资源描述
课时跟踪检测（五十五）课时跟踪检测（五十五） 椭圆及其性质椭圆及其性质 一、题点全面练一、题点全面练 1方程方程 kx24y24k 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是的取值范围是( ) A(4，) B4 C(，4) D(0,4) 解析：解析：选选 D 因为椭圆的标准方程为因为椭圆的标准方程为x24y2k1，焦点在，焦点在 x 轴上，所以轴上，所以 0k4. 2(2019 六盘水模拟六盘水模拟)已知点已知点 F1，F2分别为椭圆分别为椭圆 C：x24y231 的左、右焦点，若点的左、右焦点，若点 P 在在椭圆椭圆 C 上，且上，且F1PF260 ，则，则|PF1| |PF2| ( ) A4 B.6 C8 D12 解析：解析：选选 A 由由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos60 |F1F2|2，得，得3|PF1| |PF2|12，所以，所以|PF1| |PF2|4，故选，故选 A. 3 (2018 大连二模大连二模)焦点在焦点在 x 轴上的椭圆方程为轴上的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)， 短轴的一个端点和两， 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23 解析：解析：选选 C 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得得122cb12(2a2c)b3，得，得 a2c，即，即 eca12，故选，故选 C. 4若点若点 O 和点和点 F 分别为椭圆分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为的最大值为 ( ) A2 B.3 C6 D8 解析：解析：选选 C 设点设点 P(x0，y0)，则，则x204y2031，即，即 y2033x204.因为点因为点 F(1,0)，所以，所以 OP FP x0(x01)y2014x20 x0314(x02)22.又又 x02,2，所以，所以(OP FP )max6. 5. (2019 滁州模拟滁州模拟)已知椭圆已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 F， 短轴的一个端点， 短轴的一个端点为为 M，直线直线 l：3x4y0 交椭圆交椭圆 E 于于 A，B 两点若两点若|AF|BF|4，点，点 M 到直线到直线 l 的距离不小于的距离不小于45， 则椭圆则椭圆 E 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) A. 0，32 B. 0，34 C. 32，1 D. 34，1 解析：解析：选选 A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，|AF|BF|2a4，所以，所以 a2.设设M(0，b)， 因为因为 d|304b|32 4 245，所以，所以 1b2.又又 eca1b2a2 1b24，所以，所以 0e32.故选故选 A. 6椭圆椭圆x24y21 的左、右焦点分别的左、右焦点分别为为 F1，F2，过，过 F1作垂直于作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，轴的直线与椭圆相交，一个交点为一个交点为 P，则，则|PF2|_. 解析：解析：F1( 3，0)，PF1x 轴，轴，P 3，12， |PF1 |12， |PF2 |41272. 答案：答案：72 7. 与圆与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心内切的动圆圆心 P 的轨迹的轨迹方程为方程为_ 解析：解析：设动圆的半径为设动圆的半径为 r，圆心为，圆心为 P(x，y)，则有，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以所以|PC1|PC2|10|C1C2|6，即，即 P 在以在以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，所以点的椭圆上，所以点 P 的轨的轨迹方程为迹方程为x225y2161. 答案：答案：x225y2161 8. (2019 嘉兴模拟嘉兴模拟)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，若以，若以 F2为圆心，为圆心，bc 为半径作圆为半径作圆 F2，过椭圆上一点，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为作此圆的切线，切点为 T，且，且|PT|的最小值不小于的最小值不小于32(ac)，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率 e 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：因为因为|PT|PF2|2 bc 2，|PF2|的最小值为的最小值为 ac，所以，所以|PT|的最小值为的最小值为 ac 2 bc 2. 依题意，有依题意，有 ac 2 bc 232(ac)，所以，所以(ac)24(bc)2，所以，所以 ac2(bc)，所以所以 ac2b，所以，所以(ac)24(a2c2)，所以，所以 5c22ac3a20，所以，所以 5e22e30. 又又 bc，所以，所以 b2c2，所以，所以 a2c2c2，所以，所以 2e21. 联立联立，得，得35e22. 答案：答案： 35，22 9已知椭圆已知椭圆 C 的两个顶点分别为的两个顶点分别为 A(2,0)，B(2,0)，焦点在，焦点在 x 轴上，离心率为轴上，离心率为32. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)点点 D 为为 x 轴上一点，过轴上一点，过 D 作作 x 轴的垂线交椭圆轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点于不同的两点 M，N，过，过 D 作作 AM 的的垂线交垂线交 BN 于点于点 E.求证：求证：BDE 与与BDN 的面积之比为的面积之比为 45. 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C 的方程为的方程为x2a2y2b21(ab0) 由题意得由题意得 a2，ca32，解得解得 c 3.所以所以 b2a2c21. 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x24y21. (2)证明：设证明：设 M(m，n)，则，则 D(m,0)，N(m，n) 由题设知由题设知 m 2，且，且 n0. 直线直线 AM 的斜率的斜率 kAMnm2， 故直线故直线 DE 的斜率的斜率 kDEm2n. 所以直线所以直线 DE 的方程为的方程为 ym2n(xm) 直线直线 BN 的方程为的方程为 yn2m(x2) 联立联立 ym2n xm ，yn2m x2 ， 解得点解得点 E 的纵坐标的纵坐标 yEn 4m2 4m2n2. 由点由点 M 在椭圆在椭圆 C 上，得上，得 4m24n2，所以，所以 yE45n. 又又 SBDE12|BD| |yE|25|BD| |n|， SBDN12|BD| |n|. 所以所以BDE 与与BDN 的面积之的面积之比为比为 45. 10(2019 西安模拟西安模拟)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 F2(3,0)，离心率为，离心率为 e. (1)若若 e32，求椭圆的方程；，求椭圆的方程； (2)设直线设直线 ykx 与椭圆相交于与椭圆相交于 A，B 两点，两点，M，N 分别为线段分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标的中点，若坐标原点原点 O 在以在以 MN 为直径的圆上，且为直径的圆上，且22e32，求，求 k 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由题意得由题意得 c3，ca32，所以，所以 a2 3，又因为，又因为 a2b2c2，所以，所以 b23.所以椭圆所以椭圆的方程为的方程为x212y231. (2)由由 x2a2y2b21，ykx得得(b2a2k2)x2a2b20. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以所以 x1x20，x1x2a2b2b2a2k2，依题意易知，依题意易知，OMON，四边形，四边形 OMF2N 为平行四边形，为平行四边形，所以所以 AF2BF2. 因为因为F2A (x13，y1)， F2B (x23，y2)， 所以所以F2A F2B (x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290. 即即a2 a29 1k2 a2k2 a29 90， 将其整理为将其整理为 k2a418a281a418a2181a418a2. 因为因为22e32，所以，所以 2 3a3 2，即，即 12a218. 所以所以 k218，即，即 k ，24 24， . 二、专项培优练二、专项培优练 (一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分 1(2019 长沙模拟长沙模拟)设椭圆设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为的右焦点为 F，椭圆，椭圆 C 上的两点上的两点 A，B关于原点对称， 且满足关于原点对称， 且满足 FA FB 0， |FB|FA|2|FB|， 则椭圆， 则椭圆 C 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) A. 22，53 B. 53，1 C. 22， 31 D.)31，1 解析：解析： 选选 A 设椭圆左焦点为设椭圆左焦点为 F， 由椭圆的对称性可知， 四边形， 由椭圆的对称性可知， 四边形 AFBF为平行四边形，为平行四边形， 又又 FA FB 0，即，即 FAFB，故平行四边形，故平行四边形 AFBF为矩形，所以为矩形，所以|AB|FF|2c. 设设|AF|n，|AF|m，则在，则在 RtFAF 中，中， mn2a，m2n24c2，联立，联立得得 mn2b2. 得得mnnm2c2b2，令，令mnt，得，得 t1t2c2b2. 又由又由|FB|FA|2|FB|得得mnt1,2，所以，所以 t1t2c2b2 2，52.故椭圆故椭圆 C 的离心率的取值的离心率的取值范围是范围是 22，53. 2(2019 郑州质量预测郑州质量预测)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点和上顶点分别为的左顶点和上顶点分别为 A，B.左、左、右焦点分别是右焦点分别是 F1，F2，在线段，在线段 AB 上有且只有一个点上有且只有一个点 P 满足满足 PF1PF2，则椭圆的离心率的平，则椭圆的离心率的平方为方为( ) A.32 B.3 52 C.1 52 D.312 解析：解析：选选 B 由题意得，由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段，由在线段 AB 上有且只上有且只有一个点有一个点 P 满足满足 PF1PF2，得点，得点 P 是以点是以点 O 为圆心，线段为圆心，线段 F1F2为直径为直径的圆的圆 x2y2c2与线段与线段 AB 的切点，连接的切点，连接 OP，则，则 OPAB，且，且|OP|c，即点即点 O 到直线到直线 AB 的距离为的距离为 c.又直线又直线 AB 的方程为的方程为 bxayab0，点，点 O到直线到直线 AB 的距离的距离 dabb2a2c， 两边同时平方整理得， 两边同时平方整理得， a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得，可得 b4a2b2a40，两边同时除以，两边同时除以 a4，得，得 b2a22b2a210，可，可得得b2a21 52，则，则 e2c2a2a2b2a21b2a211 523 52，故选，故选 B. (二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧迁移 3与立体几何交汇与立体几何交汇如图所示， 圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形如图所示， 圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为状，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.32 解析：解析：选选 B 设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为 1，则椭圆的短半轴长为，则椭圆的短半轴长为 1，长轴长为，长轴长为2sin 604 33，即长半轴长为即长半轴长为2 33，所以半焦距，所以半焦距为为33，故离心率为，故离心率为12. 4与数列交汇与数列交汇已知实数已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，则圆锥曲线构成一个等比数列，则圆锥曲线x2my21 的离心率为的离心率为( ) A.306 B. 7 C.306或或 7 D.56或或 7 解析：解析：选选 C 由题意知由题意知 m236，解得，解得 m 6.当当 m6 时，该圆锥曲线表示椭圆，此时时，该圆锥曲线表示椭圆，此时 a 6，b1，c 5，则，则 e306；当；当 m6 时，该圆锥曲线表示双曲线，此时时，该圆锥曲线表示双曲线，此时 a1，b 6，c 7，则，则 e 7.故选故选 C. 5与圆的交汇与圆的交汇设设 F 是椭圆是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点，的一个焦点，P 是椭圆是椭圆 C 上的点，圆上的点，圆x2y2a29与线段与线段 PF 交于交于 A，B 两点，若两点，若 A，B 三等分线段三等分线段 PF，则椭圆，则椭圆 C 的离心率为的离心率为( ) A.33 B.53 C.104 D.175 解析：解析：选选 D 如图，取线段如图，取线段 PF 的中点的中点 H，连接，连接 OH，OA.设椭圆另设椭圆另一个焦点为一个焦点为 E，连接，连接 PE. A，B 三等分线段三等分线段 PF，H 也是线段也是线段 AB 的中点，即的中点，即 OHAB. 设设|OH|d，则，则|PE|2d，|PF|2a2d，|AH|ad3. 在在 RtOHA 中，中，|OA|2|OH|2|AH|2，解得，解得 a5d. 在在 RtOHF 中，中，|FH|45a，|OH|a5，|OF|c. 由由|OF|2|OH|2|FH|2， 化简得化简得 17a225c2，ca175. 即椭圆即椭圆 C 的离心率为的离心率为175.故选故选 D. 6与向量交汇与向量交汇已知点已知点 A 在椭圆在椭圆x225y291 上，点上，点 P 满足满足 AP (1)OA (R)，且，且OA OP 72，则线段，则线段 OP 在在 x 轴上的投影长度的最大值为轴上的投影长度的最大值为_ 解析：解析： AP (1)OA ， OP OA ，则，则 O，P，A 三点共线，三点共线，OA OP 72，|OA | OP |72.设设 OP 与与 x 轴夹角为轴夹角为 ，A(x，y)，B 为点为点 A 在在 x 轴上的投影，则轴上的投影，则 OP 在在 x 轴上轴上 的投影长度为的投影长度为| OP |cos 72|OB |OA |272|x|x2y27211625|x|9|x|7212 1692515，当且，当且仅当仅当|x|154时等号成立则线段时等号成立则线段 OP 在在 x 轴上的投影长度的最大值为轴上的投影长度的最大值为 15. 答案：答案：15
展开阅读全文