三年模拟一年创新高考数学 复习 第八章 第七节 空间角与距离 理全国通用

第七第七节节 空间角与距离空间角与距离 A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1(20 xx泰安模拟)已知向量m m，n n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 cosm m，n n12，则l与所成的角为( ) A30 B60 C120 D150 解析 设l与所成角为，cos m m，n n 12，又直线与平面所成角满足 090，sin 12.30. 答案 A 2(20 xx广州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则 sinCM，D1N的值为( ) A.19 B.4 59 C.2 59 D.23 解析 设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)， cosCM，D1N19，sinCM，D1N4 59. 答案 B 3(20 xx石家庄调研)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则点D1到平面A1BD的距离是( ) A.32 B.22 C.2 23 D.2 33 解析 如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， D1A1(2，0，0)，DA1(2，0，2)，DB(2，2，0)， 设平面A1BD的法向量n n(x，y，z)， 则n nDA12x2z0，n nDB2x2y0.令x1，则n n(1，1，1) 点D1到平面A1BD的距离 d|D1A1n n|n n|232 33. 答案 D 4(20 xx江西南昌质检)二面角l等于 120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 解析 如图，二面角l等于 120， CA与BD夹角为 60. 由题设知，CAAB， ABBD，|AB|AC|BD|1， |CD|2|CAABBD|2 |CA|2|AB|2|BD|22CAAB2ABBD2CABD32cos 604，|CD|2. 答案 C 二、填空题 5(20 xx青岛模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_ 解析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设n n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量， 则n nA1B0，n nA1C10， 即2yz0 x2y0，令z2，则y1，x2， 于是n n(2，1，2)，D1C1(0，2，0)， sin |cosn n，D1C1|13. 答案 13 一年创新演练 6已知正方形ABCD的边长为 4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_ 解析 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则CG(0，0，2)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n n(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d|n nCG|n n|6 1111. 答案 6 1111 7如图，三棱锥PABC中，PAPBPC 3，CACB 2，ACBC. (1)求点B到平面PAC的距离； (2)求二面角CPAB的余弦值 解 取AB中点O，连接OP，CO， CACB 2，ACB90， COAB，且AB2，CO1. PAPB 3，POAB，且POPA2AO2 2.PO2OC23PC2， POC90，即POOC. OA，OC，OP两两垂直 如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2) (1)设平面PAC的一个法向量为n n(x，y，1)，则n nAC0，n nPA0. AC(1，1，0)，PA(1，0， 2)， xy0，x 20，xy 2， n n( 2， 2，1)AB(2，0，0)， 点B到平面PAC的距离为 d|n nAB|n n|2 22212 105. (2)OC(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn n，OC2221105. 综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角， 二面角CPAB的余弦值为105. B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8(20 xx宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A.64 B.104 C.22 D.32 解析 法一 取A1C1的中点E，连接AE、B1E. 由题易知B1E平面ACC1A1， 则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为 1，则 sinB1AEB1EAB132264，故选 A. 法二 如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为 1，则 A(12，0，1)，B1(0，32，0)，设AB1与面ACC1A1所成角为， 则 sin |cosAB1，EB1| 12，32，1 0，32，023264. 答案 A 二、填空题 9(20 xx江苏徐州一模)将锐角A为 60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成 60的二面角，则A与C之间的距离为_ 解析 设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE. BDCE，BDA1E. A1EC为二面角A1BDC的平面角 A1EC60，又A1ECE， A1EC是等边三角形 A1ECEA1C32a. 即折叠后点A与C之间的距离为32a. 答案 32a 三、解答题 10.(20 xx南京模拟)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点 (1)求证：MNAB； (2)求二面角SNDA的余弦值； (3)求点A到平面SND的距离 解 以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图) (1)证明 由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0) 所以：MN(1，0，1)，AB(0，4，0)，MNAB0，MNAB. (2)设平面SND的一个法向量为m m(x，y，z)， 则：m mSN0，且m mDN0. SN(0，2，2)，DN(1，2，0)， 2y2z0，x2y0，即yz0，x2y. 令z1，得：x2，y1， m m(2，1，1) 又平面AND的法向量为n n(0，0，1)，cosm m，n nm mn n|m m|n n|66. 由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为66. (3)AN(0，2，0)， 点A到平面SND的距离 d|ANm m|m m|63. 11(20 xx广东六校联盟模拟)如图，将长为 4，宽为 1 的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t0)，P是侧棱AA1上的动点 (1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1； (2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值； (3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为1010，试求实数t的值 (1)证明 连接A1C. AA1平面ABC，AB、AC 平面ABC， AA1AC，AA1AB. 又ABAC， 以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A(0，0，0)，C1(0，1，1)， B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，A1C(0，1，1)，AC1(0，1，1)，AB(1，0，0) 设平面ABC1的法向量n n(x，y，z)， 则n nAC1yz0，n nABx0，解得x0，yz. 令z1，则n n(0，1，1) A1Cn n，A1C平面ABC1. (2)解 AA1平面BB1C1C， 点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离 111-P BCCA BCCCABCVVV 16t2(32t)12t213t3(0t32)，Vt(t1)， 令V0，得t0(舍去)或t1， 列表得 t (0，1) 1 1，32 V 0 V 递增 极大值 递减 当t1 时，Vmax16. (3)解 A(0，0，0)，C1(0，t，32t)，B(t，0，0)，C(0，t，0)，A1(0，0，32t)，A1C(0，t，2t3)，AC1(0，t，32t)，AB(t，0，0)，CC1(0，0，32t)，BC(t，t，0) 设平面ABC1的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)， 则n n1 1AC1ty1（32t）z10，n n1ABtx10， 解得x10，y12t3tz1，令z1t，则n n1(0，2t3，t) 设平面BCC1的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，则n n2 2BCtx2ty20，n n2CC1（32t）z20， 0t32，解得x2y2，z20. 令y21，则n n2(1，1，0) 设二面角ABC1C的平面角为，由图可知为锐角，则有|cos |n n1n n2|n n1|n n2|2t3|2t2（2t3）21010. 化简得 5t216t120，解得t2(舍去)或t65. 当t65时，二面角ABC1C的平面角的余弦值为1010.