三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析——专题12概率与统计

三年高考（2014-2016 ）数学（理）试题分项版解析第十二章概率与统计一、选择题1.12016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是/八、1123（A）3 23（D） 4【答案】B试题分析1如图所示.画出限电：7:307:407:508:008:108:208:30-*ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段命中，而当他的到达间落在名肄殳或刀上时，才能保证他等车篦时间不超过1。分钟根据几何概型，所求概率尹智 ；.故选B. |考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定测度”，常见的测度有：长度、面积、体积等 .2.12014高考广东卷.理.6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200, 20B.100, 20C200, 10D.100, 10【答案】A【解析】由题意知，样本容量为3500 4500 2000 2% 200,其中高中生人数为2000 2% 40,高中生的近视人数为 40 50% 20,故选A.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题【名师点晴】本题主要考查的是分层抽样和统计图，属于中等题.解题时要抓住关键字眼“样本容量”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是分层抽样，即抽取比例样本容量 总体容量3.12016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为 15 C,B点表示四月的平均最低气温约为5 C .下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在 0 C以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于20 C的月份有5个【答案】D【解析】试题分析；由图可知游虚框内,所以各月的平均最气温都在。七以上；以正确5由图可在七月的 平i好曷差大于C,而一月的平均温差小于7.5。，所以七月的平均温差比一月的平t方昌差大正确) 由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在S吧,基本相同j C正确J由图可失呼均最蒿气温高于20七 的月份有3个或2个所以不正确.故送D.考点：1、平均数；2、统计图.【易错警示】解答本题时易错可能有两种:(1)对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法;选B.(2)估计平均温差时易出现错误，错4.12015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(A. 111B.2110C.215 D. 21【解析】从袋中任取2个球共有C；11105种，其中恰好1个白球1个红球共有CwC； 50种,所以从袋中任取的 2个球恰好1个白球1个红球的概率为 也 =10 ,故选B .105 21【考点定位】排列组合，古典概率.【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取 2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球的组合，属于容易题.5.12014湖南2】对一个容量为 N的总体抽取容量为 n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1, P2, P3 ,贝 U( )A. P1P2P3 B.P2P3P1C. P1P3 P2 D.P1 P2 P3【答案】D【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即P1P2 P3,故选D.【考点定位】抽样调查【名师点睛】本题主要考查了简单随机抽样，分层抽样，系统抽样，解决问题的关键是根据抽样的原理进行具体分析求得对应概率的关系，属于基础题目6.12016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时) ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5, 30,样本数据分组为17.5,20), 20, 22.5), 22.5,25), 25, 27.5), 27.5 , 30).根据直方图,这 200 名学生中每周的 自习时间不少于22.5小时的人数是(A) 56(B) 60(C) 120(D) 140颜率【解析】试题分析:由频率分布直方国知,自习时间不少于22.5小时为后三组,有200x（0.16+ 0.08 + 0.042.5 = 140 （大3 选D考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题 的能力.7.12015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N 0,32 ,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）68.26% ,（附：若随机变量 朗艮从正态分布 N , 2 ，则PP 2295.44%。)(A) 4.56%(B) 13.59%(C) 27.18%(D) 31.74%【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得:B.2P 60.9544 0.68260.1359,故选【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质【名师点睛】 本题考查了正态分布的有关概念与运算,重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率， 意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.8.12014山东.理7】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组,第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有 6人，则第三组中有疗效的人数为()【答案】C【解析】由图知，样本总数为N 50.设第三组中有疗效的人数为 0.16 0.240.36,x 12,故选 C.【名师点睛】本题考查频率分布直方图及频率组距等概念，解答本题的关键，是理解概念, 细心计算.本题属于基础题，在考查概念的同时，考查考生识图用图的能力，是近几年高考常见题型9.12016高考新课标2理数】从区间0,1随机抽取2n个数x1, x2,，xn, y1y2，yn,构成n个数对。必，x2,y2 ,xn,yn ,其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为/ a、 4n(A(B)空(O 4m(D) 2m【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为R24R24m .选 C.n考点：几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据 题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.10.12015高考陕西，理2】某中学初中部共有 110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为B. 137C. 123D. 93A. 167【解析】该校女老师的人数是 110 70% 150 1 60%137,故选B.【考点定位】扇形图.【名师点晴】本题主要考查的是扇形图， 属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼 “女教师”， 否则很容易出现错误. 扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系.11.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球【答案】CD.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多iWj11试题分析：若乙盘中放入的是红球则须保证抽到的两个均是红球3若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽 到的两个球是一红一黑，旦红球放入甲盒若丙盒中放入的是红球，则须保证撞到的两个球是一红一姆： 后勘搬入甲盒j若丙盒中放入的是黑序 则须保证抽到的酉个球都是黑球由干抽到的两个球是红/ 和照球的次数是奇数还是偶数无法湿，故而挣症乙蠢和丙蔗中号色球的大d蜜系.，而抽到两个红球的 次数与抽到两个黑球的;我啦是相等的.故选cl考点：概率统计分析.【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用12.12014高考陕西版理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（A.15B.25c.3d.455【解析】试题分析：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有C； 10条线段，A,2B, C, D四点中任意2点的连线段都不小于该正方形边长，共有C4 6,所以这2个点63的距离不小于该正万形边长的概率P -，故选C10 5考点：古典概型及其概率计算公式.【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于中档题.解题时要准确理解题意由“ 5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长”.利用排列组合有关知识，正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数.从而得到所求事件的概率13.12014高考陕西版理第9题】设样本数据X1,X2,L ,X1o的均值和方差分别为1和4,若yi Xi a ( a为非零常数,1,2,L ,10)则y1，y2,L y10的均值和方差分别为()(A) 1+a,4(B)a,4 a(C) 1,4(D)1,4+a试题分析:(X1 1)2y1，y2, l均值y由题得:XiX2X101010；(X2 1)2L(Xio1)2 10 440y10的均值和方差分别为:y1 V2%010(X1 a) (X2 a)(Xio a)(x1 X2X10) 10a101010 10a / 1 a1022方差(y y) (y2 y)(yo y)210(X1 a) (1 a)2 (X2 a) (1 a)2(X10 a) (1 a)210222(X1 1)(X2 1) L(X10 1)1040 410故选A考点：均值和方差.【名师点晴】本题主要考查的是样本的均值和方差等知识，属于中档题；解题时可以根据均值和方差的定义去计算，也可以直接利用已知的结论或公式得到结果,利用定义时运算量大,也容易出现不必要的错误。14.【2015高考陕西，理11】设复数z (X1) yi (x, yR),概率为D.2【答案】B21 (X 1)2【解析】z (x 1) yi | z| , (x 1)2 y2 1c 11如图可求得 A（1,1）, B（1,0）,阴影面积等于 -12 - 1 1 - -424 2-若|z| 1 ,则y x的概率是2 1 ,故选B. 124 2【考点定位】1、复数的模；2、几何概型.【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题.解几何概型的试题,般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可.解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若 z a bi （ a、b R ）,则z 4ab2 ,几何概型的概率公构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积15.12014新课标，理5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6【答案】A【解析】设A= 某一天的空气质量为优良”D. 0.45,B= 随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)P(A B)P(A)0.60.750.8 ,故选A.【考点定位】条件概率【名师点睛】本题主要考查了条件概率公式, 本题属于基础题，解决本题的关健在于理解事件之间的关系，注意题目是求的一个条件概率16.12015高考新课标2,理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量 （单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（MKT* ”酗阜 如才事口北 甲 工口，牙3010SF期11下 比以坪2013L Cerce r. u *u _D n. nu D n. z?3 N r n 白01A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从 2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D.【考点定位】正、负相关.【名师点睛】 本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概念是解题关键，属于基础题.17.12014课标I,理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()【解析】由已知，4位同学含自在周六、周日两天中心选一天三加公益活动共有丁二16种不同的结果，而. 周六、周日都有同学誉加公益活动有两类不同的情况：门人，另一天三大，有C：6=种不同的 翥果j (2)周六、日各2%有C： = 6种不同的结果，故周六.周日都有同学爹加公益活动有8+6 = 14种. 不同的结果3折以周六、周日都有同学叁加公显活动的概率为 =2,选D- 16 2【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式.【名师点睛】 本题考查古典概型， 是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.18.12015高考新课标1,理4】投篮测试中，每人投 3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()(A) 0.648(B) 0.432(C) 0.36(D) 0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C：20.62 0.4 0.63=0.648,故选A.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验 3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生 对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键 .19.【2014年.浙江卷.理9】.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球3,n 3 ,从乙盒中随机抽取i i 1,2个球放入甲盒中(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为Pi1,2A. PiP2, EB. PiP2,EC. P1P2,ED. PiP2,E答案:解析:2m nPimnP2223m 3m 2mn n2m nPiP22 m n223m 3m 2mn n3 2m n m n 1222 3m 3m 2mn n n5mn n n 1P2,2m n2 m nn 1/ 2m nE 101 -22, 3m 3m 2mn n n13 m n m n 1m n 22 m nmn2 n n 11m n m n 1 3 m n m n 1 32 2由上面比较可知3m 3m 2mn n n53 m n m n 1考点：独立事件的概率，数学期望.【名师点睛】求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求X的每个值的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值定义求出 E（X）.利用均 值、方差进行决策：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两 个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.【名师点睛】本题考查了茎叶图、中位数、平均数等概念及公式，属于基础题，注意计算的 准确性.20.12014高考重庆理第 3题】已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x 3, y 3.5,则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）A$ 0.4x 2.3B.$ 2x 2.4C.y2x 9.5C.y 0.3x 4.4【答案】A【解析】试题分析：因为变量与正相关，所以排除选项，又因为回归直线必过样本中心点3,3.5 ,代入检验知，只有直线 y 0.4x 2.3过点3,3.5 ,故选A.考点：1、变量相关性的概念；2、回归直线.【名师点睛】本题考查了两个变量间的相关关系，正相关，回归直线的性质，本题属于基础题，利用回归直线方程必过样本中心点，又知两相关变量是正相关关系即可作答21.12015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如下：01238201A、19B、20C、21.5D、2395 80 32则这组数据的中位数是（）【答案】B.【解析】从茎叶图知所有数据为8, 9, 12, 15, 18, 20, 20, 23, 23, 28, 31, 32,中间两个数为20, 20,故中位数为20,选B.【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念【名师点晴】 本题通过考查茎叶图的知识,考查样本数据的数字特征，考查学生的数据处理能力.22.12015高考安徽，理6】若样本数据X1, x2,X10的标准差为8 ,则数据2X1 1,2X2 1 , 2X10 1的标准差为（）（A） 8【答案】C(B) 15(C) 16(D) 32【解析】设样本数据X1 , X2 ,X10的标准差为 JDX ,则JDX 8 ,即方差DX64,而数据 2X1 1, 2X2 1,2 _ 2,2X10 1的方差D(2X 1) 2 DX 264,所以其标准差为/2 64 16 .故选C.【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用【名师点睛】已知随机变量X的均值、方差，求 X的线性函数YaX b的均值、方差和标准差，可直接用 X的均值、方差的性质求解.若随机变量X的均值EX、方差DX、标准差JDX,则数Y aX b的均值aEX b、方差a2DX、标准差aJDX.得到的回归方程为 ? bX a ,则（23.12014湖北卷4】根据如下样本数据X345678y4.02.50.50.52.03.0)A. a 0 , b 0 B.a 0 , b 0 C. a 0 , b 0 D. a 0 , b 0【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以b 0, a 0.选B.耳* 围考点：已知样本数判断线性回归方程中的b与a的符号，容易题.【名师点睛】以散点表格为载体， 重点考查线性回归方程， 其出题角度新颖别致， 独居匠心,充分体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.米谷粒分”题：粮仓开仓254粒内夹谷28粒，则这24.12015高考湖北，理2】我国古代数学名著九章算术有收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得批米内夹谷约为()A. 134 石B. 169 石C. 338 石D. 1365 石【解析】依题意，这批米内夹谷约为282541534 169 石，选B.【考点定位】用样本估计总体【名师点睛】九章算术是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.25.12015高考湖北，理4】设X:N(1,12), Y： N( 2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(A. P(Y 2) P(Y 1)B. P(X 2) P(X 1)C.对任意正数t , P(X t) P(Y t)D.对任意正数t , P(X t) P(Y t)【答案】C解析】由正态密度曲线的性质可知，XTW 4）： S 团限度阻盼别关干工=必、=若对称，因此给合所给图象可将科（外旦彳（% 咕的密度曲缭V4的密度曲线四落，而以。%/，所以戏任意正静r, p（Tp（y=：. 424在I次试脸中成功BWt率为式4之D =：十：=：, 4 2 4所以在2次试睑中成功次数工的it率为式二1）二C；Y ,汽X=2） =4/=，4 4b416393口父8162考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有n可能取值X1,X2,L ,Xn ,再求得对应的概率 P（i 1,2,L ,n）,则均值为XiP .i 13.12014江苏，理4】从1,2,3,6 这四个数中一次随机地取 2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为1【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有C： 6种取法，其中乘积为6的有1,6和2,321两种取法，因此所求概率为P 2 1.6 3【考点定位】古典概型概率【名师点晴】 求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：（1）列举法；（2）列表法；（3）利用树状图列举.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.二是间接求法， 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P A 1 P A ,即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.4.12014江苏，理6】某种树木的底部周长的取值范围是90,130 ,它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于 100 cm.（第6期）【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为（0.015 0.025） 10 60 24 .【考点定位】频率分布直方图.频率【名师点晴】 在频率分布直方图中，纵轴表示而，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.5.12015江苏高考，2】已知一组数据4, 65, 8,7, 6,那么这组数据的平均数为4 6 5 8 7 6解析】X 66【考点定位】平均数【名师点晴】样本数据的算术平均数，即解答此类问题关键为概念1一(Xi+X2+.+Xn). n21清晰，类似概念有样本方差 s2 (X1 nx)22/(X2 X) . (Xn2X)2,标准差n项，n是样本容量，x是(或最中间两个数据的sJ1(X1 X)2 (X2 X)2 . (XnX)2.其中 Xn是样本数据的第平均数.将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据 平均数)叫做这组数据的中位数.6.12015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .6【解析】从4只球中一次随机摸出 2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种，所以其概率为 5.6【考点定位】古典概型概率【名师点晴】求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互 斥事件，还是对立事件； 二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.7.12014天津，理9】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.【答案】60.试题分析：应从一年级抽取 300?60名.4+ 5+ 5+ 6考点：等概型抽样中的分层抽样方法.【名师点睛】本题考查分层抽样相关知识，本题属于基础题，抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，分层抽样就是就是按着各层次所占比例抽取样本，抽样方法在高考题中偶有出现，比较简单 ，容易得分，深受考生欢迎.8.12015高考广东，理13】已知随机变量 X服从二项分布B n, p ,若E X 30 ,D X 20 ,则 p .11【解析】依题可得E X np 30且D X np 1 p 20,解得p ,故应填入.33【考点定位】二项分布的均值和方差应用.【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式E X np , D X np 1 p并运用其解答实际问题.9.12016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.【答案】0.1【解析】 1试题分析：这组数据的平均数为-(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.1,2122222S2(4.7 5.1)2(4.8 5.1)2(5.1 5.1)2(5.4 5.1)2(5.5 5.1)20.1 .故答5案应填：0.1 ,考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.10.12016高考山东理数】在-1,1上随机地取一个数 k,则事件“直线y=kx与圆（x- 5） + y = 9相交”发生的概率为【解析】试题分析：宜线产斑与图（x-5）1+/ = 9相交,需要满足图心到直线的距离卜于半径,艮用=-j=T 3，33q 3解得一=tk而壮1，所以所求概率必与二442 4考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等111.【2014年.浙江卷.理12】随机变量 的取值为0,1,2，若P 0 , E 1,答案:5113解析：设 1时的概率为p,则E 011P 21 p 11 ,解得p 9 ,555拓212 3212故 D 0 111-2 1-555 5考点：方差.【名师点睛】本题主要考查相互独立事件的概率公式的应用，解决问题的关键是根据所给条件求解对应事件的概率，然后求方差即可；求相互独立事件同时发生的概率的方法：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算12.12016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是 （米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75, 1.77,1.78 , 1.80 ,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.13.12014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示).-1【答案】-15【解析】任意选择3天共有C30 120种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求81概率为P . 120 15【考点】古典概型.【名师点睛】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊兀素或特殊位置捆绑法把相邻兀素看作一个整体与其他兀素一起排列，同时注意捆绑兀素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的兀素的排列，再将不相邻的兀素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法14.12014上海，理13】某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量表示小白玩游戏的得分.若()=4.2,则小白得5分的概率至少为【答案】0.2【解析】设省二12345的概率分别为用巴.玛.耳,长，则由题意有长+2班+3玛+44+55= 42,月+居+居+4+尺=1,对于4+ 2为-3耳+4迎，当月越大时,其值越大,又彩1 ,因此克42玛+3J5444M4。一5),所以“1鸟)454之4一2,解得骂二02.【考点】随机变量的均值(数学期望) ，排序不等式.【名师点睛】求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；写出X的分布列；(4)由均值定义求出 E(X).15.12014福建，理14】如图，在边长为e (e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒一 2【答案】42e【解析】试题分析：由对数函数与指数函数的对称性，可得两块阴影部分的面积相同八1xxS 2 0(e e )dx 2(ex e )02.所以落到阴影部分的概率为P 之.e考点：1.几何概型2定积分.【名师点睛】本题主要考查几何概型及定积分，几何概型试题多以客观题形式出现,难度不大.求与面积有关的几何概型的概率计算方法是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形的面积，然后求解，注意曲边多边形的面积常通过定积分来求16.12015高考福建，理13如图，点A的坐标为1,0 ，点C的坐标为2,4 ,函数f x x2 ,若在矩形ABCD 内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等5 一 .一. -.所以此点取自阴影部分的概率35【答案】1227【解析】由已知得阴影部分面积为4x2dx 4 7134 12【考点定位】几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值(一个变量)、面积的比值(两 个变量)、体积的比值(三个变量或根据实际意义)来求，属于中档题.17.12014辽宁理14】正方形的四个顶点 A( 1, 1),B(1, 1),C(1,1),D( 1,1)分别在抛物线y x2和y x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是-IABCD中，则质点落在阴影区域的试题分析：有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形122 1 x dx概率P -1 22考点：1.几何概型；2.定积分.【名师点睛】本题考查几何概型、定积分的应用,解答此类题的关键是理解题意，准确确定几何空间的度量，应用公式计算本题是一道小综合题，属于基础题，较全面地考查了几何概型、定积分等基础知识，同时考 查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力18.12015湖南理12】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1 : 35号，再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是13 0034566888914 11 12223344555667815 0 1 2 2 3 3 3【答案】4.【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间 139,151的人数为20,再由系统抽样的性质可知人数为20 4 人.35【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】 本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆三、解答题1.12015江苏高考，23(本小题满分10分)已知集合 X 1,2,3 ,11,2,3, ,n(n N*), S0(a,b) a 整除 b或 b 整除 a,a X,b Yn ,令f(n)表示集合&所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n 6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.n 6t【答案】13 (2) f n展,n6t 1n n 2,n236t 2n 1 nF 3n n 12 Vn 6t 3n 6t 4一 ,n 36t 5试题分析：(1)根据题意按a分类计数：a 1,b 123,4,5,6; a2,b 1,2,4,6; a 3,b 1,3,6;共 13 个(2)由(1)知 a 1,b 1,2,3, L ,n; a2,b 1,2,4, L,2 k;*a 3,b 1,3,L ,3k;(k N),所以当n6时，f(n)的表达式要按2 3 6除的余数进行分类,最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：(1) f 613.n3 ,n6tn 6t 1n 6t 2(2)当 n 6时，f nn 1 n23n n 123n6t3n6t4).n 1 n 2n 2,n 6t 523卜面用数学归纳法证明：当n 6时，f 6八 c 66“6 2 13,结论成立;2 3假设n k(k 6)时结论成立，那么n k 1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在1,k 1 , 2,k 1 , 3,k 1中产生，分以下情形讨论:-l lr-21）若上+1=&, fflA=6（f-l） + 5 ,此时有了（玄+1） = /（元）+3 =兀+2+3二（上+1）+2 +勺。+空 3结论成立J2）若+1 = 6什1,则而=6小此时有了（七+1） = /（上）+ 1 =上十2+上+t + 1=（*+1）+2 +?T +？ T ,结论成立；r I ir13）若上+1 = 6力+2,贝”左=8+1,此时有了（上+1）=（对十2=