资源描述
第二课时第二课时 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 考点一考点一 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1若直线若直线 ykx1 与椭圆与椭圆x25y2m1 总有公共点，则总有公共点，则 m 的取值范围是的取值范围是( ) A(1，) B(0，) C(0,1)(1,5) D1,5)(5，) 解析：解析：选选 D 由于直线由于直线 ykx1 恒过点恒过点(0,1)， 所以点所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上必在椭圆内或椭圆上， 则则 01m1 且且 m5， 故故 m1 且且 m5. 2已知直线已知直线 l：y2xm，椭圆，椭圆 C：x24y221.试问当试问当 m 取何值时，直线取何值时，直线 l 与椭圆与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点；有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)没有公共点没有公共点 解：解：将直线将直线 l 的方程与椭圆的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组的方程联立，得方程组 y2xm， x24y221， 将将代入代入，整理得，整理得 9x28mx2m240. 方程方程根的判别式根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144. (1)当当 0，即，即3 2m3 2时，方程时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解同的实数解 这时直线这时直线 l 与椭圆与椭圆 C 有两个不重合的公共点有两个不重合的公共点 (2)当当 0，即，即 m 3 2时，方程时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解数解 这时直线这时直线 l 与椭圆与椭圆 C 有两个互有两个互相重合的公共点，即直线相重合的公共点，即直线 l 与椭圆与椭圆 C 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 (3)当当 0， 即， 即 m3 2或或 m3 2时， 方程时， 方程没有实数根， 可知原方程组没有实数解 这没有实数根， 可知原方程组没有实数解 这时直线时直线 l 与椭圆与椭圆 C 没有公共点没有公共点 名师微点名师微点 判断直线与椭圆位置关系的方法判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数的个数 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 考点二考点二 弦长问题弦长问题 师生师生共研过关共研过关 典例精析典例精析 如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心的离心率为率为12，过椭圆右焦点，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦 AB 与与 CD.当直线当直线 AB 的的斜率为斜率为 0 时，时，|AB|4. (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)若若|AB|CD|487，求直线，求直线 AB 的方程的方程 解解 (1)由题意知由题意知 eca12，2a4. 又又 a2b2c2，解得，解得 a2，b 3， 所以椭圆方程为所以椭圆方程为x24y231. (2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知意知|AB|CD|7，不满足条件，不满足条件 当两弦所在直线的斜率均存在且不为当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时， 设直线时， 设直线 AB 的方程为的方程为 yk(x1)， A(x1， y1)，B(x2，y2)， 则直线则直线 CD 的方程为的方程为 y1k(x1) 将直线将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则，则 x1x28k234k2，x1 x24k21234k2， 所以所以|AB| k21|x1x2| k21 x1x2 24x1x212 k21 34k2. 同理，同理，|CD|12 1k2134k212 k21 3k24. 所以所以|AB|CD|12 k21 34k212 k21 3k24 84 k21 2 34k2 3k24 487，解得，解得 k 1， 所以直线所以直线 AB 的方程为的方程为 xy10 或或 xy10. 解题技法解题技法 1弦长的求解方法弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解 (2)当直线的斜率存在时，斜率为当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线的直线 l 与椭圆相交于与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： |AB| 1k2|x1x2|； |AB| 11k2|y1y2|(k0)； |AB| 1k2 x1x2 24x1x2； |AB| 11k2 y1y2 24y1y2. 2弦长公式的运用技巧弦长公式的运用技巧 弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小我们的经验是：若直考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小我们的经验是：若直线经过的定点在线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程纵轴上，一般设为斜截式方程 ykxb 便于运算，即便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为若直线经过的定点在横轴上，一般设为 myxa 可以减小运算量，即可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜直线定点落横轴，斜率倒数作参数率倒数作参数” 口诀记忆口诀记忆 弦长公式形式多，巧设直线是杰作；弦长公式形式多，巧设直线是杰作； 定点落在纵轴上，斜截式帮大忙；定点落在纵轴上，斜截式帮大忙； 直线定点落横轴，斜率倒数作参数直线定点落横轴，斜率倒数作参数 过关训练过关训练 1已知斜率为已知斜率为 2 的直线经过椭圆的直线经过椭圆x25y241 的右焦点的右焦点 F1，与椭圆相交于，与椭圆相交于 A，B 两点，则两点，则弦弦 AB 的长为的长为_ 解析：解析：由题意知，椭圆由题意知，椭圆的右焦点的右焦点 F1的坐标为的坐标为(1,0)，直线，直线 AB 的方程为的方程为 y2(x1) 由方程组由方程组 y2 x1 ，x25y241，消去消去 y，整理得，整理得 3x25x0. 解得解得 x0 或或 x53， 取取 A(0，2)，B 53，43， 则则|AB| 0532 24325 53. 答案：答案：5 53 2经过椭圆经过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的右焦点的直线的右焦点的直线 xy 30 交椭圆交椭圆 M 于于 A，B 两两 点，点，P 为为 AB 的中点，且直线的中点，且直线 OP 的斜率为的斜率为12. (1)求椭圆求椭圆 M 的方程；的方程； (2)C，D 为椭圆为椭圆 M 上两点，若四边形上两点，若四边形 ACBD 的对角线的对角线 CDAB，求四边形，求四边形 ACBD 的面积的面积的最大值的最大值 解：解：(1)令令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为，易知右焦点为( 3，0) 联立联立 b2x2a2y2a2b20，x 3y， 得得(a2b2)y22 3b2yb2(3a2)0， 则则 y1y22 3b2a2b2，x1x22 3(y1y2)， 即即 kOPyPxPy1y2x1x2y1y22 3 y1y2 b2a212a22b2. 因为因为 a2b23，所以，所以 a26，b23. 所以椭圆所以椭圆 M 的方程为的方程为x26y231. (2)由由(1)知方程知方程为为 3y22 3y30. 由弦长公式得：由弦长公式得：|AB| 2 |y1y2| 2 y1y2 24y1y2 2 4344 63. 令令 CD 的方程为：的方程为：xym. 由由 x26y231，xym，得得 3y22mym260， 则则 y1y22m3，y1y2m263. 由弦长公式得由弦长公式得|CD| 2 y1y2 24y1y2 2728m234. 所以所以 S四边形四边形ACBD12|AB| |CD|8 63(当且仅当当且仅当 m0 时取最大值时取最大值) 故四边形故四边形 ACBD 的面积的最大值为的面积的最大值为8 63. 考点三考点三 中点弦问题中点弦问题师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)过椭圆过椭圆x216y241 内一点内一点 P(3,1)，且被点，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是平分的弦所在直线的方程是( ) A4x3y130 B3x4y130 C4x3y50 D3x4y50 (2)如图，已知椭圆如图，已知椭圆x22y21 的左焦点为的左焦点为 F，O 为坐标原点，设过点为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段两点，线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线与与 x 轴交于点轴交于点 G，则点，则点 G 横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为_ 解析解析 (1)设所求直线与椭圆交于设所求直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，两点均在椭圆上，故故x2116y2141，x2216y2241，两式相减得，两式相减得 x1x2 x1x2 16 y1y2 y1y2 40. P(3,1)是是 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，的中点， x1x26，y1y22，故，故 kABy1y2x1x234， 直线直线 AB 的方程为的方程为 y134(x3)， 即即 3x4y130，故选，故选 B. (2)设直线设直线 AB 的方程为的方程为 yk(x1)(k0)，代入，代入x22y21，整理得，整理得(12k2)x24k2x2k220. 因为直线因为直线 AB 过椭圆的左焦点过椭圆的左焦点 F，所以方程有两个不等实根，设，所以方程有两个不等实根，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点中点 N(x0，y0)， 则则 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21， 所以所以 AB 的垂直平分线的垂直平分线 NG 的方程为的方程为 yy01k(xx0) 令令 y0，得，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k211214k22. 因为因为 k0，所以，所以12xG0， 所以点所以点 G 横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为 12，0 . 答案答案 (1)B (2) 12，0 解题技法解题技法 1处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法点差法”，步骤如下：，步骤如下： 2解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点如果点 A，B 关于直线关于直线 l对称，则对称，则 l 垂直于直线垂直于直线 AB 且且 A，B 的中点在直线的中点在直线 l 上上”的应用的应用 过关训练过关训练 1(2018 南宁模拟南宁模拟)已知椭圆已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的离心率是，则椭圆的离心率是( ) A.12 B.22 C.32 D.55 解析：解析：选选 C 设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得，分别代入椭圆方程，得 x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得两式相减得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.因为因为 kABy1y2x1x21，且，且 x1x28，y1y22，所以，所以b2a214，eca 1 ba232，故选，故选 C. 2已知椭圆已知椭圆x22y21 上两上两个不同的点个不同的点 A，B 关于直线关于直线 ymx12对对称，求实数称，求实数 m 的取值范围的取值范围 解：解：由题意知由题意知 m0，可设直线，可设直线 AB 的方程为的方程为 y1mxb. 由由 x22y21，y1mxb消去消去 y，得，得 121m2x22bmxb210. 因为直线因为直线 y1mxb 与与椭圆椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以有两个不同的交点，所以 2b224m20. 将线段将线段 AB 中点中点 2mbm22，m2bm22代入直线方程代入直线方程 ymx12解得解得 bm222m2. 由由得得 m63或或 m63. 故故 m 的取值范围为的取值范围为 ，63 63， . 考点四考点四 直线与椭圆位置关系的综合问题直线与椭圆位置关系的综合问题师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 设椭圆设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为的左焦点为 F，离心率为，离心率为33，过点，过点 F 且与且与 x 轴垂直的直线被椭轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为圆截得的线段长为4 33. (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)设设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为且斜率为 k 的直线与椭圆交于的直线与椭圆交于 C，D 两点，两点，若若 AC DB AD CB 8，O 为坐标原点，求为坐标原点，求OCD 的面积的面积 解解 (1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为4 33，所以，所以2b2a4 33. 因为椭圆的离心率为因为椭圆的离心率为33，所以，所以ca33， 又又 a2b2c2，可解得，可解得 b 2，c1，a 3. 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x23y221. (2)由由(1)可知可知 F(1,0)， 则直线则直线 CD 的方程为的方程为 yk(x1) 联立联立 yk x1 ，x23y221， 消去消去 y 得得(23k2)x26k2x3k260. 设设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以所以 x1x26k223k2，x1x23k2623k2. 又又 A( 3，0)，B( 3，0)， 所以所以 AC DB AD CB (x1 3，y1) ( 3x2，y2)(x2 3，y2) ( 3x1，y1) 62x1x22y1y2 62x1x22k2(x11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 62k21223k28， 解得解得 k 2. 从而从而 x1x26223232，x1x23262320. 所以所以|x1x2| x1x2 24x1x2 3224032， |CD| 1k2|x1x2| 12323 32. 而原点而原点 O 到直线到直线 CD 的距离为的距离为 d|k|1k221263， 所以所以OCD 的面积为的面积为 S12|CD|d123 32633 24. 解题技法解题技法 1由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路 (1)由题中直线、直线与椭圆的条件寻找由题中直线、直线与椭圆的条件寻找 a，b，c 间的关系式间的关系式(等式或不等式等式或不等式) (2)借助借助 a2b2c2转化为转化为ca的方程或不等式即可的方程或不等式即可 2直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法 (1)合理消元，消元时可以合理消元，消元时可以选择消去选择消去 y，也可以消去，也可以消去 x. (2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来 (3)构造不等式或利用函数知识求解构造不等式或利用函数知识求解 过关训练过关训练 设设 F1，F2分别是椭圆分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，的左、右焦点，M 是是 C 上一点且直线上一点且直线 MF2与与 x 轴垂直，直线轴垂直，直线 MF1与与 C 的另一个交点为的另一个交点为 N. (1)若直线若直线 MN 的斜率为的斜率为34，求，求 C 的离心率；的离心率； (2)若直线若直线 MN 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2，且，且|MN|5|F1N|，求，求 a，b. 解：解：(1)根据题设知根据题设知 M c，b2a，即，即b2a0c c 34， 整理得整理得 2b23ac. 将将 b2a2c2代入代入 2b23ac， 解得解得ca12或或ca2(舍去舍去) 故故 C 的离心率为的离心率为12. (2)由题意，原点由题意，原点 O 为为 F1F2的中点，的中点，MF2y 轴，轴， 所以直线所以直线 MF1与与 y 轴的交点轴的交点 D(0,2)是线段是线段 MF1的中点，故的中点，故b2a4，即，即 b24a. 由由|MN|5|F1N|得得|DF1|2|F1N|. 设设 N(x1，y1)，由题意知，由题意知 y10，则，则 2 cx1 c，2y12，即即 x132c，y11. 代入代入 C 的方程，得的方程，得9c24a21b21. 将将及及 c a2b2代入代入得得9 a24a 4a214a1， 解得解得 a7，b24a28， 故故 a7，b2 7.
展开阅读全文