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第二课时第二课时解题上解题上6 大技法破解计算繁杂这一难题大技法破解计算繁杂这一难题（阅读课（阅读课供学有余力的考生自主观摩）供学有余力的考生自主观摩）中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程回归定义，以逸待劳回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生略和思想方法圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能长点对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果典例典例如图如图，F1，F2是椭圆是椭圆 C1：x24y21 与双曲线与双曲线 C2的公共焦的公共焦点，点，A，B 分别是分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则为矩形，则 C2的离心率是的离心率是()A. 2B. 3C.32D.62解题观摩解题观摩由已知，得由已知，得 F1( 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线设双曲线 C2的实半轴长为的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得可得|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|212，解得解得 a22，故故 a 2.所以双曲线所以双曲线 C2的离心率的离心率 e3262.答案答案D关键点拨关键点拨本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长半轴长 a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点训练对点训练1.如图，设抛物线如图，设抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同，不经过焦点的直线上有三个不同的点的点 A，B，C，其中点其中点 A，B 在抛物线上在抛物线上，点点 C 在在 y 轴上轴上，则则BCF 与与ACF的面积之比是的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21解析：解析：选选 A由题意可得由题意可得SBCFSACF|BC|AC|xBxA|BF|p2|AF|p2|BF|1|AF|1.2抛物线抛物线 y24mx(m0)的焦点为的焦点为 F，点点 P 为该抛物线上的动点为该抛物线上的动点，若点若点 A(m,0)，则则|PF|PA|的最小值为的最小值为_解析解析：设点设点 P 的坐标为的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义由抛物线的定义，知知|PF|xPm，又又|PA|2(xPm)2y2P(xPm)24mxP，则，则|PF|PA|2 xPm 2 xPm 24mxP114mxP xPm 2114mxP 2 xPm 212(当且仅当且仅当当xPm 时取等号时取等号)，所以，所以|PF|PA|22，所以，所以|PF|PA|的最小值为的最小值为22.答案：答案：22设而不求，金蝉脱壳设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求典例典例已知椭圆已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 F(3，0)，过点，过点 F 的直线交的直线交 E 于于 A，B 两点若两点若 AB 的中点坐标为的中点坐标为(1，1)，则，则 E 的标准方程为的标准方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解题观摩解题观摩设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1x22，y1y22，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得得 x1x2 x1x2 a2 y1y2 y1y2 b20，所以所以 kABy1y2x1x2b2 x1x2 a2 y1y2 b2a2.又又 kAB013112，所以，所以b2a212.又又 9c2a2b2，解得解得 b29，a218，所以椭圆所以椭圆 E 的方程为的方程为x218y291.答案答案D关键点拨关键点拨(1)本题设出本题设出 A，B 两点的坐标两点的坐标，却不求出却不求出 A，B 两点的坐标两点的坐标，巧妙地表达出直线巧妙地表达出直线 AB 的斜的斜率，通过将直线率，通过将直线 AB 的斜率的斜率“算两次算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题建立几何量之间的关系，从而快速解决问题(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：凡是不必直接计算就能凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求设而不求”；“设而不求设而不求”不可避免地要设参、消参，不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多而设参的原则是宜少不宜多对点训练对点训练1已知已知 O 为坐标原点为坐标原点，F 是椭圆是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点的左焦点，A，B 分别为分别为 C 的左的左、右顶点右顶点P 为为 C 上一点，且上一点，且 PFx 轴过点轴过点 A 的直线的直线 l 与线段与线段 PF 交于点交于点 M，与，与 y 轴交于轴交于点点E，若直线，若直线 BM 经过经过 OE 的中点，则的中点，则 C 的离心率为的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：解析：选选 A设设 OE 的中点为的中点为 G，由题意设直线，由题意设直线 l 的方程为的方程为 yk(xa)，分别令分别令 xc 与与 x0 得得|FM|k(ac)，|OE|ka，由由OBGFBM，得，得|OG|FM|OB|FB|，即即12kak ac aac，整理得整理得ca13，所以椭圆，所以椭圆 C 的离心率的离心率 e13.2过点过点 M(1,1)作斜率为作斜率为12的直线与椭圆的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于相交于 A，B 两点，两点，若若M 是线段是线段 AB 的中点，则椭圆的中点，则椭圆 C 的离心率等于的离心率等于_解析：解析：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则x21a2y21b21，x22a2y22b21， x1x2 x1x2 a2 y1y2 y1y2 b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.即椭圆即椭圆 C 的离心率的离心率 e22.答案：答案：22巧设参数，变换主元巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件典例典例设椭圆设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为 A，B，点，点 P 在椭圆上且异于在椭圆上且异于 A，B 两点，两点，O 为坐标原点若为坐标原点若|AP|OA|，证明直线，证明直线 OP 的斜率的斜率 k 满足满足|k| 3.解题观摩解题观摩法一法一：依题意，直线：依题意，直线 OP 的方程为的方程为 ykx，设点，设点 P 的坐标为的坐标为(x0，y0)由条件得由条件得y0kx0，x20a2y20b21，消去消去 y0并整理，得并整理，得 x20a2b2k2a2b2.由由|AP|OA|，A(a,0)及及 y0kx0，得得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00.而而 x00，于是，于是 x02a1k2，代入代入，整理得，整理得(1k2)24k2ab24.又又 ab0，故，故(1k2)24k24，即即 k214，因此，因此 k23，所以，所以|k| 3.法二法二：依题意，直线：依题意，直线 OP 的方程为的方程为 ykx，可设点可设点 P 的坐标为的坐标为(x0，kx0)由点由点 P 在椭圆上，得在椭圆上，得x20a2k2x20b21.因为因为 ab0，kx00，所以，所以x20a2k2x20a21，即即(1k2)x20a2.由由|AP|OA|及及 A(a,0)，得，得(x0a)2k2x20a2，整理得整理得(1k2)x202ax00，于是，于是 x02a1k2，代入代入，得，得(1k2)4a2 1k2 2a2，解得解得 k23，所以，所以|k| 3.法三法三：设：设 P(acos ，bsin )(02)，则线段则线段 OP 的中点的中点 Q 的坐标为的坐标为a2cos ，b2sin .|AP|OA|AQOPkAQk1.又又 A(a,0)，所以，所以 kAQbsin 2aacos ，即即 bsin akAQcos 2akAQ.从而可得从而可得|2akAQ|b2a2k2AQa1k2AQ，解得解得|kAQ|33，故，故|k|1|kAQ| 3.关键点拨关键点拨求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量对点训练对点训练设直线设直线 l 与抛物线与抛物线 y24x 相交于相交于 A， B 两点两点， 与圆与圆 C： (x5)2y2r2(r0)相切于点相切于点 M，且且 M 为线段为线段 AB 的中点，若这样的直线的中点，若这样的直线 l 恰有恰有 4 条，求条，求 r 的取值范围的取值范围解：解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线不妨设直线 l 的方程为的方程为 xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线代入抛物线 y24x 并整理得并整理得 y24ty4m0，则有则有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么那么 x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得线段可得线段 AB 的中点的中点 M(2t2m,2t)，而由题意可得直线而由题意可得直线 AB 与直线与直线 MC 垂直，垂直，即即 kMCkAB1，可得可得2t02t2m51t1，整理得，整理得 m32t2(当当 t0 时时)，把把 m32t2代入代入16t216m0，可得可得 3t20，即，即 0t23，又由于圆心到直线的距离等于半径，又由于圆心到直线的距离等于半径，即即 d|5m|1t222t21t22 1t2r，而由而由 0t23 可得可得 2r4.故故 r 的取值范围为的取值范围为(2,4)数形结合，偷梁换柱数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞数缺形时少直观，形数与形本是两相倚，焉能分作两边飞数缺形时少直观，形少数时难入微少数时难入微”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题典例典例已知已知 F 是双曲线是双曲线 C：x2y281 的右焦点的右焦点，P 是是 C 的左支上一点的左支上一点，A(0,6 6)当当APF 周长最小时，该三角形的面积为周长最小时，该三角形的面积为_解题观摩解题观摩设双曲线的左焦点为设双曲线的左焦点为 F1，根据双曲线的定义可知，根据双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|，则则APF 的周长为的周长为|PA|PF|AF|PA|2a|PF1|AF|PA|PF1|AF|2a，由于由于|AF|2a 是定值，要使是定值，要使APF 的周长最小，的周长最小，则则|PA|PF1|最小，即最小，即 P，A，F1共线，共线，由于由于 A(0,6 6)，F1(3,0)，则直线则直线 AF1的方程为的方程为x3y6 61，即，即 xy2 63，代入双曲线方程整理可得代入双曲线方程整理可得y26 6y960，解得解得 y26或或 y8 6(舍去舍去)，所以点所以点 P 的纵坐标为的纵坐标为 2 6，所以所以1266 61262 612 6.答案答案12 6关键点拨关键点拨要求要求APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点位置关系，通过数形结合确定点 P 的位置，通过求解点的位置，通过求解点 P 的坐标进而利用三角形的面积公式的坐标进而利用三角形的面积公式来处理来处理对点训练对点训练1椭圆椭圆x25y241 的左焦点为的左焦点为 F，直线，直线 xm 与椭圆相交于点与椭圆相交于点 M，N，当，当FMN 的周长的周长最大时，最大时，FMN 的面积是的面积是()A.55B.6 55C.8 55D.4 55解析：解析：选选 C如图所示，设椭圆的右焦点为如图所示，设椭圆的右焦点为 F，连接，连接 MF，NF.因为因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当，所以当直线直线 xm 过椭圆的右焦点时，过椭圆的右焦点时，FMN 的周长最大的周长最大此时此时|MN|2b2a8 55，又，又 c a2b2 541，所以此时所以此时FMN 的面积的面积 S1228 558 55.故选故选 C.2设设 P 为双曲线为双曲线 x2y2151 右支上一点，右支上一点，M，N 分别是圆分别是圆 C1：(x4)2y24 和圆和圆 C2：(x4)2y21 上的点，设上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为 m，n，则，则|mn|()A4B.5C6D7解析：解析：选选 C由题意得，圆由题意得，圆 C1：(x4)2y24 的圆心为的圆心为(4,0)，半径为半径为 r12；圆；圆 C2：(x4)2y21 的圆心为的圆心为(4,0)，半径为，半径为 r21.设双曲线设双曲线 x2y2151 的左的左、右焦点分别为右焦点分别为 F1(4,0)，F2(4,0)如图如图所示所示，连接连接 PF1，PF2，F1M，F2N，则则|PF1|PF2|2.又又|PM|max|PF1|r1， |PN|min|PF2|r2， 所以所以|PM|PN|的最大值的最大值 m|PF1|PF2|r1r25.又又|PM|min|PF1|r1，|PN|max|PF2|r2，所以，所以|PM|PN|的最小值的最小值 n|PF1|PF2|r1r21，所以，所以|mn|6.故选故选 C.妙借向量，无中生有妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数数”与与“形形”，融数、形于一体，是数形结，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果的媒介妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果典例典例如图如图， 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中， F 是椭圆是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点的右焦点，直线直线 yb2与椭圆交于与椭圆交于 B，C 两点两点，且且BFC90，则该则该椭圆的离心率是椭圆的离心率是_解题观摩解题观摩把把 yb2代入椭圆代入椭圆x2a2y2b21，可得可得 x32a，则，则 B32a，b2 ，C32a，b2 ，而而 F(c,0)，则则 FB32ac，b2 ，FC32ac，b2 ，又又BFC90，故有故有 FBFC32ac，b2 32ac，b2 c234a214b2c234a214(a2c2)34c212a20，则有则有 3c22a2，所以该椭圆的离心率，所以该椭圆的离心率 eca63.答案答案63关键点拨关键点拨本题通过相关向量坐标的确定本题通过相关向量坐标的确定，结合结合BFC90，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算对点训练对点训练设直线设直线 l 是圆是圆 O：x2y22 上动点上动点 P(x0，y0)(x0y00)处的切线，处的切线，l 与双曲线与双曲线 x2y221 交交于不同的两点于不同的两点 A，B，则，则AOB 为为()A90B.60C45D30解析：解析：选选 A点点 P(x0，y0)(x0y00)在圆在圆 O：x2y22 上，上，x20y202，圆在点，圆在点 P(x0，y0)处的切线方程为处的切线方程为 x0 xy0y2.由由x2y221，x0 xy0y2及及 x20y202 得得(3x204)x24x0 x82x200.切线切线 l 与双曲线交于不同的两点与双曲线交于不同的两点 A，B，且，且 0 x202，3x2040，且，且16x204(3x204)(82x20)0，设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1x24x03x204，x1x282x203x204.OAOBx1x2y1y2 x1x21y20(2 x0 x1)(2 x0 x2) x1x212x204 2x0(x1 x2) x20 x1x2 82x203x20412x2048x203x204x20 82x20 3x2040，AOB90.巧用巧用“根与系数的关系根与系数的关系”，化繁为简，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例典例已知椭圆已知椭圆x24y21 的左顶点为的左顶点为 A，过过 A 作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦 AM，AN 交椭圆交椭圆于于M，N 两点两点(1)当直线当直线 AM 的斜率为的斜率为 1 时，求点时，求点 M 的坐标；的坐标；(2)当直线当直线 AM 的斜率变化时的斜率变化时， 直线直线 MN 是否过是否过 x 轴上的一定点？若过定点轴上的一定点？若过定点， 请给出证明请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由并求出该定点；若不过定点，请说明理由解题观摩解题观摩(1)直线直线 AM 的斜率为的斜率为 1 时时，直线直线 AM 的方程为的方程为 yx2，代入椭圆方程并化代入椭圆方程并化简得简得 5x216x120.解得解得 x12，x265，所以，所以 M65，45 .(2)设直线设直线 AM 的斜率为的斜率为 k，直线，直线 AM 的方程为的方程为 yk(x2)，联立方程联立方程yk x2 ，x24y21，化简得化简得(14k2)x216k2x16k240.则则 xAxM16k214k2，xMxA16k214k2216k214k228k214k2.同理，可得同理，可得 xN2k28k24.由由(1)知若存在定点，则此点必为知若存在定点，则此点必为 P65，0.证明如下：证明如下：因为因为 kMPyMxM65k28k214k2228k214k2655k44k2，同理可得同理可得 kPN5k44k2.所以直线所以直线 MN 过过 x 轴上的一定点轴上的一定点 P65，0.关键点拨关键点拨本例在第本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出问中可应用根与系数的关系求出 xM28k214k2，这体现了整体思想这是解决这体现了整体思想这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量对点训练对点训练已知椭圆已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为的离心率为12，且经过点且经过点 P1，32 ，左左、右焦点分别为右焦点分别为 F1，F2.(1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程；(2)过过 F1的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 A，B 两点，若两点，若AF2B 的内切圆半径为的内切圆半径为3 27，求以，求以 F2为圆心且与直线为圆心且与直线 l 相切的圆的方程相切的圆的方程解：解：(1)由由ca12，得，得 a2c，所以，所以 a24c2，b23c2，将点将点 P1，32 的坐标代入椭圆方程得的坐标代入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为x24y231.(2)由由(1)可知可知 F1(1,0)，设直线，设直线 l 的方程为的方程为 xty1，代入椭圆方程，整理得代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于显然判别式大于 0 恒成立，恒成立，设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B 的内切圆半径为的内切圆半径为 r0，则有则有 y1y26t43t2，y1y2943t2，r03 27，12r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)12r04a1283 2712 27，所以所以12 t2143t212 27，解得，解得 t21，因为所求圆与直线因为所求圆与直线 l 相切，所以半径相切，所以半径 r2t21 2，所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x1)2y22.
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