角的取值范围为0，)，所以该直线的倾斜角为所以该直线的倾斜角为34，故选，故选 D.6 设点设点 A(1,0)， B(1,0)， 直线直线 2xyb0 与线段与线段 AB 相交相交， 则则 b 的取值范围是的取值范围是_解析解析：b 为直线为直线 y2xb 在在 y 轴上的截距轴上的截距，如图如图，当直线当直线 y2xb 过点过点 A(1,0)和点和点 B(1,0)时，时，b 分别取得最小值分别取得最小值2 和最大值和最大值 2.b 的取值范围是的取值范围是2,2答案：答案：2,27已知直线已知直线 l 过点过点(1,0)，且倾斜角为直线且倾斜角为直线 l0：x2y20 的倾斜角的的倾斜角的 2 倍倍，则直线则直线 l 的的方程为方程为_解析：解析：由题意可设直线由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为的倾斜角分别为，2，因为直线因为直线 l0：x2y20 的斜率为的斜率为12，则，则 tan 12，所以直线所以直线 l 的斜率的斜率 ktan 22tan 1tan2212112243，所以由点斜式可得直线所以由点斜式可得直线 l 的方程为的方程为 y043(x1)，即即 4x3y40.答案：答案：4x3y408.如图，射线如图，射线 OA，OB 分别与分别与 x 轴正半轴成轴正半轴成 45和和 30角，过角，过点点P(1，0)的直线的直线 AB 分别交分别交 OA，OB 于于 A，B 两点两点，当当 AB 的中点的中点 C 恰恰好 落 在 直 线好 落 在 直 线 y 12x 上 时 ， 则 直 线上 时 ， 则 直 线 AB的 方 程 为的 方 程 为_解析：解析：由题意可得由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)33，所以直线所以直线 lOA：yx，lOB：y33x.设设 A(m，m)，B( 3n，n)，所以所以 AB 的中点的中点 Cm 3n2，mn2，由点由点 C 在直线在直线 y12x 上，且上，且 A，P，B 三点共线得三点共线得mn212m 3n2，m0m1n0 3n1，解得解得 m 3，所以，所以 A( 3， 3)又又 P(1,0)，所以，所以 kABkAP3313 32，所以所以 lAB：y3 32(x1)，即直线即直线 AB 的方程为的方程为(3 3)x2y3 30.答案：答案：(3 3)x2y3 309 已知直线已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为与两坐标轴围成的三角形的面积为 3， 分别求满足下列条件的直线分别求满足下列条件的直线 l 的方程的方程：(1)过定点过定点 A(3,4)；(2)斜率为斜率为16.解：解：(1)由题意知，直线由题意知，直线 l 存在斜率存在斜率设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x3)4，它在它在 x 轴，轴，y 轴上的截距分别是轴上的截距分别是4k3,3k4，由已知，得由已知，得(3k4)4k36，解得解得 k123或或 k283.故直线故直线 l 的方程为的方程为 2x3y60 或或 8x3y120.(2)设直线设直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 b，则直线则直线 l 的方程为的方程为 y16xb，它在，它在 x 轴上的截距是轴上的截距是6b，由已知，得由已知，得|6bb|6，b1.直线直线 l 的方程为的方程为 x6y60 或或 x6y60.10已知已知ABC 的三个顶点分别为的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：，求：(1)BC 边所在直线的方程；边所在直线的方程；(2)BC 边上中线边上中线 AD 所在直线的方程；所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线边的垂直平分线 DE 所在直线的方程所在直线的方程解：解：(1)因为直线因为直线 BC 经过经过 B(2,1)和和 C(2,3)两点，两点，由两点式得由两点式得 BC 的方程为的方程为y131x222，即即 x2y40.(2)设设 BC 边的中点边的中点 D 的坐标为的坐标为(x，y)，则则 x2220，y1322.BC 边的中线边的中线 AD 经过经过 A(3,0)，D(0,2)两点，两点，由截距式得由截距式得 AD 所在直线的方程为所在直线的方程为x3y21，即即 2x3y60.(3)由由(1)知，直线知，直线 BC 的斜率的斜率 k112，则则 BC 的垂直平分线的垂直平分线 DE 的斜率的斜率 k22.由由(2)知，点知，点 D 的坐标为的坐标为(0,2)由点斜式得直线由点斜式得直线 DE 的方程为的方程为 y22(x0)，即即 2xy20.二、专项培优练二、专项培优练(一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分1已知两点已知两点 M(2，3)，N(3，2)，直线，直线 l 过点过点 P(1,1)且与线段且与线段 MN 相交，则直线相交，则直线 l的斜率的斜率 k 的取值范围是的取值范围是()A(，434，B.4，34C.34，4D.34，4解析：解析：选选 A如图所示，如图所示，kPN1 2 1 3 34，kPM1 3 124，要使直线要使直线 l 与线段与线段 MN 相交，相交，当当 l 的倾斜角小于的倾斜角小于 90时，时，kkPN；当当 l 的倾斜角大于的倾斜角大于 90时，时，kkPM，k34或或 k4.2直线直线 l 过点过点(2,2)且与且与 x 轴、轴、y 轴分别交于点轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若，若|a|b|，则直线，则直线 l 的方的方程为程为_解析：解析：若若 ab0，则直线，则直线 l 过过(0,0)与与(2,2)两点，直线两点，直线 l 的斜率的斜率 k1，直线，直线 l 的方程的方程为为 yx，即即 xy0.若若 a0，b0，设直线，设直线 l 的方程为的方程为xayb1，由题意知由题意知2a2b1，|a|b|，解得解得a4，b4，此时，直线此时，直线 l 的方程为的方程为 xy40.答案：答案：xy0 或或 xy403 过 点 过 点 ( 10,10)且 在且 在 x 轴 上 的 截 距 是 在轴 上 的 截 距 是 在 y 轴 上 截 距 的轴 上 截 距 的 4 倍 的 直 线 的 方 程 为倍 的 直 线 的 方 程 为_解析解析：当直线经过原点时当直线经过原点时， 此时直线的方程为此时直线的方程为 xy0，满足题意满足题意当直线不经过原点时当直线不经过原点时，设直线方程为设直线方程为x4aya1，把点，把点(10,10)代入可得代入可得 a152，故直线方程为，故直线方程为x302y151，即，即 x4y300.综上所述，所求直线方程为综上所述，所求直线方程为 xy0 或或 x4y300.答案：答案：xy0 或或 x4y300(二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧迁移4与同角三角函数基本关系式交汇与同角三角函数基本关系式交汇若若是直线是直线 l 的倾斜角，且的倾斜角，且 sin cos 55，则，则 l的斜率为的斜率为()A12B.12或或2C.12或或 2D2解析：解析：选选 Dsin cos 55，(sin cos )212sin cos 15，2sin cos 45，(sin cos )295，易知易知 sin 0，cos 0，sin cos 3 55，由由解得解得sin 2 55，cos 55，tan 2，即，即 l 的斜率为的斜率为2.5与不等式交汇与不等式交汇已知直线已知直线 l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线证明：直线 l 过定点；过定点；(2)若直线若直线 l 不经过第四象限，求不经过第四象限，求 k 的取值范围；的取值范围；(3)若直线若直线 l 交交 x 轴负半轴于点轴负半轴于点 A，交，交 y 轴正半轴于点轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设为坐标原点，设AOB 的面的面积为积为 S，求，求 S 的最小值及此时直线的最小值及此时直线 l 的方程的方程解解：(1)证明证明：直线直线 l 的方程可化为的方程可化为 yk(x2)1，故无论故无论 k 取何值取何值，直线直线 l 总过定点总过定点(2,1)(2)直线直线 l 的方程为的方程为 ykx2k1，则直线则直线 l 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2k1，要使直线要使直线 l 不经过第四象限，则不经过第四象限，则k0，12k0，解得解得 k0，故故 k 的取值范围是的取值范围是0，).(3)依题意，直线依题意，直线 l 在在 x 轴上的截距为轴上的截距为12kk，在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 12k，A12kk，0，B(0,12k)又又12kk0 且且 12k0，k0.故故 S12|OA|OB|1212kk(12k)124k1k412(44)4，当且仅当当且仅当 4k1k，即即 k12时，取等号时，取等号故故 S 的最小值为的最小值为 4，此时直线，此时直线 l 的方程为的方程为 x2y40.
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