精校版人教版数学高中选修第2讲1 圆周角定理

最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料选修41第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数1圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补2在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的3“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】不正确“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图若ABDG，则BACEDF，但.利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦，求此弦所对的圆周角【思路探究】过圆心作弦的垂线构造直角三角形先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数【自主解答】如图所示，过点O作ODAB于点D.ODAB，OD经过圆心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30°，AOD60°.AOB2AOD120°.ACBAOB60°.AOB120°，劣弧的度数为120°，优弧的度数为240°.AEB×240°120°，此弦所对的圆周角为60°或120°.1解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算图211已知如图211，ABC内接于O，点D是上任意一点，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长【解】，ADBCDE.又，BADECD.ABDCED.即.ED2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图212，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图212(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SAD·AE，求BAC的大小【思路探究】(1)通过证明角相等来证明三角形相似(2)利用(1)的结论及面积相等求sinBAC的大小，从而求BAC的大小【自主解答】(1)由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因为ABEADC，所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，则sinBAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90°.1解答本题(2)时关键是利用AB·ACAD·AE以及面积SAB·ACsinBAC确定sinBAC的值2利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题如图213，ABC内接于O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交O于F，求证：BFBH.图213【证明】BEAC，ADBC，AHEC.AHEBHF，FC，BHFF.BFBH.直径所对的圆周角问题图214如图214所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积【思路探究】由AB是半圆的直径知C90°，再由条件求出OD、CD、BC的长可得四边形OBCD的面积【自主解答】AB是半圆的直径，C90°.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位线，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四边形OBCD(ODBC)·DC(36)×418 cm2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图215如图215，已知等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若BAC50°，则的度数为()A25°B50°C100° D120°【解析】如图，连接AF.AC为O的直径，AFC90°，AFBC，ABAC，BAFBAC25°，的度数为50°.【答案】B(教材第26页习题2.1第3题)图216如图216，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF和AD相交于E，求证：AEBE.(2013·陕西高考)如图217，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD2DA2，则PE_.图217【命题意图】本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识【解析】BCPE，CPED.CA，APED.在PED和PAE中，PEDA，PP，PEDPAE，.PAPDDA3，PD2，PE2PA·PD3×26，PE.【答案】1如图218，在O中，BAC60°，则BDC()图218A30°B45°C60° D75°【解析】O中，BAC与BDC都是所对的圆周角，故BDCBAC60°.【答案】C2在ABC中，ABAC，ABAC，O是ABC的外接圆，则所对的圆心角为()A22.5° B45°C90° D不确定【解析】ACB45°，所对的圆心角为2ACB90°.【答案】C3(2013·焦作模拟)如图219，A、B、C是O的圆周上三点，若BOC3BOA，则CAB是ACB的_倍图219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如图2110所示，两个同心圆中，的度数是30°，且大圆半径R4，小圆半径r2，则的度数是_图2110【解析】的度数等于AOB，又的度数等于AOB，则的度数是30°.【答案】30°一、选择题图21111如图2111所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()A1对B2对C3对 D4对【解析】由推论知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是()A30° B30°或150°C60° D60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】B3如图2112所示，等腰ABC内接于O，ABAC，A40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD、DE、BE，则BDE的三内角的度数分别是()图2112A50°，30°，100° B55°，20°，105°C60°，10°，110° D40°，20°，120°【解析】如图所示，连接AD.ABAC，D是的中点，AD过圆心O.A40°，BEDBAD20 °，CBDCAD20°.E是的中点，CBECBA35°，EBDCBECBD55°.BDE180°20°55°105°，故选B.【答案】B4如图2113，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB30°，则圆O的面积等于()图2113A4 B8C12 D16【解析】连接OA，OB.ACB30°，AOB60°，又OAOB，AOB为等边三角形又AB4，OAOB4.SO·4216.【答案】D二、填空题图21145(2013·平顶山模拟)如图2114，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.【解析】连接CD，AC是O的直径，CDA90°.由射影定理得BC2BD·BA，AC2AD·AB，即.【答案】6如图2115，AB为O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPD_.图2115【解析】由于AB为O的直径，则ADP90°，所以APD是直角三角形则sinAPD，cosAPD，由题意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，则.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答题7如图2116，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD.(1)求证：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的长图2116【解】(1)证明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知.BACADB.ABEABD.ABEDBA.BE3，ED6，BD9.AB2BE·BD3×927.AB3.8如图2117, ABC是圆O的内接等边三角形，ADAB，与BC的延长线相交于点D，与圆O相交于点E，若圆O的半径r1，求DE的长度图2117【解】连接BE，ADAB，BE为O的直径，且BE2r2.又AEBACB60°，ABE30°，EBD30°.又ABD60°，DEBD30°，DEBE2.9如图2118所示，在圆内接ABC中，ABAC，D是BC边上的一点，E是直线AD和ABC外接圆的交点图2118(1)求证：AB2AD·AE；(2)如图2118所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由【解】(1)证明：如右图，连接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB.ABDAEB.ABAEADAB，即AB2AD·AE.(2)如图，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，ADBC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BFBD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理【解】(1)证明：连接FC，则BFFC.在BDE和BCF中，BFCEDB90°FBCEBD，BDEBFC.即BE·BFBD·BC.(2)连接AC、AB，则BAC90°.，12.又2ABC90°，3ABD90°，23，13.AEBE.在RtEBD中，BE>BD，AE>BD.最新精品资料