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专题十七专题十七 坐标系与参数方程坐标系与参数方程(选修选修 44) 卷卷 卷卷 卷卷 2018 极坐标与直角坐标的互化、极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程的参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程参数方程与普通方程的互化、参数方程的的互化、参数方程的应用应用 2017 参数方程与普通方程的互参数方程与普通方程的互化、化、点到直线的距离点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互化、动直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题积的最值问题 直线的参数方程与极直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹坐标方程、动点轨迹方程的求法方程的求法 2016 参数方程与普通方程的互参数方程与普通方程的互化、 极坐标方程与直角坐标化、 极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位的互化及应用、直线与圆的位置关系置关系 参数方程、极坐标方参数方程、极坐标方程及点到直线的距程及点到直线的距离、三角函数的最值离、三角函数的最值 纵向纵向把握把握趋势趋势 考题主要考查极坐标与直考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、 参数方程与角坐标的互化、 参数方程与普通方程的互化、 曲线方程普通方程的互化、 曲线方程的求解及点到直线距离的的求解及点到直线距离的应用预计应用预计 2019 年会以直年会以直线与圆为载体考查直线与线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程圆参数方程和极坐标方程的应用的应用 考题主要考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中预计直线与圆位置关系的应用，难度适中预计 2019 年会年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质性质 横向横向把握把握重点重点 1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用 2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用注意转化思想的应用 极坐标方程及应用极坐标方程及应用 由题知法由题知法 1圆的极坐标方程圆的极坐标方程 若圆心为若圆心为 M(0，0)，半径为，半径为 r，则圆的方程为：，则圆的方程为：220cos(0)20r20. 几个特殊位置的圆的极坐标方几个特殊位置的圆的极坐标方程：程： (1)当圆心位于极点，半径为当圆心位于极点，半径为 r：r； (2)当圆心位于当圆心位于 M(a,0)，半径为，半径为 a：2acos ； (3)当圆心位于当圆心位于 M a，2，半径为，半径为 a：2asin . 2直线的极坐标方程直线的极坐标方程 若直线过点若直线过点 M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，且极轴与此直线所成的角为 ，则它的方程为：，则它的方程为：sin()0sin(0) 几个特殊位置的直线的极坐标方程：几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：直线过极点：0和和 0； (2)直线过点直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：且垂直于极轴：cos a； (3)直线过直线过 M b，2且平行于极轴：且平行于极轴：sin b. 典例典例 (2019 届 高 三届 高 三 广 州 七 校 第 一 次 联 考广 州 七 校 第 一 次 联 考 ) 已 知 曲 线已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为的 参 数 方 程 为 x2 5cos ，y1 5sin ( 为参数为参数)，以坐标原点，以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线求曲线 C 的极坐标方程；的极坐标方程； (2)设设 l1：6，l2：3，若，若 l1，l2与曲线与曲线 C 相交于异于原点的两点相交于异于原点的两点 A，B，求，求AOB的面积的面积 解解 (1)曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x2 5cos ，y1 5sin ( 为参数为参数)， 曲线曲线 C 的普通方程为的普通方程为(x2)2(y1)25. 将将 xcos ，ysin 代入并化简得代入并化简得 4cos 2sin ， 曲线曲线 C 的极的极坐标方程为坐标方程为 4cos 2sin . (2)在极坐标系中，曲线在极坐标系中，曲线 C：4cos 2sin ， 由由 6，4cos 2sin ，得得|OA|2 31. 同理可得同理可得|OB|2 3. 又又AOB6， SAOB12|OA| |OB|sinAOB85 34. AOB 的面积为的面积为85 34. 类题通法类题通法 1极坐标方程与普通方程的互化技巧极坐标方程与普通方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧， 将极坐标方程构造成含有或同时平方技巧， 将极坐标方程构造成含有cos ， sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程 (2)巧借两角和差公式，转化巧借两角和差公式，转化 sin( )或或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程到普通方程 (3)将直角坐标方程中的将直角坐标方程中的 x 转化为转化为 cos ，将，将 y 换成换成 sin ，即可得到其极坐标方程，即可得到其极坐标方程 2求解与极坐标有关的问题的主要方法求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用结合使用 (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标为极坐标 应用通关应用通关 1(2019 届高三届高三 南宁模拟南宁模拟)已知曲线已知曲线 C1的参数方程为的参数方程为 xcos ，y1sin ( 为参数为参数)，以坐标，以坐标原点为极点，原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 4sin 3，直线直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y33x. (1)求曲线求曲线 C1和直线和直线 l 的极坐标方程；的极坐标方程； (2)已知直线已知直线 l 分别与曲线分别与曲线 C1、曲线、曲线 C2相交于异于极点的相交于异于极点的 A，B 两点，若两点，若 A，B 的极径的极径分别为分别为 1，2，求，求|21|的值的值 解：解：(1)由曲线由曲线 C1的参数方程为的参数方程为 xcos ，y1sin ( 为参数为参数)， 得曲线得曲线 C1的普通方程为的普通方程为 x2(y1)21， 则则 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 2sin . 易知直线易知直线 l 过原点，且倾斜角为过原点，且倾斜角为6， 故直线故直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 6(R R) (2)曲线曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 2sin ， 直线直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 6， 将将 6代入代入 C1的极坐标方程得的极坐标方程得 11， 将将 6代入代入 C2的极坐标方程得的极坐标方程得 24， |21|3. 2(2018 全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的方程为的方程为 yk|x|2.以坐标原点为以坐标原点为极点，极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为的极坐标方程为 22cos 30. (1)求求 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若若 C1与与 C2有且仅有三个公共点，求有且仅有三个公共点，求 C1的方程的方程 解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)由由(1)知知 C2是圆心为是圆心为 A(1,0)，半径为，半径为 2 的圆的圆 由题设知，由题设知，C1是过点是过点 B(0,2)且关于且关于 y 轴对称的两条射线记轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为轴右边的射线为 l1，y 轴轴左边的射线为左边的射线为 l2. 由于点由于点 B 在圆在圆 C2的外面， 故的外面， 故 C1与与 C2有且仅有三个公共点等价于有且仅有三个公共点等价于 l1与与 C2只有一个公共只有一个公共点且点且 l2与与 C2有两个公共点，或有两个公共点，或 l2与与 C2只有一个公共点且只有一个公共点且 l1与与 C2有两个公共点有两个公共点 当当 l1与与 C2只有一个公共点时，点只有一个公共点时，点 A 到到 l1所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所以，所以|k2|k212，故，故 k43或或 k0. 经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点； 当当 k43时，时，l1与与 C2只有一个公共点，只有一个公共点，l2与与 C2有两个公共点有两个公共点 当当 l2与与 C2只有一个公共点时，点只有一个公共点时，点 A 到到 l2所在直线的距离为所在直线的距离为 2，所以，所以|k2|k212，故，故 k0 或或 k43. 经检验，当经检验，当 k0 时，时，l1与与 C2没有公共点；没有公共点； 当当 k43时，时，l2与与 C2没有公共点没有公共点 综上，所求综上，所求 C1的方程为的方程为 y43|x|2. 参数方程及应用参数方程及应用 由题知法由题知法 常见的几种曲线的普通方程和参数方程常见的几种曲线的普通方程和参数方程 点的点的 轨迹轨迹 普通方程普通方程 参数方程参数方程 直线直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数为参数) 圆圆 (xx0)2(yy0)2r2 xx0rcos ，yy0rsin ( 为参数为参数) 椭圆椭圆 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin ( 为参数为参数) 抛物线抛物线 y22px x2pt2，y2pt(t 为参数为参数) 典例典例 已知直线已知直线 l 的参数方程为的参数方程为 xt，ymt(t 为参数为参数)，圆，圆 C 的参数方程为的参数方程为 xcos ，y1sin ( 为参数为参数) (1)若直线若直线 l 与圆与圆 C 的相交弦长不小于的相交弦长不小于 2，求实数，求实数 m 的取值范围；的取值范围； (2)若点若点 A 的坐标为的坐标为(2,0)，动点，动点 P 在圆在圆 C 上，试求线段上，试求线段 PA 的中点的中点 Q 的轨迹方程的轨迹方程 解解 (1)由直线由直线 l 的参数方程为的参数方程为 xt，ymt(t 为参数为参数)，得直线，得直线 l 的普通方程为的普通方程为 ymx， 由圆由圆 C 的参数方程为的参数方程为 xcos y1sin ( 为参数为参数)， 得圆得圆 C 的普通方程为的普通方程为 x2(y1)21. 则圆心则圆心(0,1)到直线到直线 l 的距离的距离 d1m21， 故相交弦长为故相交弦长为 2 11m21， 所以所以 2 11m21 2， 解得解得 m1 或或 m1. 所以实数所以实数 m 的取值范围为的取值范围为(，11，) (2)设设 P(cos ，1sin )，Q(x，y)， 则则 x12(cos 2)，y12(1sin )， 消去消去 ，整理可得线段，整理可得线段 PA 的中点的中点 Q 的轨迹方程为的轨迹方程为 (x1)2 y12214. 类题通法类题通法 1参数方程化为普通方程消去参参数方程化为普通方程消去参数的方法数的方法 (1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法消参法 (2)三角恒等式法：利用三角恒等式法：利用 sin2cos21 消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法是运用三角恒等式法 (3)常见消参数的关系式：常见消参数的关系式： t1t1； t1t2 t1t24； 2t1t22 1t21t221. 2与参数方程有关问题的求解方法与参数方程有关问题的求解方法 (1)过定点过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为的直线参数方程的标准形式为 xx0tcos ，yy0tsin (t 为为参数参数)，|t|等于直线上的点等于直线上的点 P 到点到点 P0(x0，y0)的距离若直线上任意两点的距离若直线上任意两点 P1，P2对应的参数对应的参数分别为分别为 t1，t2，则，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为的中点对应的参数为12(t1t2) (2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 应用通关应用通关 1(2018 全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x2cos ，y4sin ( 为参为参数数)，直线，直线 l 的参数方程为的参数方程为 x1tcos ，y2tsin (t 为参数为参数) (1)求求 C 和和 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若曲线若曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐标为(1,2)，求，求 l 的斜率的斜率 解：解：(1)曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为x24y2161.当当 cos 0 时，时，l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当当 cos 0 时，时，l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x1. (2)将将 l 的参数方程代入的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线因为曲线 C 截直线截直线 l 所得线段的中点所得线段的中点(1,2)在在 C 内，内， 所以所以有两个解，设为有两个解，设为 t1，t2，则，则 t1t20. 又由又由得得 t1t24 2cos sin 13cos2， 故故 2cos sin 0， 于是直线于是直线 l 的斜率的斜率 ktan 2. 2 (2018 石 家 庄 质 检石 家 庄 质 检 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 圆中 ， 圆 C 的 参 数 方 程 为的 参 数 方 程 为 x5 2cos t，y3 2sin t(t 为参数为参数)，在以原点，在以原点 O 为极点，为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线系中，直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 4 2. (1)求圆求圆 C 的普通方程和直线的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)设直线设直线 l 与与 x 轴，轴，y 轴分别交于轴分别交于 A，B 两点，点两点，点 P 是圆是圆 C 上任意一点，求上任意一点，求 A，B 两点两点的极坐标和的极坐标和PAB 面积的最小值面积的最小值 解：解：(1)由由 x5 2cos t，y3 2sin t消去参数消去参数 t， 得得(x5)2(y3)22， 所以圆所以圆 C 的普通方程为的普通方程为(x5)2(y3)22. 由由 cos 4 2，得，得 cos sin 2， 所以直线所以直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy20. (2)直线直线 l 与与 x 轴，轴，y 轴的交点分别为轴的交点分别为 A(2,0)，B(0,2)， 化为极坐标为化为极坐标为 A(2，)，B 2，2， 设点设点 P 的坐标为的坐标为(5 2cos t,3 2sin t)， 则点则点 P 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d|5 2cos t3 2sin t2|2 62cos t42. 所以所以 dmin422 2，又，又|AB|2 2. 所以所以PAB 面积的最小值是面积的最小值是 S122 22 24. 极坐标方程与参数方程的综合问题极坐标方程与参数方程的综合问题 由题知法由题知法 典例典例 (2018 郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 l 过点过点(1,0)，倾斜角为倾斜角为 ，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线线 C 的极坐标方程的极坐标方程是是 8cos 1cos2. (1)写出直线写出直线 l 的参数方程和曲线的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若若 4，设直线，设直线 l 与曲线与曲线 C 交于交于 A，B 两点，求两点，求AOB 的面积的面积 解解 (1)由题意可得直线由题意可得直线 l 的参数方程为的参数方程为 x1tcos ，ytsin (t 为参数为参数) 曲线曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 8cos 1cos2， sin28cos ， 2sin28cos ， 即曲线即曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y28x. (2)法一：法一：当当 4时，直线时，直线 l 的参数方程为的参数方程为 x122t，y22t(t 为参数为参数)， 代入代入 y28x 可得可得 t28 2t160， 设设 A，B 两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为 t1，t2， 则则 t1t28 2，t1t216， |AB|t1t2| t1t2 24t1t28 3. 又点又点 O 到直线到直线 AB 的距离的距离 d1sin422， SAOB12|AB|d128 3222 6. 法二：法二：当当 4时，直线时，直线 l 的方程为的方程为 yx1， 设设 M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由由 y28x，yx1，得得 y28y80， 则则 y1y28，y1y28， SAOB12|OM|y1y2|121 y1y2 24y1y212 824 8 124 62 6. 类题通法类题通法 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略解极坐标方程与参数方程综合问题的策略 (1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清通方程，这样思路可能更加清晰晰 (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷 (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 应用通关应用通关 1(2018 合肥第一次质量检测合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的参数方程为的参数方程为 x3cos ，y2sin ( 为参数为参数)，在以坐标原点，在以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线线 C2：2cos 0. (1)求曲线求曲线 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若曲线若曲线 C1上有一动点上有一动点 M，曲线，曲线 C2上有一动点上有一动点 N，求，求|MN|的最小值的最小值 解：解：(1)由由 2cos 0 得得 22cos 0. 2x2y2，cos x，x2y22x0， 即曲线即曲线 C2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y21. (2)由由(1)可知，圆可知，圆 C2的圆心为的圆心为 C2(1,0)，半径为，半径为 1. 设曲线设曲线 C1上的动点上的动点 M(3cos ，2sin )， 由动点由动点 N 在圆在圆 C2上可得上可得|MN|min|MC2|min1. |MC2| 3cos 1 24sin2 5cos26cos 5， 当当 cos 35时，时，|MC2|min4 55， |MN|min|MC2|min14 551. 2 (2018 陕西质检陕西质检)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线中， 已知曲线 C 的参数方程为的参数方程为 xtcos ，ysin (t0， 为参数为参数)以坐标原点以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极的极坐标方程为坐标方程为 2sin 43. (1)当当 t1 时，求曲线时，求曲线 C 上的点到直线上的点到直线 l 的距离的最大值；的距离的最大值； (2)若曲线若曲线 C 上的所有点都在直线上的所有点都在直线 l 的下方，求实数的下方，求实数 t 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由由 2sin 43，得，得 sin cos 3， 把把 xcos ，ysin 代入，得直线代入，得直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy30， 当当 t1 时，曲线时，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 xcos ，ysin ( 为参数为参数)， 消去参数得曲线消去参数得曲线 C 的普通方程为的普通方程为 x2y21， 曲线曲线 C 为圆，且圆心为为圆，且圆心为 O，半径，半径 r1， 则点则点 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d|003|23 22， 曲线曲线 C 上的点到直线上的点到直线 l 的距离的最大值为的距离的最大值为 13 22. (2)曲线曲线 C 上的所有点均在直线上的所有点均在直线 l 的下方，的下方， 对任意的对任意的 R R，tcos sin 30 恒成立，恒成立， 即即 t21cos()3 其中其中tan 1t恒成立，恒成立， t213， 又又 t0，0t2 2. 实数实数 t 的取值范围为的取值范围为(0,2 2) 专题跟踪检测专题跟踪检测(对应配套卷对应配套卷 P207) 1(2018 全国卷全国卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，中，O 的参数方程为的参数方程为 xcos ，ysin ( 为参为参数数)，过点，过点(0， 2)且且倾斜角为倾斜角为 的直线的直线 l 与与O 交于交于 A，B 两点两点 (1)求求 的取值范围；的取值范围； (2)求求 AB 中点中点 P 的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程 解：解：(1)O 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y21. 当当 2时，时，l 与与O 交于两点交于两点 当当 2时，记时，记 tan k，则，则 l 的方程为的方程为 ykx 2. l 与与O 交于两点需满足交于两点需满足21k21， 解得解得 k1， 即即 2，34或或 4，2. 综上，综上， 的取值范围是的取值范围是 4，34. (2)l 的参数方程为的参数方程为 xtcos ，y 2tsin （t 为参数，为参数，434）.设设 A，B，P 对应的参数分对应的参数分别为别为 tA，tB，tP， 则则 tPtAtB2，且，且 tA，tB满足满足 t22 2tsin 10. 于是于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点又点 P 的坐标的坐标(x，y)满足满足 xtPcos ，y 2tPsin ， 所以点所以点 P 的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 x22sin 2，y2222cos 2 （ 为参数，为参数，434）. 2(2018 开封模拟开封模拟)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 C1的参数方程为的参数方程为 xtcos ，ytsin (t 为参为参数数)，圆，圆 C2：(x2)2y24，以坐标原点，以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求求 C1，C2的极坐标方程和交点的极坐标方程和交点 A 的坐标的坐标(非坐标原点非坐标原点)； (2)若直线若直线 C3的极坐标方程为的极坐标方程为 4(R R)，设，设 C2与与 C3的交点为的交点为 B(非坐标原点非坐标原点)，求，求OAB 的最大面积的最大面积 解：解：(1)由由 xtcos ，ytsin (t 为参数为参数)，得曲线，得曲线 C1的普通方程为的普通方程为 yxtan ，故曲线，故曲线 C1的极的极坐标方程为坐标方程为 (R R)将将 xcos ，ysin 代入代入(x2)2y24，得，得 C2的极坐标方程的极坐标方程为为 4cos .故交点故交点 A 的坐标为的坐标为(4cos ，)(也可写出直角坐标也可写出直角坐标) (2)由题意知，点由题意知，点 B 的极坐标为的极坐标为 2 2，4. SOAB 122 24cos sin 4 2 2sin 242 ， 当当 sin 241 时，时，(SOAB)max2 22， 故故OAB 的最大面积是的最大面积是 2 22. 3(2018 辽宁五校协作体联考辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为的原点，极轴为 x 轴轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2sin ，0，2 . (1)求曲线求曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)在曲线在曲线 C 上求一点上求一点 D，使它到直线，使它到直线 l： x 3t 3，y3t2(t 为参数为参数)的距离最短，写出的距离最短，写出D 点的直角坐标点的直角坐标 解：解：(1)由由 2sin ，可得，可得 22sin ， 曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y22y0. (2)由直线由直线 l 的参数方程为的参数方程为 x 3t 3，y3t2(t 为参数为参数)，消去，消去 t 得得 l 的普通方程为的普通方程为 3xy50， 由由(1)得曲线得曲线 C 的圆心为的圆心为(0,1)，半径为，半径为 1， 又点又点(0,1)到直线到直线 l 的距离为的距离为|15|1321， 所以曲线所以曲线 C 与与 l 相离相离 因为点因为点 D 在曲线在曲线 C 上，上， 所以可设所以可设 D(cos ，1sin )，则点，则点 D 到直线到直线 l 的距离的距离 d| 3cos 1sin 5|2 2sin 342， 当当 sin 31 时，点时，点 D 到直线到直线 l 的距离的距离 d 最短，此时最短，此时 6，故点，故点 D 的直角坐标为的直角坐标为 32，32. 4(2019 届高三届高三 昆明调研昆明调研)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为中，已知倾斜角为 的直线的直线 l 过点过点A(2,1)以坐标原点以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为2sin ，直线，直线 l 与曲线与曲线 C 分别交于分别交于 P，Q 两点两点 (1)写出直线写出直线 l 的参数方程和曲线的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)若若|PQ|2|AP| |AQ|，求直线，求直线 l 的斜率的斜率 k. 解：解：(1)直线直线 l 的参数方程为的参数方程为 x2tcos ，y1tsin (t 为参数为参数)， 曲线曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x2y22y. (2)将直线将直线 l 的参数方程代入曲线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得的直角坐标方程，得 t2(4cos )t30， 由由 (4cos )2430，得，得 cos234， 则则 t1t24cos ，t1 t23， 由参数的几何意义知，由参数的几何意义知， |AP|t1|，|AQ|t2|， |PQ|t1t2|， 由题意知，由题意知，(t1t2)2t1 t2， 则则(t1t2)25t1 t2，得，得(4cos )253， 解得解得 cos21516，满足，满足 cos234， 所以所以 sin2116，tan2115， 所以直线所以直线 l 的斜率的斜率 ktan 1515. 5已知曲线已知曲线 C： x2cos ，y 3sin ( 为参数为参数)和定点和定点 A(0， 3)，F1，F2是此曲线的左、右是此曲线的左、右焦点，以坐标原点焦点，以坐标原点 O 为极点，以为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线求直线 AF2的极坐标方程；的极坐标方程； (2)经过点经过点 F1且与直线且与直线 AF2垂直的直线垂直的直线 l 交曲线交曲线 C 于于 M， N 两点， 求两点， 求|MF1|NF1|的值的值 解：解：(1)曲线曲线 C： x2cos ，y 3sin 可化为可化为x24y231， 故曲线故曲线 C 为椭为椭圆，则焦点圆，则焦点 F1(1,0)，F2(1,0) 所以经过点所以经过点 A(0， 3)和和 F2(1,0)的直线的直线 AF2的方程为的方程为 xy31，即，即 3xy 30， 所以直线所以直线 AF2的极坐标方程为的极坐标方程为 3cos sin 3. (2)由由(1)知，直线知，直线 AF2的斜率为的斜率为 3，因为，因为 lAF2，所以直线，所以直线 l 的斜率为的斜率为33，即倾斜角，即倾斜角为为 30 ， 所以直线所以直线 l 的参数方程为的参数方程为 x132t，y12t(t 为参数为参数)， 代入椭圆代入椭圆 C 的方程中，得的方程中，得 13t212 3t360. 则则 t1t212 313. 因为点因为点 M，N 在点在点 F1的两侧，的两侧， 所以所以|MF1|NF1|t1t2|12 313. 6(2018 潍坊模拟潍坊模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的参数方程为的参数方程为 x2cos ，y22sin ( 为参数为参数)，以坐标原点，以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程的极坐标方程为为 cos2sin (0,0) (1)写出曲线写出曲线 C1的极坐标方程，并求的极坐标方程，并求 C1与与 C2交点的极坐标；交点的极坐标； (2)射线射线 63与曲线与曲线 C1，C2分别交于点分别交于点 A，B(A，B 异于原点异于原点)，求，求|OA|OB|的取的取值范围值范围 解：解：(1)由题意可得曲线由题意可得曲线 C1的普通的普通方程为方程为 x2(y2)24， 把把 xcos ，ysin 代入，得曲线代入，得曲线 C1的极坐标方程为的极坐标方程为 4sin ， 联立联立 4sin ，cos2sin ，得得 4sin cos2sin ，此时，此时 0， 当当 sin 0 时，时，0，0，得交点的极坐标为，得交点的极坐标为(0,0)； 当当 sin 0 时，时，cos214，得，得 cos 12， 当当 cos 12时，时，3，2 3，得交点的极坐标为，得交点的极坐标为 2 3，3， 当当 cos 12时，时，23，2 3，得交点的极坐标为，得交点的极坐标为 2 3，23， C1与与 C2交点的极坐标为交点的极坐标为(0,0)， 2 3，3， 2 3，23. (2)将将 代入代入 C1的极坐标方程中，得的极坐标方程中，得 14sin ， 代入代入 C2的极坐标方程中，得的极坐标方程中，得 2sin cos2， |OA|OB|4sin sin cos24cos2. 63，14cos23， |OA|OB|的取值范围为的取值范围为1,3 7(2018 福州模拟福州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C： xtcos ，ysin ( 为参数，为参数，t0)在以坐标原点在以坐标原点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l：cos 4 2. (1)若若 l 与曲线与曲线 C 没有公共点，求没有公共点，求 t 的取值范围；的取值范围； (2)若曲线若曲线 C 上存在点到上存在点到 l 的距离的最大值为的距离的最大值为62 2，求，求 t 的值的值 解：解：(1)因为直线因为直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 4 2，即，即 cos sin 2， 所以直线所以直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy2. 因为曲线因为曲线 C 的参数方程为的参数方程为 xtcos ，ysin ( 为参数，为参数，t0)， 所以曲线所以曲线 C 的普通方程为的普通方程为x2t2y21(t0)， 由由 xy2，x2t2y21，消去消去 x，得，得(1t2)y24y4t20， 所以所以 164(1t2)(4t2)0， 又又 t0，所以，所以 0t 3， 故故 t 的取值范围为的取值范围为(0， 3) (2)由由(1)知直线知直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xy20， 故曲线故曲线 C 上的点上的点(tcos ，sin )到到 l 的距离的距离 d|tcos sin 2|2， 故故 d 的最大值为的最大值为t2122， 由题设得由题设得t212262 2， 解得解得 t 2. 又又 t0，所以，所以 t 2. 8(2019 届高三届高三 成都诊断成都诊断)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x2cos ，y22sin ( 为参数为参数)，直线，直线 l 的参数方程为的参数方程为 x 332t，y312t(t 为参数为参数)在以坐标原在以坐标原点点 O 为极点，为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O 的射线与曲线的射线与曲线 C 相交于不同于相交于不同于极点的点极点的点 A，且点，且点 A 的极坐标为的极坐标为(2 3，)，其中，其中 2， . (1)求求 的值；的值； (2)若射线若射线 OA 与直线与直线 l 相交于点相交于点 B，求，求|AB|的值的值 解：解：(1)由题意知，曲线由题意知，曲线 C 的普通方程为的普通方程为 x2(y2)24， xcos ，ysin ， 曲线曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为(cos )2(sin 2)24， 即即 4sin . 由由 2 3，得，得 sin 32， 2， ，23. (2)易知直线易知直线 l 的普通方程为的普通方程为 x 3y4 30， 直线直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 cos 3sin 4 30. 又射线又射线 OA 的极坐标方程为的极坐标方程为 23(0)， 联立联立 23 0 ，cos 3sin 4 30，解得解得 4 3. 点点 B 的极坐标为的极坐标为 4 3，23， |AB|BA|4 32 32 3.
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